穿透外在的形式，抵達(dá)方程的本質(zhì)

丁愛平

【關(guān)鍵詞】《認(rèn)識(shí)方程》;形式;本質(zhì)

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）26-0060-04

基于小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材極少給數(shù)學(xué)概念下定義，而是通常用“像……這樣的……是……”這種描述性的語言為數(shù)學(xué)概念作說明，這樣的方式并沒有影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握。整個(gè)小學(xué)階段，唯獨(dú)一個(gè)數(shù)學(xué)概念一直以來頗有爭議，那就是方程。

《認(rèn)識(shí)方程》是蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第一單元的內(nèi)容。什么是方程？教材通過兩個(gè)例題的探究，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)等式，進(jìn)而在等式的分類中知道“像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程”。這句話是不是方程的本質(zhì)呢？當(dāng)然不是。它只是方程外在的表達(dá)形式，形式是不能替代本質(zhì)的。那么，選用什么樣的素材、設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)路徑才能更好地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方程的本質(zhì)呢？筆者近來兩次執(zhí)教《認(rèn)識(shí)方程》，回顧反思兩次教學(xué)，很有啟發(fā)。

【第一次教學(xué)】流轉(zhuǎn)于“形式”上的開放

天平是一個(gè)好素材，筆者借助一架天平非常順利地完成了教學(xué)。首先，在天平兩邊分別放置水果和砝碼，隨著水果的種類與個(gè)數(shù)發(fā)生變化，學(xué)生列出一道道等式和不等式。教師隱去不等式，引導(dǎo)學(xué)生將等式分成兩類，聚焦其中含有未知數(shù)的等式，引出“像……這樣的等式是方程”。接著出示10個(gè)式子，讓學(xué)生判斷哪些是等式，哪些是方程，還設(shè)計(jì)了一道開放題——28+=45，讓學(xué)生辯論它是不是方程。學(xué)生爭論得很激烈，最終認(rèn)為被長方形遮住的部分如果含有未知數(shù)，它就是方程，還即興生成了像28+x+y=45這樣的二元一次方程。

這次教學(xué)，學(xué)生始終在方程的形式上打轉(zhuǎn)，即便有二元一次方程的生成，但終究還是形式上的變化，并未凸顯方程概念中一個(gè)極其重要的因素——等量關(guān)系。學(xué)生缺少對(duì)等量關(guān)系的高度關(guān)注與真切體驗(yàn)，很難獲得對(duì)方程本質(zhì)的理解。

【第二次教學(xué)】引發(fā)探究“等量關(guān)系”的需要

課始，教師了解到學(xué)生的平均年齡是11歲，請(qǐng)學(xué)生猜教師的年齡，學(xué)生說不知道。

師：在數(shù)學(xué)上，未知數(shù)可以用什么表示？

生：x、y等字母。

教師出示兩條提示語：（1）我的年齡減去20歲后，還比你們大;（2）我的年齡減去40歲，比你們小。

生：老師，我們無法確定你的年齡，因?yàn)槟憬o的提示中只有一個(gè)范圍。

師：那好，我再給你們第三條提示語，我的年齡減去34等于你們的年齡。

生（激動(dòng)地脫口而出）：45歲！

師：為什么根據(jù)前兩條信息你們不能確定我的年齡，第三條信息一出來就確定了？

生：因?yàn)橹挥械谌龡l信息中含有相等的數(shù)量關(guān)系。

師：你能用含有未知數(shù)的式子表示三條信息嗎？

生：x-20>11，x-40<11，x-34=11，第三個(gè)式子是方程。

教師設(shè)計(jì)了一個(gè)猜年齡的游戲，三條提示語分別指向不同的關(guān)系式，學(xué)生迫切想知道教師的年齡，當(dāng)?shù)谌龡l提示語出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生非常興奮，等量關(guān)系的建立是自發(fā)的。接著在三個(gè)式子的對(duì)比中，由學(xué)生自主介紹方程。這次教學(xué)已經(jīng)從方程的外在形式走向其內(nèi)涵，開始關(guān)注概念的實(shí)質(zhì)。在20世紀(jì)90年代末，陳重穆先生就提出了一個(gè)觀點(diǎn)：“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)?！睂?duì)方程而言，要淡化的就是“含有未知數(shù)的等式”這一形式。張奠宙先生也曾多次撰文強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，指出方程的本質(zhì)，是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系。

進(jìn)一步思考，這個(gè)猜年齡的游戲是否完全詮釋出了方程的本質(zhì)？老師的年齡減去34等于11，老師多少歲？學(xué)生頭腦中呈現(xiàn)出的是34+11=45，他們并沒有把未知數(shù)（老師的年齡）看成已知數(shù)參與運(yùn)算。

