感應(yīng)電機電流環(huán)非線性積分滑?？刂撇呗?/h1>
2021-05-28 00:11:12王天擎徐殿國
電工技術(shù)學(xué)報 2021年10期
王 勃 王天擎 于 泳 羅 成 徐殿國
感應(yīng)電機電流環(huán)非線性積分滑?？刂撇呗?/p>
王 勃 王天擎 于 泳 羅 成 徐殿國
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）
滑?？刂破髂苡行嵘袘?yīng)電機電流環(huán)魯棒性，然而傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖趪?yán)重的抖振問題，雖然通過引入趨近律能有效降低系統(tǒng)抖振，但仍無法實現(xiàn)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂。為此，該文提出一種感應(yīng)電機非線性積分滑模電流控制器，在削弱系統(tǒng)抖振的同時，實現(xiàn)了定子電流誤差在有限時間內(nèi)收斂。首先，設(shè)計非線性積分滑模面，有效避免了傳統(tǒng)積分滑模面中初始誤差大而導(dǎo)致的積分飽和問題。其次，通過將滑模面的信息引入冪次趨近律，實現(xiàn)控制器對系統(tǒng)狀態(tài)的自適應(yīng)收斂，有效地削弱了系統(tǒng)抖振。最后，對比實驗結(jié)果驗證了所提出算法的有效性。
感應(yīng)電機 電流環(huán) 積分滑?？刂?有限時間內(nèi)收斂 抖振
0 引言
感應(yīng)電機（Induction Motor, IM）矢量控制系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于先進(jìn)制造、交通運輸、采礦冶金、家用電器等諸多領(lǐng)域[1-2]。矢量控制通常采用級聯(lián)雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，包括轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)。其中，電流環(huán)作為控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)，能夠使定子電流實際值跟蹤給定值，其快速響應(yīng)能力和魯棒性是轉(zhuǎn)速外環(huán)性能提升的基礎(chǔ)[3-5]。
目前，電流環(huán)控制策略可分為線性控制和非線性控制兩大類。線性控制以PI控制為典型代表，具有結(jié)構(gòu)簡單、無穩(wěn)態(tài)誤差、便于理論分析等優(yōu)點[5]。然而傳統(tǒng)PI控制器參數(shù)設(shè)計依賴電機數(shù)學(xué)模型。在實際運行過程中，電機參數(shù)受環(huán)境溫度、磁場飽和程度等影響會發(fā)生攝動，導(dǎo)致電流控制性能降低，甚至不穩(wěn)定。非線性控制包括滯環(huán)控制[6]、預(yù)測控制[7]、智能控制[8]、滑模控制[9]（Sliding Mode Control, SMC）等。其中，滑?？刂茻o需系統(tǒng)精確模型，具有響應(yīng)快速、魯棒性強等優(yōu)點[10-11]。但滑?？刂拼嬖谟筛哳l切換控制導(dǎo)致的抖振問題，且系統(tǒng)狀態(tài)變量難以在有限時間內(nèi)收斂[12]。
針對抖振問題，文獻(xiàn)[13]提出了將滑模切換控制函數(shù)連續(xù)化的方法，但該方法犧牲了滑?？刂频膹婔敯粜浴Ｎ墨I(xiàn)[14]采用邊界層法來削弱系統(tǒng)抖振，但該方法僅能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到以滑模面為中心的較窄邊界層內(nèi)，只能無限接近而不能收斂到滑模面。文獻(xiàn)[15]提出利用冪次趨近律滑模控制來削弱系統(tǒng)抖振，但未分對收斂時間。文獻(xiàn)[16]提出了一種高階滑?？刂?，使滑模變量高階導(dǎo)數(shù)為零，在理論上消除了抖振，但并未應(yīng)用到實際系統(tǒng)中。
針對狀態(tài)變量無法在有限時間內(nèi)收斂的問題，文獻(xiàn)[17]提出了一種積分滑模控制，并將其應(yīng)用于永磁直線同步電機直接推力控制，但其滑模面中包含在實際應(yīng)用過程中難以直接獲取的狀態(tài)誤差微分項。文獻(xiàn)[18]根據(jù)Super-Twisting理論設(shè)計了永磁同步電機滑模觀測器，利用二階控制律有效削弱傳統(tǒng)滑模觀測器的固有抖振，消除了反電動勢的跟蹤誤差，但并未用于控制器設(shè)計。文獻(xiàn)[19]將積分滑模應(yīng)用于感應(yīng)電機無速度傳感器帶速重投控制，實現(xiàn)了系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂，但該方法仍沿用邊界層法削弱系統(tǒng)抖振，犧牲了系統(tǒng)魯棒性。
