地月低能軌道轉(zhuǎn)移的混沌控制方法

鄭 越，泮斌峰，唐 碩

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引 言

三體模型下航天器軌道常常呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。利用混沌的遍歷特性，能夠使航天器在不耗能的情況下飛行到想要的合理位置。但由于混沌運(yùn)動(dòng)本身具有內(nèi)在隨機(jī)性和長(zhǎng)期趨勢(shì)不可預(yù)見性，導(dǎo)致航天器在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間過長(zhǎng)。因此，在利用三體模型下混沌運(yùn)動(dòng)低能量特性的同時(shí)，如何有效減少軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模、低成本探月活動(dòng)的迫切需求，對(duì)探月工程的發(fā)展具有非常重要的意義。

目前采用混沌控制理論設(shè)計(jì)軌道的研究尚處于起步階段。1995年，Bollt等[1]基于龐加萊截面對(duì)流形進(jìn)行多次截?cái)鄟韺?shí)現(xiàn)地月低能轉(zhuǎn)移，有效地減少航天器在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間，轉(zhuǎn)移過程中施加了8次脈沖。隨后，Schroer等[2]通過對(duì)一組不穩(wěn)定周期軌道進(jìn)行打靶，利用比Bollt的方法略高的能量縮短了地月轉(zhuǎn)移時(shí)間，轉(zhuǎn)移過程中需要至少4次脈沖。Macau[3]將從地球和月球附近出發(fā)的軌道進(jìn)行拼接，通過3次脈沖，進(jìn)一步用能量的增加換取了地月轉(zhuǎn)移時(shí)間的縮短。近期，Salazar等[4]發(fā)展了Bollt方法[1]，通過增大龐加萊截面流形截?cái)嗉s束值，利用更大的能量和8次脈沖，以更短的時(shí)間到達(dá)月球；此外，借助于月球引力輔助變軌方式，也將混沌控制拓展至到地月三體系統(tǒng)L4,L5拉格朗日點(diǎn)的低能轉(zhuǎn)移任務(wù)。

為了減小地月轉(zhuǎn)移過程中所需要的能量，現(xiàn)有的混沌控制方法[1-4]都利用了軌道在龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的交點(diǎn)，分別采用了同一軌道截?cái)郲1,4]和不同軌道拼接[2-3]的方法。對(duì)于同一軌道截?cái)嗟姆椒?，需要軌道本身存在位置接近的投影點(diǎn)。而每次截?cái)嘈枰谲壍擂D(zhuǎn)移過程中施加兩個(gè)脈沖，導(dǎo)致軌道轉(zhuǎn)移過程所需要的脈沖過多。即使減小龐加萊截面流形截?cái)嗉s束值以保證低能耗轉(zhuǎn)移，軌道轉(zhuǎn)移所需要的時(shí)間也較長(zhǎng)。對(duì)于不同軌道拼接的方法，通常需要利用周期軌道作為中間軌道[2]而實(shí)現(xiàn)，具有依賴性。

針對(duì)現(xiàn)有混沌控制方法存在的需要脈沖次數(shù)多和必須通過固定周期軌道等缺點(diǎn)，本文提出一種新的低能地月軌道轉(zhuǎn)移方法。該方法針對(duì)地月三體系統(tǒng)中混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在隨機(jī)性，將混沌區(qū)域在龐加萊截面圖上進(jìn)行分層。進(jìn)一步分析航天器在混沌區(qū)域各層之間的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，找到了在盡可能減少飛行時(shí)間的前提下完成地月軌道轉(zhuǎn)移的途徑。通過粒子群算法確定地月轉(zhuǎn)移軌道通過L1瓶頸區(qū)的狀態(tài)點(diǎn)，利用向前-向后法在盡可能減少飛行時(shí)間的前提下通過2～4次脈沖實(shí)現(xiàn)地月低能軌道轉(zhuǎn)移。

1 地月三體系統(tǒng)