由此可見，第一課時(shí)的學(xué)習(xí)是很難讓學(xué)生深入體會(huì)到方程的本質(zhì)的。教師應(yīng)該基于整個(gè)單元、整冊(cè)教材、整個(gè)學(xué)段的邏輯框架和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程，循序漸進(jìn)，漸次深入，不斷逼近方程的本質(zhì)。關(guān)于方程的教學(xué)，我們需要深入思考以下三個(gè)問題——

一、方程為什么難以走進(jìn)學(xué)生心靈

“簡易方程”單元在小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系中具有非常重要的地位，它是學(xué)生由算術(shù)思維走向代數(shù)思維的起始課。方程對(duì)于豐富學(xué)生解決問題的策略、突破算術(shù)思維方法中的某些局限性、推動(dòng)學(xué)生提高問題解決能力、培養(yǎng)抽象思維能力和符號(hào)意識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)等有著非常重要的意義。不少教師都感覺很難教，很難走進(jìn)學(xué)生的心靈。原因在哪里？

一方面，教師特別希望給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，讓他們感受到在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系的必要性，感受到“順著”題目中的數(shù)量關(guān)系列出方程，可以使問題解決更為簡單。

另一方面，教材中呈現(xiàn)的實(shí)際問題都可以通過算術(shù)思維順利解決。學(xué)生在之前長達(dá)四年的學(xué)習(xí)中早已習(xí)慣了算術(shù)思維方式，大多數(shù)情況下都是“逆著”思考，求出未知數(shù)。而今，要把未知數(shù)直接放入數(shù)量關(guān)系式建立等量關(guān)系，學(xué)生很不適應(yīng)。

這種教與學(xué)的思維頻率不協(xié)調(diào)是完全正常的。這就提醒我們要循序漸進(jìn)地安排教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生有效地參與探究活動(dòng)。按照“認(rèn)識(shí)方程（關(guān)注方程的結(jié)構(gòu)形式和等量關(guān)系）—掌握等式的性質(zhì)—用等式的性質(zhì)解方程—列方程解決簡單的實(shí)際問題（掌握基本思路）—列方程解決稍復(fù)雜的實(shí)際問題（建構(gòu)方程思維的模型，感受方程的應(yīng)用價(jià)值）”的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括和交流的學(xué)習(xí)過程，從而實(shí)現(xiàn)從形式到本質(zhì)的學(xué)習(xí)進(jìn)階，讓方程這一重要的數(shù)學(xué)思想方法和諧、自然地融入學(xué)生的心靈。

二、天平能否完全反映方程的本質(zhì)

各種不同版本的教材都用到了天平這一素材，天平兩端質(zhì)量相等的特征和方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)頗為相似。隱去物體和砝碼，從天平中抽象出數(shù)值，呈現(xiàn)左右兩邊相等的式子，教師抓住“兩邊等量”這一屬性，為方程的認(rèn)識(shí)埋下了伏筆。確實(shí)，在列方程解決實(shí)際問題時(shí)，如果學(xué)生找不到等量關(guān)系，是無法列出方程的。

誠然，抓住等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵步驟。但是，關(guān)鍵步驟是否就是方程的本質(zhì)？在運(yùn)用算術(shù)方法求解問題的過程中是否也存在數(shù)量關(guān)系的梳理與確立？是否也需要建立等量關(guān)系？不妨舉個(gè)例子。比如：媽媽買了一些蘋果，吃掉了3個(gè)，還剩5個(gè)。媽媽買了幾個(gè)蘋果？運(yùn)用算術(shù)方法的思維路徑是：原來的個(gè)數(shù)-吃掉的個(gè)數(shù)=剩下的個(gè)數(shù)，現(xiàn)在要求的是原來的個(gè)數(shù)，吃掉的個(gè)數(shù)+剩下的個(gè)數(shù)=原來的個(gè)數(shù)。可見，依然要在未知量和已知量之間建立等量關(guān)系。與方程思路不同的是，要對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理，用已知量之間的運(yùn)算結(jié)果來表示未知量，未知量本身不需要參與運(yùn)算。運(yùn)用方程方法求解問題，卻只要直接寫出數(shù)量關(guān)系式——原來的個(gè)數(shù)-吃掉的個(gè)數(shù)=剩下的個(gè)數(shù)，而不必對(duì)數(shù)量關(guān)系本身的情境進(jìn)行推理，實(shí)際上，這一推理過程悄悄蘊(yùn)含在下一步解方程的過程中。由此看來，數(shù)量關(guān)系并不是構(gòu)成方程的全部內(nèi)涵。