因此，抖振與無法在有限時間收斂問題仍是限制滑?？刂圃诟袘?yīng)電機電流環(huán)應(yīng)用的關(guān)鍵因素。為此，本文提出了一種非線性積分滑模電流環(huán)控制器，創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下兩方面：①設(shè)計基于非線性積分函數(shù)的滑模面，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的有限時間收斂；②基于非線性積分滑模面，設(shè)計冪次趨近律削弱系統(tǒng)抖振。最終，在2.2kW實驗平臺上進(jìn)行對比實驗，實驗結(jié)果驗證了該算法的有效性。
1 感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型及控制系統(tǒng)
基于轉(zhuǎn)子磁場定向（Rotor Field-Oriented Control, RFOC）的感應(yīng)電機狀態(tài)方程可表示為
進(jìn)一步將式（1）用矩陣形式表示為
其中
圖1是基于RFOC的感應(yīng)電機矢量控制系統(tǒng)框圖。整個系統(tǒng)包括感應(yīng)電機、整流器和逆變器、控制單元。其中，控制單元采用級聯(lián)雙閉環(huán)矢量控制結(jié)構(gòu)，外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)，采用PI控制；內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，采用本文所提出的非線性積分滑?？刂?，其輸入為轉(zhuǎn)矩電流參考值isq,ref和勵磁電流參考值isd,ref，其輸出為d、q軸指令電壓usq與usd。
2 傳統(tǒng)滑模電流控制器
PI控制作為電流環(huán)最常用的控制策略，能夠?qū)崿F(xiàn)定子電流無穩(wěn)態(tài)誤差收斂，但電流環(huán)PI控制器設(shè)計多采用零極點對消的方法，這導(dǎo)致其依賴精確的電機模型[1]。在實際應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度變化和磁場飽和效應(yīng)，電機的電阻和電感都將產(chǎn)生攝動，導(dǎo)致系統(tǒng)模型不匹配，使電流控制性能降低。
相比于PI電流環(huán)控制，滑?？刂茻o需系統(tǒng)精確模型，具有對模型不敏感、抗擾動能力強等優(yōu)點，是一種強魯棒性控制策略[20-24]。本節(jié)將給出傳統(tǒng)滑模與冪次趨近律滑模電流控制器設(shè)計，并分別對兩種控制下系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間進(jìn)行分析。
2.1 傳統(tǒng)滑模電流控制器設(shè)計
傳統(tǒng)滑模電流控制的思想是通過切換控制使電流誤差在零附近達(dá)到滑動模態(tài)，實現(xiàn)定子電流收斂。為此，需要建立定子電流誤差的狀態(tài)方程，首先，將參考電流代入式（2）得參考系統(tǒng)為
由式（3）與式（2）做差得誤差系統(tǒng)為
式中，為定子電流誤差，=*-。
滑?？刂圃O(shè)計包括滑模面的選取與控制律的設(shè)計兩步。選取線性滑模面為
設(shè)計滑?？刂坡蔀?/p>
其中
可見，由于控制律中存在切換函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面滑動時會存在嚴(yán)重的抖振。
對收斂時間分析，將式（7）中的控制律與式（3）中的同時代入式（4），可得
以d軸電流誤差為例進(jìn)行分析，q軸電流誤差分析方法相同。設(shè)初始狀態(tài)為sd(0)＞0。由于定子電流誤差的收斂速度為恒定值，可計算出定子電流誤差第一次收斂到零的時間為
可見，1大小與系統(tǒng)初始狀態(tài)以及增益1有關(guān)。若1取值較小，則會導(dǎo)致系統(tǒng)到達(dá)時間長，甚至無法收斂。若1取值較大，雖然可以減小系統(tǒng)到達(dá)時間，但會增加系統(tǒng)抖振。
2.2 冪次趨近律電流控制器
冪次趨近律法是一種有效地削弱抖振和優(yōu)化系統(tǒng)收斂軌跡方法[13]。電流環(huán)冪次趨近律滑模控制律為
圖2為基于冪次趨近律的滑模電流控制器框圖。由式（12）可見，冪次趨近律法在傳統(tǒng)開關(guān)函數(shù)的增益中引入定子電流誤差信息，使抖振隨電流誤差減小而減小，有效地削弱了系統(tǒng)抖振。文獻(xiàn)[15, 22]已通過選擇李雅普洛夫函數(shù)對冪次趨近律滑?？刂频姆€(wěn)定性進(jìn)行證明。
對收斂時間分析，將式（12）中的控制律代入式（4），可得