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮地月圓型限制性三體問題(Circular restricted three-body problem，CRTBP)，質(zhì)量可以忽略的航天器在地球和月球兩個(gè)主天體的引力作用下的運(yùn)動(dòng)，其中主天體繞其公共質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[5-6]。歸一化地球質(zhì)量m1和月球質(zhì)量m2之和為單位質(zhì)量，則：

(1)

(2)

其中，Ω為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的等效勢(shì)能：

(3)

設(shè)r1,r2為航天器到兩個(gè)主天體的距離，有：

(4)

CRTBP系統(tǒng)中，存在雅可比積分如下：

(5)

在地月三體系統(tǒng)中，單位長(zhǎng)度為地月之間的距離，L=3.844×105km，單位時(shí)間為T=104 h，單位速度為V=1024 m/s。

1.2 龐加萊截面圖及分層

圖1為地月三體系統(tǒng)中雅可比能量C=3.17948的龐加萊截面圖，E，M分別表示地球和月球。以平動(dòng)點(diǎn)L1[11]為分界線，將龐加萊截面區(qū)域分為地球引力區(qū)和月球引力區(qū)。在地球引力區(qū)中存在四組穩(wěn)定的KAM環(huán)，分別用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ表示。本文利用KAM環(huán)對(duì)龐加萊截面地區(qū)引力區(qū)中的混沌區(qū)域進(jìn)行分層。首先繪制第Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ組KAM環(huán)的包絡(luò)線，形成的封閉區(qū)域分別為2個(gè)，3個(gè)和1個(gè)。然后將第Ⅲ組KAM環(huán)靠近地球一端的包絡(luò)線相連，靠近月球一端的包絡(luò)線與第Ⅳ組包絡(luò)線靠近月球一端的邊緣連接，則可以定義第Ⅲ組KAM環(huán)和第Ⅳ組KAM環(huán)的包絡(luò)線之間的區(qū)域?yàn)镃層。最后將第Ⅱ組KAM環(huán)靠近地球一端的包絡(luò)線相連，靠近月球一端的包絡(luò)線以其邊緣的曲度延伸并將龐加萊截面地球引力區(qū)分為兩個(gè)部分，定義靠近地球部分的混沌區(qū)域?yàn)锳層，而靠近月球部分C層以外的混沌區(qū)域?yàn)锽層。

2 混沌控制在低能地月軌道轉(zhuǎn)移中的應(yīng)用

混沌系統(tǒng)具有內(nèi)在的敏感性，表現(xiàn)為對(duì)系統(tǒng)施加小的擾動(dòng)，會(huì)使系統(tǒng)偏離固有軌跡而運(yùn)動(dòng)[12-13]。這個(gè)擾動(dòng)可以非常小，不改變系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征，而驅(qū)使固有的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)到最終想要的狀態(tài)。這個(gè)混沌控制的過程也被稱為目標(biāo)命中[14]。由于在混沌系統(tǒng)中，微小的擾動(dòng)能夠?qū)е戮薮蟮慕K端狀態(tài)偏差，混沌控制的目的就是確定何時(shí)以及如何選擇微小的擾動(dòng)來達(dá)到預(yù)期的終端狀態(tài)。在地月三體系統(tǒng)中，混沌控制的目的就是通過微小擾動(dòng)產(chǎn)生的能耗改變航天器軌跡以盡可能縮短飛行時(shí)間。

本文根據(jù)地月系統(tǒng)龐加萊截面圖上軌道投影點(diǎn)的分布情況，進(jìn)一步提出了地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間優(yōu)化原則。利用向前-向后法，在節(jié)省時(shí)間的前提下，拼接出地月低能轉(zhuǎn)移軌道。

