一類無窮時(shí)區(qū)上的時(shí)間不一致最優(yōu)控制問題的均衡控制

耿曉琦, 張志雄

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

1 引 言

無窮時(shí)區(qū)上的最優(yōu)控制在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有廣泛應(yīng)用[1-2].在實(shí)際應(yīng)用中,由于貼現(xiàn)率往往不是常數(shù),此類問題的最優(yōu)控制則具有時(shí)間不一致性.1955年，Strotz較為系統(tǒng)地研究了有限時(shí)區(qū)上的時(shí)間不一致最優(yōu)控制問題[3], 指出非常值的貼現(xiàn)率是導(dǎo)致最優(yōu)控制問題具有時(shí)間不一致性的原因之一.文獻(xiàn)[4-6]提出了時(shí)間不一致的Ramesy模型中容許控制成為均衡控制的必要條件.在離散時(shí)間框架下,文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一個(gè)階梯函數(shù)并證明其為均衡控制.在連續(xù)時(shí)間框架下,當(dāng)值函數(shù)充分光滑時(shí)文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了關(guān)于值函數(shù)的微分方程和與其等價(jià)的積分方程,并證明當(dāng)貼現(xiàn)率為常數(shù)時(shí)此微分方程即為HJB方程.此外，在一定條件下,該文獻(xiàn)也證明了均衡控制的存在性.此外，文獻(xiàn)[9]運(yùn)用微分對策來處理時(shí)間不一致的問題,并提供一個(gè)具體例子來說明任意初始狀態(tài)的最優(yōu)控制在下一時(shí)刻不再保持最優(yōu).

在本文中，我們研究一類無窮時(shí)區(qū)上的時(shí)間不一致問最優(yōu)控制問題.當(dāng)貼現(xiàn)率充分大時(shí),我們通過針狀變分的方法推導(dǎo)了容許控制成為均衡控制的充要條件.當(dāng)貼現(xiàn)函數(shù)為指數(shù)型時(shí),此結(jié)果退化為無窮時(shí)區(qū)上的Pontryagin最大值原理.最后本文給出了一個(gè)應(yīng)用.

2 預(yù)備知識

考慮如下受控方程：

(1)

目標(biāo)泛函

(2)

其中f:[0,+∞)×Rn×U→Rn,g:[0,+∞)×Rn×U→R,ρ:[0,+∞)×[0,+∞)→R,x0∈Rn,U是Rm的非空子集,u(·)取值于U.對任意(t,x)∈[0,+∞)×Rn,(x(s),u(s))滿足方程

(3)

考慮如下容許控制集：

U={u(·):[0,+∞)→

(4)

(5)

|f(t,0,u)|≤K(1+|u|)；

|g(t,x,u)|≤K(1+|x|λ+1+|u|2)；

|f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)|≤

|fx(t,x1,u1)-fx(t,x2,u2)|≤

?(|x1-x2|+|u1-u2|)；

|gx(t,x,u)|≤K(1+|x|λ+|u|2).

注1當(dāng)條件(A1)滿足時(shí),對任意(t,x)∈[0,+∞)×Rn,(x(s),u(s))及u(·)∈U,系統(tǒng)(1)和(3)有唯一解.當(dāng)λ=1時(shí),該控制問題包含具常系數(shù)的無窮時(shí)區(qū)上的LQ問題.在投資-收益模型中,x(·)表示資本,u(·)表示投資,目標(biāo)泛函(2)表示總收益,條件 (A1)第二式和第五式則表示收益有某種增長性限制.

條件(A2) 對任意s,t∈[0+,∞),ρ(s,t)≥0,ρ(t,t)=1;ρ在[0,+∞)×[0,+∞)上連續(xù)可微;存在K0>λK+K,以及連續(xù)函數(shù)c0(t),對于任意t>0,存在T≥t,使得對任意s≥T,ρ(s,t)≤c0(t)e-K0s成立.

注2若ρ(s,t)=e-ρ0(s-t),原問題退化為時(shí)間一致的最優(yōu)控制問題,ρ0即為貼現(xiàn)率.

記H(s,t,x,u,p):[0,+∞)×[0,+∞)×Rn×U×Rn→R為Hamilton函數(shù)

H(s,t,x,u,p)=〈f(s,x,u),p〉+

ρ(s,t)g(s,x,u).

(6)

3 主要結(jié)果

引理 3.1對任意的t∈[0,+∞),x∈Rn,u(·)∈U,J(t,x;u(·))有限.

c1(s,t,x,u)eKs

(7)

引理得證.

(8)

其中

g(t,x*(t),u*(t))+

(9)

證明步驟1當(dāng)t≤s≤t+ε時(shí),由條件(A1)和系統(tǒng)(3)可得

其中

我們有

從而

(10)

同理，我們可以估計(jì)x*(·)在[t,t+ε]的模

|x*(s)-x*(t)|≤

(11)

由式(10)(11),對任意t≤s≤t+ε,有

(12)

其中

當(dāng)s>t+ε時(shí),由條件(A1),式(12)及Gronwall不等式,對任意s>t+ε有

(13)

由式(12),(13),對任意s>t,有

(14)

f(t,x*(t),u*(t))]+o(ε)

(15)

步驟3令Yε(·)為下列方程的解:

(16)

(17)

其中

且

記

當(dāng)s≥t+ε時(shí),由式(15)和Gronwall不等式得

其中

且對任意s≥t+ε,

由此可得

(18)

