壓電復(fù)合材料中正六邊形孔邊裂紋反平面問題

徐 燕, 楊 娟

(1.寧夏大學(xué)新華學(xué)院， 銀川 750021; 2.寧夏大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院， 銀川 750002; 3.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 銀川 750021)

自1880年壓電材料被發(fā)現(xiàn)具有壓電效應(yīng)以來，已經(jīng)歷了從自然界存在的簡單單晶體材料發(fā)展到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的復(fù)合多功能材料的過程[1]。壓電復(fù)合材料，就是由兩相或多相材料按照一定的復(fù)合模式構(gòu)成的一種具有壓電性能的新型智能材料，它可以成倍地提高材料的壓電性能。由于其良好的機(jī)-電耦合效應(yīng)使得壓電復(fù)合材料可用于制作信號(hào)處理器、轉(zhuǎn)換器、傳感器、驅(qū)動(dòng)器等電子元器件，在航天航空、自動(dòng)控制、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著十分重要的作用[2]。

脆性的壓電復(fù)合材料在加工和使用的過程中難免產(chǎn)生缺陷(如孔洞、缺口及裂紋)。因此，對(duì)于壓電介質(zhì)中含復(fù)雜缺陷斷裂行為的研究從未間斷[3-5]，尤其是壓電復(fù)合材料中含有孔洞且孔邊帶有裂紋問題的研究成為近年來學(xué)者關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[6]求解了圓孔邊裂紋的反平面問題。在電不可滲透和電可滲透邊界條件下，文獻(xiàn)[7]計(jì)算了橢圓孔邊非對(duì)稱裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。文獻(xiàn)[8]確定了唇形裂紋在兩種電邊界條件下裂紋尖端場強(qiáng)度因子和機(jī)械應(yīng)變能釋放率的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[9]對(duì)含光滑頂點(diǎn)的正三角形孔邊裂紋的反平面問題進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[10]對(duì)翼形裂紋的反平面問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11]研究了星形裂紋的斷裂行為。在兩種電邊界條件下，文獻(xiàn)[12]對(duì)正方形孔帶四條裂紋的反平面問題進(jìn)行了研究，并給出數(shù)值算例。文獻(xiàn)[13]導(dǎo)出了力-電耦合作用下正三角形孔口裂紋以速度v傳播時(shí)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子的解析解。綜上所述，盡管對(duì)于壓電復(fù)合材料孔邊裂紋問題的研究已取得不少的研究成果，但是，利用復(fù)變函數(shù)方法和Stroh公式研究壓電復(fù)合材料中含正六邊形孔邊裂紋的反平面問題尚未見報(bào)道。現(xiàn)擬利用平面彈性復(fù)變函數(shù)方法和Stroh公式研究含有正六邊形孔且孔邊帶裂紋的壓電復(fù)合材料反平面斷裂問題,深入地探索缺陷尖端的場強(qiáng)度因子和能量釋放率與材料及其缺陷形狀的內(nèi)在聯(lián)系，為工程力學(xué)分析提供了理論參考和依據(jù)。

1 壓電復(fù)合材料孔邊裂紋反平面問題的基本方程

針對(duì)橫觀各向同性壓電復(fù)合材料，假設(shè)x3軸為極化方向，x1-x2平面為各向同性平面。根據(jù)文獻(xiàn)[14],壓電復(fù)合材料的反平面問題的本構(gòu)方程可化簡為

(1)

不計(jì)體力的力-電平衡方程

σ3i,i=0，Di,i=0，i=1,2

(2)

式中：重復(fù)指標(biāo)表示求和；下標(biāo)中逗號(hào)表示求偏導(dǎo)數(shù)；c44、e15和ε11分別表示壓電復(fù)合材料的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)；σ3i、u3、Di、φ分別表示應(yīng)力、彈性位移、電位移和電勢。

將式(1)代入式(2)，得壓電復(fù)合材料二維反平面問題的最終控制方程為

B0?2u=0

(3)

式(3)中：?2是二維拉普拉斯算子，且廣義位移向量和系數(shù)矩陣分別為

(4)

(5)

(6)

式中：f(x)為待定復(fù)勢向量函數(shù)；材料系數(shù)矩陣B=iB0，且A=I為2×2的單位矩陣。

2 電不可通邊界情況

2.1 力學(xué)模型

圖1 無限大壓電復(fù)合材料中正六邊形孔邊裂紋幾何模型Fig.1 Geometric model for a crack near a regular hexagonal hole in infinite piezoelectric composites

在壓電復(fù)合材料中，復(fù)勢向量函數(shù)f(z)具有如下形式[16]：

f(z)=c∞z+f0(z)

