基于壓電纖維復(fù)合材料的旋轉(zhuǎn)葉片主動(dòng)控制1)

張 博 丁 虎 陳立群

?(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院,西安 710064)

?(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)

??(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院力學(xué)系,廣東深圳 518055)

引言

旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)、重型燃?xì)廨啓C(jī)等國(guó)家核心裝備制造業(yè)的關(guān)鍵熱端部件.惡劣的服役條件往往會(huì)導(dǎo)致葉片發(fā)生大幅非線性振動(dòng),出現(xiàn)多種共振形式,加速損耗了葉片乃至整機(jī)的疲勞壽命.亟需精準(zhǔn)把握旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并發(fā)展高效穩(wěn)定的振動(dòng)控制方法,避免葉片因大幅振動(dòng)而造成過(guò)早損毀.

首先,需要針對(duì)典型的旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)建立精確的動(dòng)力學(xué)模型,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)這類(lèi)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.大多數(shù)研究[1-7]通常將葉片抽象為中軸線為直線的梁、板或殼,建立線性或非線性動(dòng)力學(xué)方程描述旋轉(zhuǎn)葉片的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,研究其動(dòng)力學(xué)特性以及非線性動(dòng)力學(xué)行為.然而葉片服役時(shí)所處的熱梯度環(huán)境,導(dǎo)致這類(lèi)結(jié)構(gòu)預(yù)變形是不可避免的.20 世紀(jì)90 年代初,日本學(xué)者Takabatake[8]報(bào)道了恒載(dead load) 引起的預(yù)變形對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為存在顯著影響.為了建立更為精確的動(dòng)力學(xué)模型,Zhang 和Li[9]考慮了溫度梯度引起的預(yù)變形,從而將旋轉(zhuǎn)葉片考慮為一個(gè)非對(duì)稱振動(dòng)系統(tǒng),建立了考慮預(yù)變形的旋轉(zhuǎn)葉片非線性動(dòng)力學(xué)方程.在此模型基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[10-14] 研究了預(yù)變形旋轉(zhuǎn)葉片2:1 內(nèi)共振、3:1 內(nèi)共振、參數(shù)共振、諧波共振等多種不同形式共振可能性以及所蘊(yùn)含的豐富動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

其次,針對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu),發(fā)展相應(yīng)的被動(dòng)或主動(dòng)振動(dòng)控制方法對(duì)于減輕葉片重量,提升葉片性能,延長(zhǎng)葉片壽命具有重要意義.被動(dòng)控制具有成本低,易于維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)[15-16].但通常存在工作頻帶窄,不便調(diào)節(jié),產(chǎn)生較大的附加質(zhì)量等缺陷[17].因此,很多學(xué)者開(kāi)始將目光轉(zhuǎn)向探索主動(dòng)控制方法.在主動(dòng)控制中,時(shí)滯效應(yīng)對(duì)受控系統(tǒng)穩(wěn)定性影響是一個(gè)重要問(wèn)題.由于信號(hào)采集測(cè)量、傳輸延遲、信號(hào)濾波、數(shù)據(jù)運(yùn)算以及作動(dòng)器響應(yīng)等過(guò)程,時(shí)滯效應(yīng)很難避免.王在華和胡海巖[18-19]針對(duì)不同的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型,研究了比例微分(proportional derivative,PD) 控制中時(shí)滯量對(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的復(fù)雜影響.早期學(xué)者們[20]大多采用壓電陶瓷材料作為主動(dòng)控制裝置的主要材料.但壓電陶瓷材料的柔韌性差強(qiáng)度低等缺點(diǎn)限制了其在工程中的廣泛應(yīng)用.壓電纖維復(fù)合材料由交叉指形電極、環(huán)氧樹(shù)脂、壓電陶瓷纖維三部分組成,顯著提升了傳感和驅(qū)動(dòng)性能,且能更好地適用于曲面結(jié)構(gòu).近年來(lái),基于MFC 設(shè)計(jì)的主動(dòng)控制設(shè)備越來(lái)越多,學(xué)者們廣泛將其應(yīng)用到梁[21]、平板[22]、復(fù)合材料板[23]等典型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制中.最近,孫杰等[24]采用MFC 驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)了含間隙鉸接航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的協(xié)調(diào)控制.2013 年,NASA 格倫研究中心通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和多物理場(chǎng)有限元仿真證明了壓電片可顯著降低葉片振動(dòng)[25].文獻(xiàn)[26-28]在Yao 模型上引入非線性飽和控制器,正位置反饋控制器等,實(shí)現(xiàn)了對(duì)空心壓縮機(jī)葉片的振動(dòng)控制.唐冶等[29]采用壓電材料對(duì)脈動(dòng)旋轉(zhuǎn)懸臂梁進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制,得到了壓電旋轉(zhuǎn)懸臂梁在諧波共振時(shí)的穩(wěn)定性邊界.

