基于最小二乘法和哈爾小波的隨機(jī)It-Volterra積分方程的數(shù)值解

柯 婷,姜 國,鄧夢婷

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

隨機(jī)積分方程在材料學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而，大多數(shù)隨機(jī)沃爾泰拉積分方程不能顯式求解。因此，研究一種有效的、準(zhǔn)確的數(shù)值算法具有重要的意義。利用Walsh函數(shù)、塊脈沖函數(shù)、Fourier級數(shù)、Legendorian和Chebyshev多項(xiàng)式等正交基函數(shù)或多項(xiàng)式來求解不同的Volterra積分方程，見參考文獻(xiàn)[1～11].近年來，哈爾小波作為一種強(qiáng)有力的工具，在數(shù)值分析中得到了充分的應(yīng)用。用于求解隨機(jī)積分方程數(shù)值解的文獻(xiàn)有[12～14].

在文獻(xiàn)[11]中，Maleknejad等人使用模塊脈沖函數(shù)(BPFs)來求解線性隨機(jī)It-Volterra積分方程的數(shù)值解。Jiang等人利用BPFs研究了二維非線性方程組的數(shù)值解[15].Ahmadinia等提出了一種基于最小二乘法和BPFs的計(jì)算方法來求解隨機(jī)It-Volterra積分方程[16].Maleknejad等人利用BPFs和隨機(jī)積分運(yùn)算矩陣求解了m維隨機(jī)It-Volterra積分方程[17].在文獻(xiàn)[12]中，F(xiàn)akhrodin用哈爾小波(HWs)推導(dǎo)了線性隨機(jī)It-Volterra積分方程的數(shù)值解。

與文獻(xiàn)[11,16,17]相比，本文最重要的創(chuàng)新是將最小二乘法和哈爾小波相結(jié)合，將隨機(jī)It-Volterra積分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組。

第一節(jié)，給出了模塊脈沖函數(shù)和哈爾小波函數(shù)的一些基本概念。第二節(jié)，給出了HWs與BPFs之間的關(guān)系。第三節(jié)，引入最小二乘法。第四節(jié)，證明了誤差分析。第五節(jié)，利用MATLAB進(jìn)行了數(shù)值模擬。

1 預(yù)備知識

1.1 模塊脈沖函數(shù)

BPFs已經(jīng)被許多作者研究并應(yīng)用于解決不同的問題，見文獻(xiàn)[3,10,11,15,17].定義BPFs為：

1.2 哈爾小波函數(shù)

正交HWs的定義如下[12]：

哈爾小波hi(t)在區(qū)間[0,1)是成對標(biāo)準(zhǔn)正交的，

其中δij是Kronecker符號。

滿足任何均方可積的函數(shù)X(t)可以被HWs近似表示如下形式：

當(dāng)m=2J(J為小波分辨率等級)，X(t)可以被近似表示為：

向量形式如下：

(2)

其中Hm=(h0(t),h1(t),…,hm-1(t))T是HWs向量，Cm=(c0,c1,…,cm-1(t))T是HWs系數(shù)向量。

同理，令S(u,t)∈L2([0,1)×[0,1))，它可以被HWs表示為：

其中S=(sil)m×m

(3)

其中i,l=0,1,…,m-1.

2 HWs和BPFs

本節(jié)介紹一些關(guān)于HWs和BPFs的引理。

引理1[12]設(shè)Hm(t)和Ψm(t)分別是HWs向量和BPFs向量，則Hm(t)可以被近似表示如下形式：

Hm(t)=PΨm(t)m=2J

(4)

其中P=(Pij)m×m，

引理2[12]對于在(4)中給定的矩陣P，則有

引理3[12]設(shè)F是m維向量，則有

引理4[12]設(shè)G是m×m矩陣，則有

引理5[11,12]對于給定的Ψm(u)，有

其中

引理6[11,12]對于給定的Ψm(u)，有

其中

引理7[11,12]對于在(2)中給定的Hm(t)，有

引理8[11,12]對于(2)中給定的Hm(t)，有

3 數(shù)值算法

考慮線性算子L：

(5)

假設(shè)X(t)是(1)的精確解，則殘差范數(shù)消失，

對于給定的ε>0，考慮Xε(t)是(1)的近似解，使Xε(t)的殘差范數(shù)小于ε，

根據(jù)(6)，可以得到一種方法來獲取近似解，Xm(t)是一個(gè)HWs的線性組合，

其中ci是未知系數(shù)，考慮如下最小化問題：

(7)

(8)

其中m→∞(或者h(yuǎn)→0)

為了求(7)中近似解的最小值，求解如下線性方程組，

(9)

然后(9)可以被寫成，

簡化成如下線性系統(tǒng)，

Ac=b

(10)

其中c=(c0，c1，…，cm-1)T∈Rm,b=(b0,b1,…,bm-1)T∈Rm,和A=(aij)∈Rm×m.

bi=〈L(Hi(t)),f(t)〉

aij=〈L(Hi(t)),L(Hj(t))〉,i,j=0,1,…,m-1

(11)

(12)

(13)

(14)

其中Cm,Fm是HWs的系數(shù)向量，S1,S2是HWs的系數(shù)矩陣。

為了求解方程(10)，我們需要求解aij，bi,從而得到A矩陣和b向量。

根據(jù)(5)，(11)-(14)，L(Hi(t))和L(Hj(t))可以用HWs近似地表示，根據(jù)引理3、引理4、引理7和8,可得

aij=〈L(Hi(t)),L(Hj(t))〉

bi=〈L(Hi(t)),f(t)〉

4 誤差分析

4.1 相關(guān)引理

引理9[16](連續(xù)模)連續(xù)模ω(f,δ)通常被定義為f相對于[a,b]中的δ，

ω(f,δ)=sup{|f(x)-f(y)||x,y∈[a,b],|x-y|≤δ}

(15)

4.2 誤差分析

證明：i)由定理1 可得

(16)

ii)

(17)

其中

(18)

根據(jù)鞅等距性質(zhì)和Doob不等式，以及(16)～(18)可得

≤3T2(1+T2M2+4TM2)ω(X,h)→0,當(dāng)h→0.

定理1得以證明。

5 數(shù)值算例

圖1

表1

表2

從圖1、圖2和表1、表2可以看出，近似解與真解非常接近。該方法比文獻(xiàn)[16]中的方法得到的結(jié)果更加準(zhǔn)確，并且驗(yàn)證了該方法對求解隨機(jī)It-Volterra積分方程是有效的。

圖2