2.1 地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間優(yōu)化原則

航天器在地月三體系統(tǒng)下不耗費(fèi)任何能量的軌道轉(zhuǎn)移可以認(rèn)為是在地球引力區(qū)域的滑行過程中受到月球小引力的影響，與地月之間連線的相交位置逐漸向月球靠近，最終滑行至月球引力區(qū)而到達(dá)月球附近的過程。由于在航天器的滑行過程中會(huì)經(jīng)過混沌區(qū)域的很多層，而過多的混沌層和在每一層內(nèi)過長(zhǎng)的游蕩時(shí)間，是地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間過長(zhǎng)的主要原因。因此要減少地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間就要讓航天器只經(jīng)過必經(jīng)的混沌層并且盡可能減少在每一層的游蕩時(shí)間。

圖1為地月三體系統(tǒng)中雅可比能量C=3.17948的龐加萊截面圖。由地月CRTBP三體動(dòng)力學(xué)模型的公式(2)可以得出，在每個(gè)主天體的引力區(qū)，離主天體距離越遠(yuǎn)，航天器可以達(dá)到的最大速度越小。航天器在地月系統(tǒng)的地球引力區(qū)的滑行過程是一個(gè)在動(dòng)能作用下遠(yuǎn)離地球，而在地球引力作用下速度逐漸變小而再向地球附近滑行的一個(gè)往復(fù)過程。一旦航天器動(dòng)能可以克服地球引力，航天器將穿過L1瓶頸區(qū)域并受月球引力作用從而到達(dá)月球附近。而龐加萊截面圖的包絡(luò)線可以認(rèn)為是航天器在離主天體相應(yīng)距離下可以達(dá)到的最大速度，可以直接影響航天器滑行時(shí)的軌跡形狀。

第1.2節(jié)中分析了地月軌道初始位置的選擇原則，即應(yīng)該從軸上第Ⅰ組KAM環(huán)的右側(cè)開始向月球方向移動(dòng)。圖2為初始位置從第Ⅰ組KAM環(huán)的右側(cè)向月球方向過渡的一組周期軌道(圓圈表示周期軌道的初始位置)；圖3為地月系統(tǒng)的龐加萊截面圖。圖2中的周期軌道圖2(a),2 (b),2 (c), 2(d),2 (e), 2(f) ,2 (g),2 (h)在圖3中的投影點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于周期軌道a, b, c, d, e, f, g, h。圖3中，投影點(diǎn)位于KAM環(huán)圓心的周期軌道f為穩(wěn)定周期軌道，對(duì)其周圍軌跡流形具有吸引作用；而投影點(diǎn)位于混沌區(qū)域的周期軌道a, b, c, d, e, g, h為不穩(wěn)定周期軌道，可以作為三體系統(tǒng)下軌跡流形狀態(tài)隨著初始點(diǎn)變化的分析依據(jù)。將圖3中的周期軌道與圖1中混沌區(qū)域的分區(qū)圖相對(duì)應(yīng)，周期軌道a, b在A層中，通過A層在龐加萊截面圖上所處的位置可知軌道流形在A層內(nèi)距離地球近且速度較大，流形遠(yuǎn)離地球再回到地球附近的一個(gè)過程中軌跡流形如軌道a, b形成交叉點(diǎn)。同時(shí)，A層中的周期軌道隨著初始位置的改變，會(huì)經(jīng)過一系列如軌道b的過渡而進(jìn)入B層，演變?yōu)閳D2(c)中周期軌道的形狀(圖2(c)中周期軌道為文獻(xiàn)[2]中規(guī)定的中間目標(biāo))。在B層中，航天器遠(yuǎn)離和靠近地球的一個(gè)往復(fù)過程與地球的距離顯著增大，軌道形狀也如圖2(d), 2(e)發(fā)生了很大的變化。而在B層內(nèi)航天器已經(jīng)可以脫離地球引力的束縛而進(jìn)入月球引力區(qū)，如圖2(e)所示。當(dāng)軌道在龐加萊截面圖中處于以周期軌道f為中心的KAM組的內(nèi)圈即C層時(shí)，航天器遠(yuǎn)離和靠近地球的一個(gè)往復(fù)過程與地球的距離進(jìn)一步增大，且在C層內(nèi)航天器非常容易滑行至月球引力區(qū)。圖2(h)為軌道從C區(qū)向月球附近轉(zhuǎn)移的流形圖。