(7)

式(7)中：c∞為與遠(yuǎn)場載荷條件有關(guān)的復(fù)常向量；f0(z)為未知的解析函數(shù)向量，在無窮遠(yuǎn)處取值為零，即f0(∞)=0。

對(duì)式(5)和式(6)兩端關(guān)于x1求偏導(dǎo)數(shù)得

(8)

(9)

式中：F(z)=df(z)/dz。

將式(7)代入式(8)和式(9)，當(dāng)z→∞時(shí)可得

(10)

(11)

壓電復(fù)合材料中正六邊形孔邊及其裂紋面上的力、電邊界條件可表示為

(12)

式(12)中：t3、Dn分別代表沿邊界所受的反平面剪切應(yīng)力、法向電位移。

當(dāng)裂紋內(nèi)部的電場很小時(shí)，可采用電不可通邊界條件，則式(12)可化為

(13)

將式(7)代入式(13)中，可得

(14)

為了便于求解以上邊值問題，引入合適的保角映射[17]：

(15)

式(15)中：R為與正六邊形邊長相關(guān)的常數(shù)，由點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求得R≈0.925 8a，a為正六邊形的邊長。

通過式(15)共形映射原理(如圖2所示)可以將正六邊形外部區(qū)域保角映射到單位圓內(nèi)部區(qū)域。對(duì)式(15),再令ζ=ζ-1，將單位圓內(nèi)部映射變換到單位圓外部，獲得正六邊形外部區(qū)域到單位圓外部區(qū)域的共形映射，于是有

(16)

式(16)中：μ(ζ)為將圓孔邊雙裂紋外部區(qū)域變換到單位圓內(nèi)部的共形映射函數(shù)[18]，即有

(17)

式(16)將z平面中的正六邊形孔邊雙裂紋外部映射到ζ平面中的單位圓內(nèi)部。其中ε為正實(shí)數(shù)，并且有

(18)

圖2 保角映射原理圖Fig.2 Conformal mapping schematic diagram

將式(17)代入式(16)并進(jìn)行洛朗級(jí)數(shù)展開，可以獲得ω(ζ)的前四項(xiàng)展開式為

(19)

式(19)中：ω(ζ)洛朗級(jí)數(shù)展開式前四項(xiàng)系數(shù)分別為

在ζ平面上，式(14)可改寫為

(20)

式(20)中：

(21)

(22)

因?yàn)閒0(ζ)是在單位圓外解析的，所以f0(ζ)在單位圓內(nèi)部是解析的，根據(jù)Cauchy積分公式，對(duì)于|ζ|<1內(nèi)任一點(diǎn)ζ有

(23)

由式(19)可知，ω(ζ)在單位圓內(nèi)除了一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)ζ=0外是解析的，由留數(shù)定理可得式(23)右端的積分為

(24)

將式(24)代入式(23)，并對(duì)兩端關(guān)于ζ求導(dǎo)，得

(25)

式(25)中：

(26)

2.2 場強(qiáng)度因子

定義裂紋尖端Ⅲ型場強(qiáng)度因子為[19]

(27)

由式(25)可得

(ε1+ε2)+16(ε1-ε2)ζ}×

[2(ε1+ε2)2]-1

(28)

由式(26)可得

(29)

將式(28)和式(29)代入式(27)，再結(jié)合式(11)可得裂紋尖端的場強(qiáng)度因子表達(dá)式為

(30)

(31)

式(31)中：L′為裂紋的等效長度，L′=(L1+L2+2a)/2。

這與文獻(xiàn)[20]中求解的無量綱場強(qiáng)度因子表達(dá)式一致。故由式(30)和式(31)，可得反平面問題正六邊形孔邊裂紋尖端的場強(qiáng)度因子的解析表達(dá)為

(32)

2.3 能量釋放率

在電不可通邊界條件下，根據(jù)文獻(xiàn)[21]能量釋放率的公式可定義為

(33)

式(33)中：ks和kE分別表示應(yīng)變強(qiáng)度因子和電場強(qiáng)度因子，可根據(jù)如下關(guān)系確定

(34)

將式(30)和式(34)代入(33)，并考慮到式(31)，得到裂紋尖端總能量釋放率的表達(dá)式為

(35)

這與文獻(xiàn)[12]中在電不可通邊界下求解的能量釋放率的表達(dá)式一致。

3 電可通邊界情況

3.1 場強(qiáng)度因子

對(duì)于電可通邊界條件可表示為

(36)

則得到電可通邊界條件下場強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式為

(37)