類似推導(dǎo)式(17)的方法,對任意s≥t+ε有

(19)

因此，對任意s≥t+ε,由條件(A1),式(19)及Gronwall不等式,對任意s≥t+ε有

|Y(s)-Yε(s)|≤

(20)

最終，我們有

(21)

其中，關(guān)于o2(ε,s)有如下估計(jì)：

(22)

這里

步驟4計(jì)算得出

g(s,x*(s),u*(s))]ds+

g(s,x*(s),u*(s))]ds=

(23)

因此

g(t,x*(t),u*(t))

(24)

令

由之前的計(jì)算可知

當(dāng)0<ε<ε0時(shí),由條件(A1)(A2),式(19)及式(21)和(22)有

[c1(s,t,x*(t),u*)+1]λeλKs+

C(t)+1)eKsds<+∞.

由控制收斂定理,我們有

(25)

由式(24)(25),定理得證.

推論3.3假設(shè)條件(A1)(A2)成立,且u*(·)∈U.則u*(·)是系統(tǒng)(1)～(3)的弱均衡控制當(dāng)且僅當(dāng)下列等式成立：

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))=

(26)

其中ψ(·,·):[0,+∞)×[0,+∞)→Rn滿足

ψs(s,t)=-Hx(s,t,x*(s),u*(s),ψ(s,t)).

證明 記D(·),Z(·)分別為下列方程的解：

(27)

(28)

其中I為n階單位矩陣,AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置.對任意s≥t,我們有

Y(s)=D(s)D-1(t)Y(t).

對任意s≥0,我們有Z-1(s)=DT(s).記M:[0,+∞)×[0,+∞)→Rn,ψ:[0,+∞)×[0,+∞)→Rn.令

gx(r,x*(r),u*(r))dr

(29)

ψ(s,t)=Z(s)M(s,t)

(30)

容易證明：對任意s,t≥0,Z(s)和M(s,t)是有限的,且|Z(s)|≤eKs，|Z-1(s)|≤eKs.直接計(jì)算可得

ψs(s,t)=-Hx(s,t,x*(s),u*(s),ψ(s,t))

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))]+

(31)

因?yàn)閁是可分的,故存在U的可數(shù)稠子集,記為Q,我們可以將其表示為Q={v1,v2,v3， …}.令

其中n∈N,j∈N+.這樣所構(gòu)造出的控制依然滿足uj,n(·)∈U.

記Fj,n=Euj,n∩[n,n+1).則[n,n+1)Fj,n為零測集.故

H(t,t,x*(t),vj,ψ(t,t))-

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))≤0,t∈Fj,n.

記Fn=∩j≥1Fj,n.則[n,n+1]Fn仍為零測集,且

H(t,t,x*(t),vj,ψ(t,t))-

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))≤0,t∈Fn,j∈N+.

由條件(A1),我們可以推出H(s,t,x,u,p)關(guān)于u是連續(xù)的.由于Q是U的稠子集,我們有

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))=

(32)

因n是任意的,故式(26)成立.

H(t,t,x*(t),u*(t),ψ(t,t))≤0,t∈E.

由定理3.2可得

J(t,x*(t);u*(·))≤εo(1,t),

0,a.e.t∈[0,+∞).

故u*(·)為系統(tǒng)(1)～(3)的均衡控制.證畢.

|f(t,0,u)|≤K；

|g(t,x,u)|≤K(1+|x|λ+1)；

|f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)|≤

|fx(t,x1,u1)-fx(t,x2,u2)|≤

|gx(t,x,u)|≤K(1+|x|λ).

注3記U1為所有可測函數(shù)u(·):[0,+∞)→U構(gòu)成的集合.根據(jù)以上的證明過程,當(dāng)以條件(A3)替換條件(A1),以U1替換U時(shí),引理3.1,定理3.2及推論3.3依然成立.若控制集U是無界的,該控制系統(tǒng)不再包含LQ問題,但容許控制集的范圍可以變得更大.對于閉環(huán)情形,我們?nèi)钥刹扇》N方式來證明閉環(huán)均衡策略的充要條件.

4 應(yīng) 用

我們給出該方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用.考慮如下方程

(33)

目標(biāo)泛函

(1-θ)e-ρ2(s-t))(x(s)-σu(s)2)]ds

(34)

其中x0∈R,U=[0,1],0<δ≤1,0≤θ≤1,ρ1≥ρ2>1,0<σ≤1，這里x(s)代表在s時(shí)刻的資產(chǎn)總量,x0代表初始時(shí)刻的資產(chǎn)總量,u(s)代表在s時(shí)刻的投資,σu(s)2代表投資過程中產(chǎn)生的花費(fèi)或者消耗,δ代表資產(chǎn)的損耗系數(shù).如果0<θ<1，ρ2<ρ1,則該控制問題具時(shí)間不一致性.

可以驗(yàn)證，條件(A2)和(A3)成立,且K=1.通過計(jì)算,我們有

H(t,t,x*(t),u,ψ(t,t))=

x*(t)(1-δψ(t,t))+(-σu2+ψ(t,t)u)

(35)

從而此控制即為該模型唯一的均衡控制.

當(dāng)然,在初始時(shí)刻,uv*(·)也依然可能不是最優(yōu)的.但即使可能找到初始時(shí)刻的最優(yōu)控制,根據(jù)上述的計(jì)算此最優(yōu)控制也不是該模型的均衡控制.