通過圖2(a), 2(b), 2(c), 2(d),2(e), 2(f), 2(g),2(h)可以演變出航天器從地球附近向月球附近軌道轉(zhuǎn)移的過程。轉(zhuǎn)移軌道在混沌區(qū)域的過渡過程可以通過A→B→C或者A→B。為了節(jié)省轉(zhuǎn)移時(shí)間，軌道應(yīng)該通過A→B轉(zhuǎn)移至月球附近，所以軌道經(jīng)過C層是軌道轉(zhuǎn)移耗時(shí)過長(zhǎng)的一個(gè)重要原因。軌道轉(zhuǎn)移耗時(shí)過長(zhǎng)的另一個(gè)原因是軌道流形會(huì)在相鄰兩層之間來回滑行。如圖2(g)所示，其軌跡在龐加萊截面圖3上的投影g在B, C層之間滑行會(huì)消耗過多的飛行時(shí)間。所以，為了節(jié)省地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間，就是要使航天器盡快從A層滑行至B層然后再滑行至月球附近，且避免軌道流形在兩層之間來回滑行。

2.2 地月軌道拼接方法

地月系統(tǒng)的混沌區(qū)域內(nèi)，在初始端施加小的擾動(dòng)可以使軌跡終端的狀態(tài)發(fā)生很大的變化，而混沌本身具有遍歷性，可以在初始端速度改變很小的前提下使航天器軌跡遍布廣泛區(qū)域，通過兩條軌跡的拼接來實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移。

軌道間的拼接是一個(gè)目標(biāo)命中的過程，可以用Shinbrot等提出的向前-向后法(Forward-backward method)來實(shí)現(xiàn)[15]。算法的思想如圖4所示，為了找到從初始狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)入以εt為半徑的目標(biāo)域的一段軌跡，對(duì)以(p0,q0)為中心長(zhǎng)度為δ的控制段(p,q)施加控制(p,q分別為位置和速度)并向前迭代，而小的目標(biāo)域向后迭代，如果存在一條同時(shí)通過初始位置附近和目標(biāo)區(qū)域的軌跡，則控制段和目標(biāo)區(qū)域的延展方向?qū)⒆罱K相交，從交點(diǎn)演變到控制段的點(diǎn)pint出發(fā)可以直接到達(dá)目標(biāo)區(qū)域。

由于在軌道轉(zhuǎn)移過程中施加脈沖只能改變航天器的速度，不能改變其位置，本文將龐加萊截面圖上地球附近的初始點(diǎn)P為中心的區(qū)域作為目標(biāo)域，而控制段上狀態(tài)點(diǎn)位置坐標(biāo)位于L1瓶頸處，橫向速度的大小由長(zhǎng)度為δ的線段確定，且控制段上所有狀態(tài)點(diǎn)速度大小相同。目標(biāo)域不穩(wěn)定方向上的點(diǎn)正向時(shí)間積分會(huì)逐漸遠(yuǎn)離以P為初始點(diǎn)的軌跡，控制段穩(wěn)定方向上的點(diǎn)反向時(shí)間積分會(huì)逐漸遠(yuǎn)離以控制段中心點(diǎn)為初始點(diǎn)的軌跡。目標(biāo)域和控制段經(jīng)過數(shù)次迭代后，其延展方向在龐加萊截面圖上相交，通過交點(diǎn)反向時(shí)間和正向時(shí)間積分，可以得到一條從P點(diǎn)附近出發(fā)到達(dá)L1瓶頸的一段軌跡。由于盡可能縮短航天器在混沌區(qū)域的運(yùn)送時(shí)間是地月軌道轉(zhuǎn)移的重要目標(biāo)，應(yīng)該盡量減少控制段和目標(biāo)域的迭代次數(shù)。當(dāng)控制段與目標(biāo)域迭代過程中位置很近，延展方向又幾乎平行不易存在交點(diǎn)時(shí)，可以通過一個(gè)脈沖來拼接軌[16]。