同樣以d軸電流誤差為例進(jìn)行分析，假設(shè)sd的初始值為sd(0)，解微分方程式（13），可得
由式（14）可得，當(dāng)＞1時，定子電流誤差sd()在理論上隨時間的增加而無限趨近于零；當(dāng)＜1時，sd()隨時間的增加而發(fā)散。因此，冪次趨近律無法保證系統(tǒng)誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，即存在有限時間不收斂問題。實質(zhì)上，雖然通過引入冪次趨近律能夠使控制律連續(xù)化，削弱系統(tǒng)抖振，但其本質(zhì)上仍類似p控制，因此在理論上無法實現(xiàn)有限時間收斂，最終導(dǎo)致系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)電流誤差。
3 非線性積分滑模電流控制
針對冪次趨近律滑模控制存在的有限時間不收斂問題，本節(jié)將提出一種非線性積分滑模電流控制器，通過將所設(shè)計的非線性積分函數(shù)引入滑模面，并以冪次趨近律結(jié)合設(shè)計控制律，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂，最終消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
3.1 非線性積分函數(shù)滑模面設(shè)計
傳統(tǒng)積分滑模面[19]可表示為
式中，為狀態(tài)變量的誤差；為積分項系數(shù)，＞0。
由式（15）可見，滑模面中的積分項能夠累計誤差信息，使系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂。然而，在系統(tǒng)初始狀態(tài)時，若實際定子電流與其參考值存在較大誤差，則積分作用會導(dǎo)致滑模面的值突增，產(chǎn)生很大的沖擊，使暫態(tài)性能惡化。
為此，本文提出了一種非線性積分滑模面，有
式中，()為所設(shè)計的非線性積分函數(shù)，有
圖3為()的函數(shù)圖像，可見，()具有“小誤差放大、大誤差飽和”的特點。因此，所設(shè)計的非線性積分滑模面能夠在保證狀態(tài)變量有限時間收斂的同時，解決系統(tǒng)暫態(tài)性能惡化的問題。
圖3 g(e)函數(shù)圖像
3.2 非線性積分滑?？刂破髟O(shè)計
基于非線性積分滑模面式（16），設(shè)計控制律為
穩(wěn)定性證明，選取李雅普諾夫函數(shù)，有
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
圖4 非線性積分滑模電流控制器框圖
將如式（16）所示的滑模面關(guān)于時間求導(dǎo)可得
將式（3）中u與式（19）所設(shè)計的控制律代入到式（22）中可得
同理，在電機穩(wěn)定運行時，dsd,ref/d0,dsq,ref/d0。將式（23）進(jìn)一步代入式（21）中可整理得
此時，的導(dǎo)數(shù)一定為負(fù)定，因此該有界系統(tǒng)是穩(wěn)定的。證明完畢。
3.3 收斂時間分析
由于d、q軸收斂分析情況相同，本文以d軸電流誤差收斂性為例進(jìn)行分析。設(shè)初始狀態(tài)為sd(0)，則：
將式（23）進(jìn)行整理，可得
根據(jù)上述推導(dǎo)，系統(tǒng)經(jīng)過小于r+s的時間可使d、q軸電流誤差均收斂到零。因此，非線性積分滑模控制能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)有限時間收斂，消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
4 實驗驗證
本文采用基于STM32F103 ARM的2.2kW感應(yīng)電機對拖平臺驗證所提出的算法，實驗平臺如圖5所示，采用兩臺相同規(guī)格的感應(yīng)電機，參數(shù)見表1，其中，測試電機用于算法驗證，加載電機用于提供負(fù)載轉(zhuǎn)矩。本文采用雙閉環(huán)矢量控制作為基本控制策略，電流環(huán)為所提出的非線性積分滑?？刂扑惴?。設(shè)定勵磁電流sd的參考值為2.5A（50%額定電流），變頻器脈沖寬度調(diào)制開關(guān)頻率為6kHz。
速度環(huán)PI控制器系數(shù)選取為：p=2.0，i=450。電流環(huán)的參數(shù)選取由雅普諾夫穩(wěn)定性以及收斂速度共同決定的。首先，選取非線性積分滑模面的具體參數(shù),,1,2，步驟如下：根據(jù)式（27）與式（29），為了盡可能減小定子電流收斂時間，應(yīng)盡可能增大。但同時決定了控制律中積分項的大小，當(dāng)取值過大時，容易造成控制超調(diào)。因此，參數(shù)的選取應(yīng)同時考慮系統(tǒng)收斂時間與超調(diào)量。為了簡化參數(shù)整定過程，選擇=1代入式（17），可得=1+2，其中，為非線性積分函數(shù)的限幅值，其選取需同時考慮系統(tǒng)收斂時間與電流誤差，因此選取1≤≤1.5。最后，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，考慮非線性積分函數(shù)的收斂軌跡和速度，最終合理選取參數(shù)1和2。