雖然基于壓電復(fù)合材料的振動(dòng)控制取得一些進(jìn)展,但針對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的主動(dòng)振動(dòng)控制方面,目前相關(guān)研究還比較少[30-31].本文采用MFC 作為傳感器和作動(dòng)器,與旋轉(zhuǎn)葉片組成具有一定時(shí)滯效應(yīng)的閉環(huán)控制系統(tǒng).并在葉片發(fā)生2:1 內(nèi)共振條件下,探究控制器各主要參數(shù)對(duì)葉片振動(dòng)控制效率及穩(wěn)定性的影響規(guī)律.

1 模型描述和控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

本文研究的基于MFC 的旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)控制系統(tǒng)如圖1 所示.在葉背和葉盆兩側(cè)對(duì)稱地布置MFC傳感器和MFC 作動(dòng)器.控制器工作時(shí),MFC 傳感器測(cè)量葉片弦向(chordwise)位移信號(hào)并傳輸給計(jì)算機(jī),經(jīng)過(guò)分析運(yùn)算后得到控制信號(hào),并將控制力信號(hào)輸出給MFC 作動(dòng)器,通過(guò)作動(dòng)器的響應(yīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)控制.

圖1 包含MFC 傳感器和作動(dòng)器的旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)控制示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotating blade controller system with MFC sensors and MFC actuators

文獻(xiàn)[9-10]使用Lagrange 原理結(jié)合假模態(tài)設(shè)法,再通過(guò)模態(tài)變換,得到了線性部分解耦的熱梯度環(huán)境下旋轉(zhuǎn)預(yù)扭葉片的動(dòng)力學(xué)方程.本文在上述方程的基礎(chǔ)上引入具有時(shí)滯效應(yīng)的PD 反饋控制.另外,根據(jù)文獻(xiàn)[10,14]立方非線性對(duì)葉片2:1 內(nèi)共振影響十分微弱,因此本文忽略立方非線性項(xiàng),最終得到受控葉片系統(tǒng)在模態(tài)空間下的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中q1,q2分別為弦向和翼向模態(tài)坐標(biāo),cd為無(wú)量綱阻尼系數(shù).ω1,ω2為葉片前兩階無(wú)量綱固有頻率,葉片轉(zhuǎn)速通過(guò)離心效應(yīng),顯著影響葉片的低階固有頻率,在一定的轉(zhuǎn)速條件下,ω1與ω2之間會(huì)出現(xiàn)可公度關(guān)系,使得系統(tǒng)存在內(nèi)共振的可能性[13].f1,f2為模態(tài)空間下的激振力,與簡(jiǎn)諧變化的燃?xì)鈮毫Φ姆党烧壤P(guān)系.η11,η12,η13,η21,η22,η23為系統(tǒng)平方非線性項(xiàng)系數(shù),是由于考慮了葉片在服役環(huán)境下的預(yù)變形效應(yīng)而產(chǎn)生的,平方非線性項(xiàng)系數(shù)的大小與預(yù)變形程度成正比關(guān)系.以上參數(shù)的具體定義可參考文獻(xiàn)[14].u(t)為PD 控制器輸出的控制力,這里為了簡(jiǎn)化分析,假設(shè)控制力僅是葉片弦向位移信號(hào)和速度信號(hào)的線性反饋,且僅作用在弦向位移上,通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)共振引入的前兩階模態(tài)間的能量交換機(jī)制,實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)預(yù)扭葉片的振動(dòng)控制.u(t)具體表達(dá)為

其中,kp為位移反饋增益,kd為速度反饋增益,τ 為信號(hào)采集、傳輸、運(yùn)算、響應(yīng)等環(huán)節(jié)產(chǎn)生的時(shí)間延遲,通常是一個(gè)小量.理論上講,位移通道和速度通道反饋時(shí)滯均可以是任意值[32-33],這里為了簡(jiǎn)便,僅考慮最簡(jiǎn)單的一種情形,即認(rèn)為位移時(shí)滯與速度時(shí)滯相等.

2 基于多尺度法的攝動(dòng)分析

對(duì)控制方程進(jìn)行重刻度,并引入兩個(gè)時(shí)間尺度

其中?1=σ1T1?2β1+β2,?2=σ2T1?β1.為了研究該受控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),令受控系統(tǒng)演化方程(14)～(17)等號(hào)左側(cè)為0.系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由李雅普諾夫運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論確定.本文采用數(shù)值延拓與分岔分析工具包Matcont,對(duì)受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.