2.3 控制段的確定方法

在PSO算法中，有m個(gè)n維的向量的粒子組成一個(gè)種群，每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)一個(gè)位置向量和一個(gè)速度向量。每個(gè)粒子根據(jù)自己的飛行經(jīng)歷和種群中其他粒子的飛行經(jīng)歷來調(diào)整自己的飛行，通過跟蹤個(gè)體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子來控制自己的運(yùn)動(dòng)。在粒子尋優(yōu)過程中，第i個(gè)粒子第s維向量的運(yùn)動(dòng)軌跡描述如下：

(6)

式中:c1和c2為學(xué)習(xí)因子，是非負(fù)常數(shù)，r1s和r2s服從[0,1]上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，vis是粒子的速度，pis為局部最優(yōu)位置，是第i個(gè)粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，pgs為全局最優(yōu)位置，ω是慣性權(quán)值。

本文算法中，控制段中心點(diǎn)的候選狀態(tài)點(diǎn)向量與每個(gè)粒子的二維位置向量(y,θ)相對(duì)應(yīng)，y表示狀態(tài)點(diǎn)在縱坐標(biāo)上的位置，在固定雅可比積分下，該點(diǎn)的速度可以通過式(5)得到：

(7)

θ表示狀態(tài)點(diǎn)速度的方向，則：

(8)

由第2.2節(jié)可知，軌道可以通過目標(biāo)域和控制段的延展方向在龐加萊截面圖上的交點(diǎn)完成拼接。將目標(biāo)域數(shù)次迭代后形成的區(qū)域定義為拼接區(qū)域F，本文根據(jù)軌跡與F區(qū)的最短縱坐標(biāo)距離計(jì)算粒子適應(yīng)度值，方法如圖5所示。軌跡從每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)，如果在預(yù)定時(shí)間TM內(nèi)，正向時(shí)間積分能夠到達(dá)月球附近，在預(yù)定時(shí)間TF內(nèi)，反向時(shí)間積分不經(jīng)過C層，則將反向時(shí)間積分的軌跡在龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)與區(qū)域F最短的縱坐標(biāo)距離作為這個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)粒子的適應(yīng)度值；否則將該粒子的適應(yīng)度值設(shè)定為最大值。計(jì)算每個(gè)粒子的最小適應(yīng)度值找出局部最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，最后得出的全局最優(yōu)位置即為控制段中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量。

2.4 地月軌道轉(zhuǎn)移設(shè)計(jì)方法

通過地月三體系統(tǒng)中混沌區(qū)域分層和軌道在各層間轉(zhuǎn)移的規(guī)律能夠得到盡可能快的實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移的途徑；向前-向后法可以盡可能地減小地月軌道轉(zhuǎn)移過程中所需要的能量。將這兩種優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，能夠在節(jié)省時(shí)間的前提下，有效實(shí)現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移。

為了盡可能減少軌道轉(zhuǎn)移所需要的時(shí)間，一方面，目標(biāo)域正向時(shí)間積分并記錄每次迭代在龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)，當(dāng)?shù)鶱次時(shí)如果有部分投影點(diǎn)能夠離開A層，則將這些投影點(diǎn)組成的區(qū)域設(shè)定為拼接區(qū)域F；另一方面，從控制段出發(fā)的參考軌道正向時(shí)間積分可以接近月球附近的KAM 環(huán)Q，反向時(shí)間積分不經(jīng)過C層且盡可能快地到達(dá)拼接區(qū)域F。通過向前-向后法將目標(biāo)域和控制段的延展方向在區(qū)域F進(jìn)行拼接。目標(biāo)域內(nèi)地月軌道轉(zhuǎn)移的起始點(diǎn)通過拼接點(diǎn)反向時(shí)間積分得到，而控制段上的轉(zhuǎn)移點(diǎn)通過拼接點(diǎn)正向時(shí)間積分得到。地月軌道轉(zhuǎn)移過程如圖6所示。

