“分部積分法”的“釘釘子精神”課程思政教學(xué)探究

馮永平 鄧明香

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510006）

一、案例主題引入

數(shù)學(xué)分析主要利用極限工具研究各類函數(shù)的分析性質(zhì)，如單變量函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性，多變量函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性等內(nèi)容，是數(shù)學(xué)類專業(yè)、部分理工類專業(yè)的專業(yè)必修課程。其中不定積分是函數(shù)可積性中一個非常重要的教學(xué)內(nèi)容，見[1，2]。不定積分運(yùn)算是函數(shù)求導(dǎo)（微分）運(yùn)算的逆運(yùn)算，一般講，正面運(yùn)算（導(dǎo)數(shù)運(yùn)算）由于有很多的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則，計算相對簡單，而逆運(yùn)算，是“找”原函數(shù)的過程，重點在于“找”，在于“構(gòu)造”，如何去“找”或者“構(gòu)造”沒有統(tǒng)一的準(zhǔn)則與模式，相對講困難許多。

不定積分計算中常見的方法有基本積分公式、換元積分方法、分部積分方法[3]?；痉e分方法簡言之就是將基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式反過來使用，也叫做“公式法”，基本積分方法只能計算非常簡單函數(shù)的原函數(shù)，略微復(fù)雜函數(shù)的不定積分計算“公式法”是無法完成的。換元積分方法是通過湊微分方法或變量代換方法將看似復(fù)雜的積分簡單化。分部積分方法是將“函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式”逆用，通過被積函數(shù)的特殊選擇與分解，簡化復(fù)雜積分的計算。不定積分由于沒有統(tǒng)一的準(zhǔn)則與模式，很多初學(xué)者對如何計算不定積分有一種畏懼心理，不知如何出發(fā)去“找”或“構(gòu)造”函數(shù)。

課程思政是新時代高校思想政治工作的一場深刻革命。習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，高校思想政治工作關(guān)系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。要把立德樹人融入教育各環(huán)節(jié)，貫穿基礎(chǔ)教育、職業(yè)教育、高等教育各領(lǐng)域。習(xí)近平強(qiáng)調(diào)，我們辦中國特色社會主義教育，就是要理直氣壯開好思政課，用新時代中國特色社會主義思想鑄魂育人，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信、文化自信，厚植愛國主義情懷，把愛國情、強(qiáng)國志、報國行自覺融入堅持和發(fā)展中國特色社會主義事業(yè)、建設(shè)社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國、實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的奮斗之中。2017年5月，“課程思政”被納入中央《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》，從地方實踐探索轉(zhuǎn)化為國家戰(zhàn)略部署。2017年6月，教育部在上海召開高校思想政治理論課教學(xué)質(zhì)量年上海調(diào)研片會暨高校“課程思政”現(xiàn)場推進(jìn)會。2019年7月，“廣東省教育廳關(guān)于強(qiáng)化課程思政建設(shè)一流課程的意見（粵教高【2019】7號）”為廣東省高校課程思政建設(shè)擬定了指導(dǎo)性文件。

專業(yè)課程教學(xué)中融入思政元素是每位老師踐行“立德樹人”教育目標(biāo)的基本要求，如何更好地展開課程思政，有很多專家已進(jìn)行了初步的探索與實踐[4，5]?！搬斸斪泳瘛笔橇?xí)近平總書記以樸素的話語，提出的一個意蘊(yùn)深遠(yuǎn)的命題[6]。做事好比釘釘子，是要找準(zhǔn)方向一錘一錘接著敲，才能把釘子釘實釘牢。在2018-2019第一學(xué)期數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中，2019-2010第一學(xué)期微積分課程教學(xué)中，將“分部積分方法計算不定積分”與“釘釘子精神”類比教學(xué)，學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)更易掌握計算不定積分的方法，更深刻理解了“釘釘子”精神，深刻把握了學(xué)習(xí)的主題，隱性地對學(xué)生進(jìn)行了人生觀與科學(xué)方法論教育。

教學(xué)中通過隱性地將“釘釘子精神”融入到教學(xué)中，通過對比，讓學(xué)生更易處理“不定積分”計算中出現(xiàn)的困難與問題。

二、與專業(yè)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合的思政融入點

通過長時間教學(xué)探索與實踐，發(fā)現(xiàn)不定積分計算過程與習(xí)總書記倡導(dǎo)的“釘釘子精神”高度吻合。將“換元積分方法”與“釘釘子精神”相比較，加深同學(xué)們對分部積分方法的理解與應(yīng)用。在講述的過程中每一個環(huán)節(jié)與釘釘子相比較，讓同學(xué)們更易掌握抽象的“分部積分方法”，通過淺顯的道理對學(xué)生進(jìn)行了人生觀和世界觀教育。

課程開始環(huán)節(jié)首先回顧了一些簡單函數(shù)的積分方法，如公式方法和換元積分方法，主要思想是利用鏈?zhǔn)椒▌t及反函數(shù)求導(dǎo)法則，將一些看起來復(fù)雜的積分通過變量代換轉(zhuǎn)換為簡單的積分。但在實際計算中經(jīng)常碰到各種不同類型函數(shù)的乘積或某單一函數(shù)高次冪不定積分的計算，顯然“換元方法”一般是很難處理這類“復(fù)雜積分的計算”。