從這個(gè)角度看，以天平引出方程并不能完整地揭示方程的本質(zhì)屬性，我們還需要進(jìn)一步思考。

三、怎樣基于方程的本質(zhì)優(yōu)化“學(xué)”的路徑

1.再認(rèn)識(shí)：在完整歷程中抵達(dá)方程的本質(zhì)。

方程的本質(zhì)屬性包含兩點(diǎn)：一是基于問題解決，通過將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化引出;二是區(qū)別于算術(shù)思維，同樣是指向問題解決，是承認(rèn)未知量與已知量具有同等地位，允許未知量參與計(jì)算，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系。因此，方程教學(xué)的設(shè)計(jì)應(yīng)著重凸顯這兩個(gè)本質(zhì)屬性。

學(xué)生學(xué)習(xí)方程的知識(shí)，需要一個(gè)真實(shí)的、完整的、深刻的學(xué)習(xí)歷程。學(xué)生要能主動(dòng)進(jìn)行觀察和比較、抽象和概括，充分經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程，掌握列方程解決問題的基本思考方法，有效地解決問題;要能利用畫圖、列表的方法提煉等量關(guān)系，感受問題解決策略的多樣性;能夠主動(dòng)反思列方程解決問題的過程，并適當(dāng)解釋結(jié)果的合理性。更重要的是，學(xué)生要能靈活選用列方程或算式解法，感受數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這是一個(gè)知識(shí)技能與方法素養(yǎng)并重、學(xué)科知識(shí)與人文情懷共鳴的課堂的生命歷程。

2.巧對(duì)比：在認(rèn)識(shí)沖突中感受方程的價(jià)值。

張奠宙先生指出，方程是用以求解問題的。方程是解決問題的一種模型或方法，它與算術(shù)方法互為補(bǔ)充。從這個(gè)特征出發(fā)，教師需要破解學(xué)生的困惑：既然這些問題都能用算術(shù)方法，為什么還要引入方程來解決？從認(rèn)知心理的角度來看，要使學(xué)生跳出原有算術(shù)方法的思維習(xí)慣，產(chǎn)生尋求新方法的需要，必然需要教師構(gòu)建用算術(shù)方法較難解決的問題。

筆者認(rèn)為，可以在學(xué)完例題之后安排一次《方程、算術(shù)面對(duì)面》的主題教學(xué)。筆者一共設(shè)計(jì)了兩道題，第一道題是乘客上下公交車的問題情境：一輛公交車，中途下去了9人，上來6人，車上現(xiàn)在有18人。車上原有多少人？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用算術(shù)方法和列方程的方法都可以，只是算術(shù)方法需要倒推，“逆著”思考。列方程的方法是將未知數(shù)直接與已知數(shù)建立等量關(guān)系，“順著”事情發(fā)展的順序列出方程，思路非常簡單。

第二道題是關(guān)于行程問題的稍復(fù)雜的實(shí)際問題：非非和樂樂分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，如果同向而行，經(jīng)過10分鐘非非追上樂樂;如果相向而行，經(jīng)過2分鐘兩人相遇。已知非非每分鐘走60米，求甲、乙兩地相距多少米。請(qǐng)分別用列方程和算術(shù)方法解答，并對(duì)比兩種方法，你有什么想法？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，這道行程問題列方程來解答比算術(shù)方法更為簡單，而算術(shù)方法要進(jìn)行多次數(shù)量關(guān)系的推理，比較復(fù)雜。至此，學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)同感更為深切，真切地感受到了方程思想的魅力。

總之，《認(rèn)識(shí)方程》這節(jié)課催生了筆者關(guān)于數(shù)學(xué)概念的深層思辨。數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是有層次結(jié)構(gòu)的，它的外顯層是由數(shù)字、文字、符號(hào)或圖形表達(dá)的可見的形式;中間層由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成，它們潛藏在數(shù)學(xué)知識(shí)表層背后;隱性層則由情感、態(tài)度與價(jià)值觀構(gòu)成，是學(xué)生在知識(shí)探索過程中積淀的各種觀念感悟和價(jià)值體驗(yàn)。如在《認(rèn)識(shí)方程》一課中，“含有未知數(shù)的等式叫方程”是教材中的外顯層描述;重要的是認(rèn)識(shí)中間層，也就是方程的本質(zhì)內(nèi)涵，即“把未知數(shù)看成已知數(shù)參與運(yùn)算，和其他已知數(shù)之間建立等量關(guān)系”，從而“順著”思考解決問題;方程內(nèi)在的隱性層則是人們對(duì)平衡、恒常的心理需求并借此滿足探求未知的好奇心：面對(duì)復(fù)雜變化的關(guān)系，只要建立平衡機(jī)制，找到不變量（守恒量），許多問題都能得以順利解決。其實(shí)，教師遇到的諸多教學(xué)疑難都與“形式”和“本質(zhì)”密切相關(guān)。我們致力于“穿透形式，抵達(dá)本質(zhì)”，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的策略，更是一種“帶得走”的人生智慧。

（作者單位：南京市長江路小學(xué)）