在整個(gè)地月轉(zhuǎn)移過程中，本文方法所需施加的脈沖為2～4次。必要的兩次脈沖為航天器脫離地球附近周期區(qū)域和進(jìn)入月球附近周期區(qū)域所施加的。在控制段和拼接區(qū)域F的脈沖可以根據(jù)不同情況而改變。在控制段，如果從轉(zhuǎn)移點(diǎn)正向時(shí)間積分能夠達(dá)到月球附近，則地月軌道轉(zhuǎn)移完成，否則在轉(zhuǎn)移點(diǎn)施加沖量轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂贫沃行狞c(diǎn)，再完成地月軌道轉(zhuǎn)移。在拼接區(qū)域，如果目標(biāo)域和控制段的延展方向在區(qū)域F相交，則這段軌跡的拼接不需要施加沖量，否則在龐加萊截面圖上選擇控制段與區(qū)域F橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)距離最近的點(diǎn)進(jìn)行拼接，施加沖量的大小由縱坐標(biāo)間的距離決定。

3 數(shù)值仿真校驗(yàn)

地月軌道轉(zhuǎn)移就是對(duì)地球附近的周期軌道上的航天器施加脈沖，使其飛行至月球附近，然后再對(duì)其施加脈沖使其繞月飛行。在地月三體系統(tǒng)中，地月轉(zhuǎn)移軌道的初始點(diǎn)選擇與文獻(xiàn)[1-4]相同的P點(diǎn)。該點(diǎn)位于半徑為59669 km的圍繞地球旋轉(zhuǎn)的圓軌道上，在圖3所示的龐加萊截面圖中用‘*’表示。在雅可比能量C=7.17218時(shí)航天器通過P點(diǎn)圍繞著地球做周期運(yùn)動(dòng)(由于參數(shù)精度選擇有差異，本文所得到的周期軌道雅可比能量與文獻(xiàn)[1-4]中的C=7.1738不一致)，施加一個(gè)平行的脈沖使航天器進(jìn)入混沌區(qū)域，這時(shí)系統(tǒng)的雅可比能量為C=3.17948(實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移的必要條件是系統(tǒng)雅可比能量必須小于CL=3.1883)。這要求速度的改變?chǔ)=748.06 m/s(文獻(xiàn)[1-4]中ΔV=744.4 m/s)，而如圖3所示，點(diǎn)P在C=3.17948時(shí)包圍在混沌區(qū)域內(nèi)，當(dāng)軌道轉(zhuǎn)移到月球附近并距離繞月周期軌道為中心的KAM環(huán)Q距離很近時(shí)，便可以通過一個(gè)很小的脈沖使軌道流形進(jìn)入KAM環(huán)的邊緣而繞月運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)系統(tǒng)雅可比能量C=3.17948，航天器在不施加外力的情況下從龐加萊截面圖上的P點(diǎn)滑行到月球附近需要27年多的時(shí)間，而且航天器并沒有長(zhǎng)時(shí)間停留在月球附近，而是在月球附近飛行數(shù)圈后便很快遠(yuǎn)離。圖7(a)為航天器在系統(tǒng)雅可比能量C=3.17948下從P點(diǎn)自由滑行的軌跡，圖7(b)為其對(duì)應(yīng)的龐加萊截面圖，對(duì)應(yīng)圖1中龐加萊截面圖的分區(qū)?？梢钥闯觯教炱髟邶嫾尤R截面圖中的A層游蕩很長(zhǎng)時(shí)間后，其軌跡轉(zhuǎn)變?yōu)樵贏層和B層之間飛行；然后經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，轉(zhuǎn)變?yōu)樵贐層和C層之間飛行；最后通過C層軌跡轉(zhuǎn)移到月球附近。