內(nèi)容 思政融入點 教學(xué)過程和教學(xué)方法1。在哪里釘？（基礎(chǔ)與環(huán)境）釘釘子做什么？(初心與使命)2。準(zhǔn)備合適的釘子與錘子(材料與工具)3。如何定一顆釘子？3。1 看準(zhǔn)釘子的方向（釘子要扶正、穩(wěn)）；3。2 一錘一錘穩(wěn)扎穩(wěn)打；每錘落下應(yīng)仔細(xì)觀察方向有沒有偏移？(工作中的敬業(yè)精神)；3。3 若釘了幾錘沒有進(jìn)展，說明下面的環(huán)境不能釘釘子，換一個位置；教學(xué)過程和教學(xué)方法1。已經(jīng)掌握了許多類型函數(shù)的積分（已經(jīng)有了基礎(chǔ)），一些較復(fù)雜函數(shù)的積分如images/BZ_191_1879_2382_1996_2434.png不定積分的計算（分部積分方法）怎么算？(初心與使命)2。找相應(yīng)的公式與算法（分部積分公式），(方法與技術(shù))3。 如何運(yùn)用公式計算一個不定積分？3。1 計算不定積分有幾個基本出發(fā)點，選擇“適當(dāng)函數(shù)”運(yùn)用公式（無理化有理；高次化低次；函數(shù)類型歸一化）；3。2 一步一步仔細(xì)計算、思考；每一步計算仔細(xì)后比較積分的難度有沒有降低？（學(xué)習(xí)中要一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實）；images/BZ_191_1581_2669_1962_2759.pngimages/BZ_191_1581_2765_1915_2854.png，II比I簡單了。3。3 計算的過程中發(fā)現(xiàn)將積分更復(fù)雜化了，馬上轉(zhuǎn)換思路，換一種選擇（方法總比困難多）；images/BZ_191_1581_2944_2069_3044.pngimages/BZ_191_1581_3049_2007_3148.png積分IV比積分III復(fù)雜多了,轉(zhuǎn)換思路。

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在課程講授環(huán)節(jié)，讓同學(xué)們回憶一下第一次“釘釘子”的經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有很多的經(jīng)驗分享，多數(shù)同學(xué)對自己第一次釘釘子時的感受進(jìn)行了分享，讓同學(xué)們暢所欲言，從這件小事我們能總結(jié)出什么樣的人生哲理呢？ 從中引出了計算不定積分其實與“釘釘子”過程是高度吻合的，引出了“分部積分方法”的思政教學(xué)過程。對典型或一些比較困難的不定積分計算，運(yùn)用類比教學(xué)方法，同學(xué)們更易掌握“分部積分方法”的思想與過程，類比過程如上表。

緊接著通過類比，講解了幾種典型函數(shù)的不定積分過程，最后總結(jié)了運(yùn)用分部積分方法計算不定積分的注意點。

通過實際生活案例的分享與討論，將其隱性融入了數(shù)學(xué)專業(yè)課程課堂教學(xué)，“隨風(fēng)潛入夜、潤物細(xì)無聲”，專業(yè)課程思政應(yīng)該起到這樣的效果，也更容易讓同學(xué)們領(lǐng)會貫通。

三、案例意義

結(jié)合自身的10多年教學(xué)經(jīng)驗和對數(shù)學(xué)學(xué)科的深刻認(rèn)識，我們從“認(rèn)識和傳播數(shù)學(xué)文化”、“誘發(fā)對數(shù)學(xué)之美的探索”、“數(shù)學(xué)家的家國情懷”、“闡釋數(shù)學(xué)哲學(xué)與人生價值”等多個方面討論如何做到“知識傳授與價值引領(lǐng)相結(jié)合”的有效路徑。通過總結(jié)，我們歸納出的高等數(shù)學(xué)“立德樹人”教學(xué)內(nèi)容為：培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實態(tài)度，崇尚理性科學(xué)精神，提升數(shù)學(xué)自然審美，傳揚(yáng)真摯家國情懷。

在教學(xué)中，將看似簡單的“釘釘子精神”與“計算不定積分”相比照，一方面將抽象問題通俗化，便于學(xué)生理解。在教學(xué)過程中，通過大家熟悉的“釘釘子”小事，讓大家分享了各自的第一次經(jīng)歷，以此為切入點，類比講述了“不定積分”的計算過程。更重要的是在教學(xué)過程中通過類比與小故事分享讓同學(xué)們樹立了正確的人生觀（要牢記初心與使命，每一階段要有目標(biāo)和方向，做事要穩(wěn)扎穩(wěn)打循序漸進(jìn)，工作要深入鉆研不要做表面工作）與科學(xué)方法論（多角度看問題，條條大道通羅馬（有難有易），積少成多，熟能生巧（千里之行始于足下））。

四、教學(xué)反思

通過教學(xué)實踐，學(xué)生更易理解并運(yùn)用分部積分方法，對在計算積分中碰到的困難與問題有了相應(yīng)的處理思路。由于課時、課室限制，很難長時間、大面積展開。通過網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、線上教學(xué)或微課教學(xué)，讓每個學(xué)生理解小故事中蘊(yùn)含的大道理，讓大多數(shù)同學(xué)對抽象的數(shù)學(xué)有更大的興趣。