(38)

3.2 能量釋放率

對(duì)于電可通邊界條件下的能量釋放率為

(39)

這與文獻(xiàn)[12]中在電可通邊界下求解的能量釋放率的表達(dá)式一致。

4 數(shù)值算例

本文以壓電陶瓷材料PHT-5H為例，根據(jù)文獻(xiàn)[22]知其彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、介電常數(shù)、臨界能量釋放率分別為c44=3.53×1010N/m2，e15=17 C/m2，ε11=1.51×10-8C/(V·m)，Gr=5.0 N/m。圖3給出了等效場強(qiáng)度因子K隨著左裂紋L1/a的變化曲線。從圖3很容易看到，等效場強(qiáng)度因子隨著左裂紋長度的增大而增大，然后趨于一個(gè)定值。并且當(dāng)左裂紋的長度一定時(shí)，左尖端的等效場強(qiáng)度因子隨著右裂紋的增大反而減小。這說明左裂紋促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展，右裂紋抑制左裂紋的擴(kuò)展。

圖4給出了等效場強(qiáng)度因子K隨孔口邊長a/L2的變化曲線。從圖4可以看出等效場強(qiáng)度因子隨孔口邊長的增加而增加，先急劇增長然后趨于一個(gè)常數(shù)，這表明裂紋擴(kuò)展到一定程度時(shí)孔口邊長對(duì)等效場強(qiáng)度因子的影響較小。另外，在邊長一定的情況下，等效場強(qiáng)度因子隨著左裂紋增大而增大。

圖5給出了在電不可通和電可通兩種邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨L1/a的變化曲線。從圖5可以觀察到，在電不可通和電可通兩種邊界條件下，當(dāng)孔口邊長和右裂紋長度固定時(shí)，能量釋放率隨左裂紋長度的增加而增加；在同一邊界條件下，當(dāng)左裂紋長度給定時(shí)，右裂紋長度越長，對(duì)應(yīng)的能量釋放率反而越小。另外，在相同條件下，電可通邊界條件的能量釋放率比電不可通邊界條件下的能量釋放率稍大一點(diǎn)。

圖6給出了在電不可通和電可通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨a/L1的變化曲線。從圖6可以看到，在電不可通和電可通兩種邊界條件下，當(dāng)左、右裂紋長度固定時(shí)，能量釋放率隨孔口邊長的增大而增大；在同一邊界條件下，當(dāng)孔口邊長給定時(shí)，左裂紋長度越長，對(duì)應(yīng)的能量釋放率越大。另外，在相同條件下，電可通邊界條件的能量釋放率比電不可通邊界條件下的能量釋放率大一些。

圖3 等效場強(qiáng)度因子K隨L1/a的變化關(guān)系Fig.3 Variation ofK with L1/a

圖4 等效場強(qiáng)度因子K隨a/L2的變化關(guān)系Fig.4 Variation of Kwith a/L2

圖5 能量釋放率G/Gr隨L1/a的變化關(guān)系 Fig.5 Variation ofG/Grwith L1/a

圖6 能量釋放率G/Gr隨a/L1的變化關(guān)系Fig.6 Variation ofG/Grwith a/L1

圖7 能量釋放率G/Gr隨 的變化關(guān)系Fig.7 Variation ofG/Grwith

圖8 能量釋放率G/Gr隨的變化關(guān)系Fig.8 Variation ofG/Grwith

5 結(jié)論

基于解析函數(shù)邊值理論，運(yùn)用廣義復(fù)變函數(shù)方法和Stroh公式研究了壓電復(fù)合材料中正六邊形孔邊裂紋反平面問題。結(jié)合壓電復(fù)合材料面內(nèi)應(yīng)力、電位移的復(fù)勢表示及邊界條件，將壓電復(fù)合材料力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為邊值問題。通過引入一個(gè)合適的廣義保角變換和逆變換，充分利用柯西積分公式和留數(shù)定理等工具推導(dǎo)得到缺陷尖端的應(yīng)力、電位移強(qiáng)度因子以及能量釋放率的顯示表達(dá)式。數(shù)值算例分析了幾何參數(shù)、裂紋尺寸及力電載荷對(duì)等效場強(qiáng)度因子的影響，并探討了在電不可通和電可通邊界條件下能量釋放率隨孔口邊長、裂紋尺寸及機(jī)械載荷、電載荷的變化規(guī)律。結(jié)論揭示了壓電復(fù)合材料在受到外載荷時(shí)破壞的機(jī)理，為壓電復(fù)合材料及元器件的制備、設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)及科學(xué)依據(jù)。