3 受控系統(tǒng)響應(yīng)演化規(guī)律

本文動(dòng)力學(xué)方程采用文獻(xiàn)[9-10]中的參數(shù):σ1=0,σ2=1.5,cd=0.1,ε=0.01,ω1=4.487 3,η11=?9.227 0×102,η12=4.093 0×103,η13=?3.983 5×102,η21=1.934 8×103,η22=?7.532 2×102,η23=3.725 9×103,f1=2.553 0×10?3,f2=7.803 1×10?3.由演化方程(14)～(17) 分析旋轉(zhuǎn)葉片發(fā)生2:1 內(nèi)共振附近時(shí),受控旋轉(zhuǎn)預(yù)變形葉片的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

如圖2 所示,當(dāng)無(wú)控制(kd=0)時(shí),系統(tǒng)頻響曲線呈現(xiàn)典型的雙跳躍現(xiàn)象[9],在兩側(cè)跳躍附近分別存在一個(gè)極限點(diǎn)(用圓圈和字母LP 表示),兩個(gè)極限點(diǎn)之間的分支是不穩(wěn)定的,在完全外共振(σ2=0)附近系統(tǒng)存在一個(gè)Hopf 分岔(用星號(hào)和字母H 表示).后面為了整潔,略去表示分岔點(diǎn)類(lèi)型的字母,僅用點(diǎn)型來(lái)區(qū)分.系統(tǒng)引入速度增益后,跳躍現(xiàn)象被抑制,Hopf 分岔消失,響應(yīng)峰值明顯降低,頻響曲線變得更加平坦.從受控系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)和(3)來(lái)看,若忽略時(shí)滯效應(yīng),速度增益的作用類(lèi)似于給系統(tǒng)引入新的阻尼.

圖2 不同速度增益kd 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kp=0)Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)

圖2 不同速度增益kd 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kp=0)(續(xù))Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)(continued)

如圖3 所示,隨著位移增益增大,頻響曲線呈現(xiàn)硬化現(xiàn)象,1 階響應(yīng)增大,2 階響應(yīng)減小,即系統(tǒng)前兩階模態(tài)響應(yīng)耦合降低,響應(yīng)峰值向高頻方向移動(dòng).由此說(shuō)明位移增益必須恰當(dāng)選取,否則會(huì)引起系統(tǒng)新的共振.實(shí)際上,從受控系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程看,若忽略時(shí)滯效應(yīng),位移增益的作用類(lèi)似于給系統(tǒng)引入新的剛度,系統(tǒng)原有的2:1 內(nèi)共振條件被打破.

圖3 不同位移增益kp 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kd=0)Fig.3 Frequency response curves of controlled system for different displacement gain kp (kd=0)

由圖4 可見(jiàn),速度增益跨越0 附近,存在一個(gè)Hopf 分岔,負(fù)的kd使得系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性.小延遲下的速度增益對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)抑制效果更為明顯.由圖5 所示,當(dāng)位移增益kp變化中,存在一個(gè)范圍使得系統(tǒng)響應(yīng)存在多值現(xiàn)象,兩個(gè)極限點(diǎn)之間的分支系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是不穩(wěn)定的.且不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)被時(shí)滯效應(yīng)放大.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨位移增益的演變對(duì)時(shí)滯效應(yīng)十分敏感,對(duì)于較大時(shí)滯,系統(tǒng)有可能會(huì)出現(xiàn)Hopf 分岔,失去穩(wěn)定性.如果不恰當(dāng)選取位移增益,會(huì)使得系統(tǒng)響應(yīng)迅速增長(zhǎng),喪失控制效果.

圖4 不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨速度增益(kd)的演變情況(kp=0)Fig.4 Variation of the controlled system steady response with velocity gain kd for different time delay(kp=0)

圖5 不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨位移增益(kp)的演變情況(kd=0)Fig.5 Variation of the controlled system steady response with displacement gain kp for different time delay(kd=0)

4 時(shí)滯量對(duì)控制器穩(wěn)定性的影響

圖6 繪制了不同時(shí)滯量下,受控系統(tǒng)在增益平面(kp,kd)內(nèi)穩(wěn)定區(qū)域.顯然時(shí)滯越大穩(wěn)態(tài)區(qū)域越小.穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線大致呈現(xiàn)一條直線,該直線的斜率隨時(shí)滯量增大而增大.kp在8 ～12附近,非穩(wěn)定區(qū)域出現(xiàn)一塊戟形隆起.這一隆起和系統(tǒng)隨kp演變過(guò)程中的多值現(xiàn)象相關(guān).這一隆起隨時(shí)滯增大而向上移動(dòng)且面積縮小.