本文選擇P點(diǎn)為中心的區(qū)域作為目標(biāo)域，用本文方法確定控制段，規(guī)定預(yù)定時(shí)間TM和TF，進(jìn)而得到地月低能轉(zhuǎn)移軌道。令TM=5T，圖8(a)，圖8(b)分別為預(yù)定時(shí)間取TF=50T和TF=25T得到的兩種轉(zhuǎn)移軌道。圖8(a)中，航天器從距離P點(diǎn)非常接近的P1點(diǎn)出發(fā)，施加ΔVP1=736.3 m/s的脈沖使航天器進(jìn)入混沌區(qū)域。在控制段需要ΔVB1=0.002 m/s，使從B1出發(fā)的流形與從P1出發(fā)的流形拼接形成地月轉(zhuǎn)移軌道。在離繞月準(zhǔn)周期軌道KAM最近的點(diǎn)A1施加一個(gè)速度增量使軌道流形進(jìn)入KAM環(huán)內(nèi)需要ΔVA1=4.6 m/s。將這3個(gè)脈沖相加，可得到在混沌軌道的控制中所需要的總能量為740.9 m/s，飛行時(shí)間為303天。圖8(b)中，航天器從距離P點(diǎn)非常接近的P2點(diǎn)出發(fā)，施加ΔVP2=752.4 m/s的脈沖使航天器進(jìn)入混沌區(qū)域。在控制段需要ΔVB2=0.2 m/s，使從B2出發(fā)的流形與從P2出發(fā)的流形拼接形成地月轉(zhuǎn)移軌道。在拼接點(diǎn)C2需要ΔVC2=141.6 m/s，在離繞月準(zhǔn)周期軌道KAM最近的點(diǎn)A2施加一個(gè)速度增量使軌道流形進(jìn)入KAM環(huán)內(nèi)需要ΔVA2=2.9 m/s。將這4個(gè)脈沖相加，可得到在混沌軌道的控制中所需要的總能量為

897.1 m/s，飛行時(shí)間為184天。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，通過本文方法實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移所需的脈沖次數(shù)較少，具體的軌跡可以根據(jù)轉(zhuǎn)移過程中需要的總能量和飛行時(shí)間的要求來選擇。表1為文獻(xiàn)[1-4]與圖8中軌道所需總能量、轉(zhuǎn)移時(shí)間和脈沖次數(shù)的對(duì)比。與文獻(xiàn)[1-4]相比，圖8(a)中所設(shè)計(jì)的軌道使用最小的能耗得到了飛行時(shí)間較短的轉(zhuǎn)移軌道，而圖8(b)中所設(shè)計(jì)的軌道通過稍大的能耗顯著縮短了飛行時(shí)間。

表1 地月軌道轉(zhuǎn)移所需的總能量、飛行時(shí)間和脈沖次數(shù)Table 1 Required energy, time of flight and impulse times in Earth-Moon orbit transfer

4 結(jié) 論

本文通過將地月三體系統(tǒng)的龐加萊截面圖分為不同的層，得到了地月系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移軌道時(shí)耗時(shí)過長(zhǎng)的原因，提出地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間優(yōu)化原則。結(jié)合向前-向后法，將從地球附近目標(biāo)域正向時(shí)間積分的軌跡和L1瓶頸處的控制段軌跡進(jìn)行拼接進(jìn)而完成低能地月軌道轉(zhuǎn)移。該方法僅需施加2～4次脈沖，在盡可能節(jié)省能量的情況下，有效地減少了航天器在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間。而轉(zhuǎn)移所需的能耗和時(shí)間的折衷標(biāo)準(zhǔn)是進(jìn)一步需要完成工作。