圖5 實驗平臺
表1 感應(yīng)電機參數(shù)
Tab.1 Parameters of induction motor
其次，通過李雅普諾夫穩(wěn)定性以及抖振大小來確定滑模增益1、2與3的取值。最終實驗中電流環(huán)的參數(shù)選取如下：非線性積分滑模面中，=18，=1，1=0.4，2=0.8，=1.2?；？刂圃鲆孢x取為1=2=3=150。
4.1 全速范圍運行驗證
圖6為分別采用傳統(tǒng)滑模控制、冪次趨近律法與所提出非線性積分滑?？刂频娜俜秶\行對比實驗結(jié)果。實驗中，電機在空載下從零速階梯加速到1 500r/min，再階梯降速，并分別給出轉(zhuǎn)速fbk、指令電壓s和定子電流誤差波形。
由圖6a可見，傳統(tǒng)滑?？刂浦噶铍妷捍嬖趪?yán)重抖振，幅值達(dá)0.07(pu)，這是由傳統(tǒng)滑?？刂浦星袚Q函數(shù)所導(dǎo)致，并且電流誤差存在隨著轉(zhuǎn)速升高而增大，最大誤差為1.42A。在圖6b中，采用冪次趨近律滑?？刂频闹噶铍妷憾墩穹到档椭?.03(pu)，且定子電流穩(wěn)態(tài)誤差減少，但仍未完全消除，最大達(dá)到0.76A。對應(yīng)在圖6c中，采用所提出的非線性積分滑?？刂茣r，抖振幅值降低至0.01(pu)內(nèi)，并消除了穩(wěn)態(tài)電流誤差。因此，所提出的非線性積分滑?？刂颇苡行魅跸到y(tǒng)抖振，并消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
圖7為額定負(fù)載工況下上述三種不同方法的加速運行對比實驗結(jié)果。實驗中，電機在滿載時從零速加速到900r/min，并給出指令電壓s、定子電流誤差和相電流a的實驗波形。由圖7a和圖7b可見，采用傳統(tǒng)滑?？刂坪蛢绱乌吔蓵r，系統(tǒng)存在明顯的穩(wěn)態(tài)電流誤差，誤差分別為1.37A與1.29A。對應(yīng)在圖7c中，所提出非線性積分滑?？刂颇苡行€(wěn)態(tài)電流誤差，且降低了指令電壓中的抖振幅值。
4.2 額定轉(zhuǎn)速加速驗證
圖8為分別采用傳統(tǒng)積分滑模控制與所提出非線性積分滑?？刂频南到y(tǒng)加速對比實驗結(jié)果。該實驗條件為，電機在空載下轉(zhuǎn)速由0加速到額定轉(zhuǎn)速1 500r/min。實驗結(jié)果表明，兩種方法均能夠?qū)崿F(xiàn)定子電流有限時間收斂和穩(wěn)態(tài)誤差消除。但如圖8a所示，傳統(tǒng)積分滑模中在暫態(tài)過程中滑模面突增，導(dǎo)致系統(tǒng)收斂性能惡化。相比而言，如圖8b所示，所提出的非線性積分滑模面能夠有效解決滑模面突增問題，改善電流環(huán)的暫態(tài)性能。
4.3 魯棒性驗證
圖9為所提出算法在電機參數(shù)攝動時的系統(tǒng)響應(yīng)。在實際運行過程中，電機參數(shù)將隨環(huán)境溫度和磁場飽和而改變。根據(jù)式（1），電機互感攝動是影響電流環(huán)性能的主要因素[9]，為此，本文以互感變化作為參數(shù)攝動來驗證所提出方法的魯棒性。為了滿足電機實際運行中互感的最大變化范圍，這里選取0.5m～2.0m作為測試條件。圖9為電機在600r/min工況下互感由0.5m階梯變化至2.0m時系統(tǒng)的響應(yīng)波形?？梢?，在電機互感變化過程中，定子電流d、q軸分量出現(xiàn)明顯波動，但該波動能夠很快被抑制。因此，所提出的算法能夠有效抑制互感變化的影響，證明了所提出的非線性積分滑?？刂凭哂辛己玫膮?shù)魯棒性。
圖9 所提出算法魯棒性測試實驗結(jié)果
5 結(jié)論
本文所提出的非線性積分滑模有效地解決了傳統(tǒng)滑?？刂茖?dǎo)致的抖振嚴(yán)重問題，實現(xiàn)了定子電流在有限時間內(nèi)收斂。非線性積分滑模面能夠避免傳統(tǒng)積分滑模面由于初始誤差過大導(dǎo)致的飽和問題，并實現(xiàn)定子電流在有限時間內(nèi)收斂。所設(shè)計的控制律通過結(jié)合滑模面與趨近律，能夠有效削弱系統(tǒng)抖振。對比實驗結(jié)果證明，所提出的非線性積分滑?？刂颇軌?qū)崿F(xiàn)感應(yīng)電機系統(tǒng)在空載和帶載工況下的無穩(wěn)態(tài)誤差電流控制，并對電機參數(shù)攝動具有強魯棒性。
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Nonlinear Integral Sliding Mode Control Strategy for Current Loop of Induction Motor Drives