圖6 不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)增益穩(wěn)定性區(qū)域Fig.6 Stability regions of the controlled system for different time delay

在圖6(b)穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線上找一點(diǎn)kp=32,kd=1.5,細(xì)致討論.圖7 給出了受控前后,系統(tǒng)力響應(yīng)曲線.控制前系統(tǒng)力響應(yīng)曲線存在兩個(gè)極限點(diǎn),有明顯的滯后現(xiàn)象.加入反饋控制后,系統(tǒng)的滯后現(xiàn)象被顯著抑制,僅在較大的時(shí)滯下出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.下面以時(shí)滯為變量,以零時(shí)滯為起點(diǎn),對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)做延拓分析,如圖8 所示.時(shí)滯較小時(shí)受控系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點(diǎn),滯效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)大小影響很微弱.在τ=0.05 附近出現(xiàn)Hopf 分岔,表明系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)失穩(wěn)而產(chǎn)生極限環(huán),出現(xiàn)新的周期運(yùn)動(dòng).深入研究將發(fā)現(xiàn),Hopf 分岔后,受控系統(tǒng)會(huì)緩慢進(jìn)入新的周期運(yùn)動(dòng),在新的周期運(yùn)動(dòng)下系統(tǒng)振動(dòng)幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分岔前.因此本文將Hopf 分岔時(shí)的時(shí)滯量,稱為臨界時(shí)滯.由圖8 可見(jiàn),不同外調(diào)諧參數(shù)σ2下,臨界時(shí)滯大致相同.

圖7 控制前(kp=0,kd=0)與控制后(kp=32,kd=1.5)系統(tǒng)的力響應(yīng)曲線(σ2=4.5)Fig.7 Force response curves of the system before(kp=0,kd=0)and after(kp=32,kd=1.5)control(σ2=4.5)

為了驗(yàn)證多尺度分析的正確性,對(duì)原系統(tǒng)(1)和(2)受控前后進(jìn)行Runge-Kutta 數(shù)值積分,其中控制力項(xiàng)(3) 采用差分法處理.由圖9(a)～圖9(c) 可見(jiàn),不同時(shí)滯量下,受控系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后響應(yīng)幅值幾乎不變,印證了圖8 得到的結(jié)論.此外,時(shí)滯越小,系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間越短,符合物理預(yù)期.當(dāng)時(shí)滯接近或大于臨界時(shí)滯(0.05)時(shí),系統(tǒng)將緩慢進(jìn)入新的周期運(yùn)動(dòng),為了能清晰展示新的周期運(yùn)動(dòng),在圖9(f)中將τ=0.051 條件下的時(shí)間積分長(zhǎng)度延長(zhǎng)20 倍,發(fā)現(xiàn)此時(shí)受控系統(tǒng)十分緩慢的進(jìn)入新的周期運(yùn)動(dòng),且振動(dòng)幅值放大了近三個(gè)數(shù)量級(jí),受控前的系統(tǒng)響應(yīng)歷程被完全被淹沒(méi),控制器失去控制效果,與前文采用多尺度法計(jì)算得到的圖6、圖8 展示的結(jié)果吻合.

圖8 受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨時(shí)滯量的演變情況(kp=32,kd=1.5)Fig.8 Variation of the controlled system steady response with time delay(kp=32,kd=1.5)

圖9 不同時(shí)滯量下原受控系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程(kp=32,kd=1.5)Fig.9 Time history of the controlled system for different time delay(kp=32,kd=1.5)

5 結(jié)論

本文針對(duì)基于壓電復(fù)合材料的預(yù)變形旋轉(zhuǎn)葉片閉環(huán)控制系統(tǒng),采用多尺度法得到了系統(tǒng)發(fā)生2:1 內(nèi)共振條件下受控系統(tǒng)的演化方程,采用延拓法得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨速度增益、位移增益等系統(tǒng)參數(shù)的演化規(guī)律,揭示了時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.通過(guò)分析得到如下結(jié)論:

(1)速度增益的作用類(lèi)似于阻尼,具有抑制跳躍,降低響應(yīng)峰值的作用.

(2)頻響曲線隨位移增益向高頻方向移動(dòng),不恰當(dāng)選取位移增益會(huì)給控制系統(tǒng)引入新的共振,位移增益存在一個(gè)范圍使得系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)多值現(xiàn)象.

(3)增益平面內(nèi)穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線大致呈現(xiàn)一條直線,非穩(wěn)定區(qū)域出現(xiàn)一塊跟多值現(xiàn)象相關(guān)的隆起.

(4)時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響顯著,超過(guò)臨界時(shí)滯時(shí),系統(tǒng)將緩慢進(jìn)入一個(gè)大振幅的周期運(yùn)動(dòng),從而喪失控制效果.

(5)通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了解析解的正確性.