（School of Electrical Engineering and Automation Harbin Institute of Technology Harbin 150001 China）
The sliding mode controller can effectively improve the robustness of induction motor (IM) current loop. However, the conventional sliding mode controller has serious chattering problems. Although the chattering can be effectively suppressed by introducing the reaching law, the system state variable cannot achieve finite-time convergence. To address this problem, this paper proposes a nonlinear integral sliding mode current controller for IM drives. The proposed approach can suppress the system chattering and achieve finite-time convergence simultaneously. Firstly, a nonlinear integral sliding surface is designed to avoid the integral saturation problem caused by large initial error. Secondly, the adaptive convergence of state variable can be achieved by introducing the information of sliding surface into the control law, which effectively weakens the system chattering. The experimental results verify the effectiveness of the proposed method.
Induction motor, current loop, integral sliding mode control, finite-time convergence, chattering
TM341
10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200250
國國家科學(xué)基金（51690182, 51807038）、黑龍江省自然科學(xué)基金（YQ2020E018）、中國博士后科學(xué)基金（2018M630354, 2019T120267）、黑龍江省博士后（YQ2020E018）和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（HIT.NSRIF.2019025）資助項目。
2020-03-11
2020-08-14
王 勃 男，1987年生，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流電機控制、現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用等。E-mail: wangbohit@hit.edu.cn
于 泳 男，1974年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流電機控制、故障診斷及容錯控制等。E-mail: yuyong@hit.edu.cn（通信作者）
（編輯 崔文靜）
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王 勃 王天擎 于 泳 羅 成 徐殿國
感應(yīng)電機電流環(huán)非線性積分滑?？刂撇呗?/p>
王 勃 王天擎 于 泳 羅 成 徐殿國
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）
滑?？刂破髂苡行嵘袘?yīng)電機電流環(huán)魯棒性，然而傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖趪?yán)重的抖振問題，雖然通過引入趨近律能有效降低系統(tǒng)抖振，但仍無法實現(xiàn)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂。為此，該文提出一種感應(yīng)電機非線性積分滑模電流控制器，在削弱系統(tǒng)抖振的同時，實現(xiàn)了定子電流誤差在有限時間內(nèi)收斂。首先，設(shè)計非線性積分滑模面，有效避免了傳統(tǒng)積分滑模面中初始誤差大而導(dǎo)致的積分飽和問題。其次，通過將滑模面的信息引入冪次趨近律，實現(xiàn)控制器對系統(tǒng)狀態(tài)的自適應(yīng)收斂，有效地削弱了系統(tǒng)抖振。最后，對比實驗結(jié)果驗證了所提出算法的有效性。
感應(yīng)電機 電流環(huán) 積分滑?？刂?有限時間內(nèi)收斂 抖振
0 引言
感應(yīng)電機（Induction Motor, IM）矢量控制系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于先進(jìn)制造、交通運輸、采礦冶金、家用電器等諸多領(lǐng)域[1-2]。矢量控制通常采用級聯(lián)雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，包括轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)。其中，電流環(huán)作為控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)，能夠使定子電流實際值跟蹤給定值，其快速響應(yīng)能力和魯棒性是轉(zhuǎn)速外環(huán)性能提升的基礎(chǔ)[3-5]。
目前，電流環(huán)控制策略可分為線性控制和非線性控制兩大類。線性控制以PI控制為典型代表，具有結(jié)構(gòu)簡單、無穩(wěn)態(tài)誤差、便于理論分析等優(yōu)點[5]。然而傳統(tǒng)PI控制器參數(shù)設(shè)計依賴電機數(shù)學(xué)模型。在實際運行過程中，電機參數(shù)受環(huán)境溫度、磁場飽和程度等影響會發(fā)生攝動，導(dǎo)致電流控制性能降低，甚至不穩(wěn)定。非線性控制包括滯環(huán)控制[6]、預(yù)測控制[7]、智能控制[8]、滑模控制[9]（Sliding Mode Control, SMC）等。其中，滑?？刂茻o需系統(tǒng)精確模型，具有響應(yīng)快速、魯棒性強等優(yōu)點[10-11]。但滑?？刂拼嬖谟筛哳l切換控制導(dǎo)致的抖振問題，且系統(tǒng)狀態(tài)變量難以在有限時間內(nèi)收斂[12]。
針對抖振問題，文獻(xiàn)[13]提出了將滑模切換控制函數(shù)連續(xù)化的方法，但該方法犧牲了滑?？刂频膹婔敯粜浴Ｎ墨I(xiàn)[14]采用邊界層法來削弱系統(tǒng)抖振，但該方法僅能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到以滑模面為中心的較窄邊界層內(nèi)，只能無限接近而不能收斂到滑模面。文獻(xiàn)[15]提出利用冪次趨近律滑模控制來削弱系統(tǒng)抖振，但未分對收斂時間。文獻(xiàn)[16]提出了一種高階滑?？刂?，使滑模變量高階導(dǎo)數(shù)為零，在理論上消除了抖振，但并未應(yīng)用到實際系統(tǒng)中。
針對狀態(tài)變量無法在有限時間內(nèi)收斂的問題，文獻(xiàn)[17]提出了一種積分滑模控制，并將其應(yīng)用于永磁直線同步電機直接推力控制，但其滑模面中包含在實際應(yīng)用過程中難以直接獲取的狀態(tài)誤差微分項。文獻(xiàn)[18]根據(jù)Super-Twisting理論設(shè)計了永磁同步電機滑模觀測器，利用二階控制律有效削弱傳統(tǒng)滑模觀測器的固有抖振，消除了反電動勢的跟蹤誤差，但并未用于控制器設(shè)計。文獻(xiàn)[19]將積分滑模應(yīng)用于感應(yīng)電機無速度傳感器帶速重投控制，實現(xiàn)了系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂，但該方法仍沿用邊界層法削弱系統(tǒng)抖振，犧牲了系統(tǒng)魯棒性。
因此，抖振與無法在有限時間收斂問題仍是限制滑?？刂圃诟袘?yīng)電機電流環(huán)應(yīng)用的關(guān)鍵因素。為此，本文提出了一種非線性積分滑模電流環(huán)控制器，創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下兩方面：①設(shè)計基于非線性積分函數(shù)的滑模面，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的有限時間收斂；②基于非線性積分滑模面，設(shè)計冪次趨近律削弱系統(tǒng)抖振。最終，在2.2kW實驗平臺上進(jìn)行對比實驗，實驗結(jié)果驗證了該算法的有效性。
1 感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型及控制系統(tǒng)
基于轉(zhuǎn)子磁場定向（Rotor Field-Oriented Control, RFOC）的感應(yīng)電機狀態(tài)方程可表示為
進(jìn)一步將式（1）用矩陣形式表示為
其中
圖1是基于RFOC的感應(yīng)電機矢量控制系統(tǒng)框圖。整個系統(tǒng)包括感應(yīng)電機、整流器和逆變器、控制單元。其中，控制單元采用級聯(lián)雙閉環(huán)矢量控制結(jié)構(gòu)，外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)，采用PI控制；內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，采用本文所提出的非線性積分滑?？刂?，其輸入為轉(zhuǎn)矩電流參考值isq,ref和勵磁電流參考值isd,ref，其輸出為d、q軸指令電壓usq與usd。
2 傳統(tǒng)滑模電流控制器
PI控制作為電流環(huán)最常用的控制策略，能夠?qū)崿F(xiàn)定子電流無穩(wěn)態(tài)誤差收斂，但電流環(huán)PI控制器設(shè)計多采用零極點對消的方法，這導(dǎo)致其依賴精確的電機模型[1]。在實際應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度變化和磁場飽和效應(yīng)，電機的電阻和電感都將產(chǎn)生攝動，導(dǎo)致系統(tǒng)模型不匹配，使電流控制性能降低。
相比于PI電流環(huán)控制，滑?？刂茻o需系統(tǒng)精確模型，具有對模型不敏感、抗擾動能力強等優(yōu)點，是一種強魯棒性控制策略[20-24]。本節(jié)將給出傳統(tǒng)滑模與冪次趨近律滑模電流控制器設(shè)計，并分別對兩種控制下系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間進(jìn)行分析。
2.1 傳統(tǒng)滑模電流控制器設(shè)計
傳統(tǒng)滑模電流控制的思想是通過切換控制使電流誤差在零附近達(dá)到滑動模態(tài)，實現(xiàn)定子電流收斂。為此，需要建立定子電流誤差的狀態(tài)方程，首先，將參考電流代入式（2）得參考系統(tǒng)為
由式（3）與式（2）做差得誤差系統(tǒng)為
式中，為定子電流誤差，=*-。
滑?？刂圃O(shè)計包括滑模面的選取與控制律的設(shè)計兩步。選取線性滑模面為
設(shè)計滑?？刂坡蔀?/p>
其中
可見，由于控制律中存在切換函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面滑動時會存在嚴(yán)重的抖振。
對收斂時間分析，將式（7）中的控制律與式（3）中的同時代入式（4），可得
以d軸電流誤差為例進(jìn)行分析，q軸電流誤差分析方法相同。設(shè)初始狀態(tài)為sd(0)＞0。由于定子電流誤差的收斂速度為恒定值，可計算出定子電流誤差第一次收斂到零的時間為
可見，1大小與系統(tǒng)初始狀態(tài)以及增益1有關(guān)。若1取值較小，則會導(dǎo)致系統(tǒng)到達(dá)時間長，甚至無法收斂。若1取值較大，雖然可以減小系統(tǒng)到達(dá)時間，但會增加系統(tǒng)抖振。
2.2 冪次趨近律電流控制器
冪次趨近律法是一種有效地削弱抖振和優(yōu)化系統(tǒng)收斂軌跡方法[13]。電流環(huán)冪次趨近律滑模控制律為
圖2為基于冪次趨近律的滑模電流控制器框圖。由式（12）可見，冪次趨近律法在傳統(tǒng)開關(guān)函數(shù)的增益中引入定子電流誤差信息，使抖振隨電流誤差減小而減小，有效地削弱了系統(tǒng)抖振。文獻(xiàn)[15, 22]已通過選擇李雅普洛夫函數(shù)對冪次趨近律滑?？刂频姆€(wěn)定性進(jìn)行證明。
對收斂時間分析，將式（12）中的控制律代入式（4），可得
同樣以d軸電流誤差為例進(jìn)行分析，假設(shè)sd的初始值為sd(0)，解微分方程式（13），可得
由式（14）可得，當(dāng)＞1時，定子電流誤差sd()在理論上隨時間的增加而無限趨近于零；當(dāng)＜1時，sd()隨時間的增加而發(fā)散。因此，冪次趨近律無法保證系統(tǒng)誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，即存在有限時間不收斂問題。實質(zhì)上，雖然通過引入冪次趨近律能夠使控制律連續(xù)化，削弱系統(tǒng)抖振，但其本質(zhì)上仍類似p控制，因此在理論上無法實現(xiàn)有限時間收斂，最終導(dǎo)致系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)電流誤差。
3 非線性積分滑模電流控制
針對冪次趨近律滑模控制存在的有限時間不收斂問題，本節(jié)將提出一種非線性積分滑模電流控制器，通過將所設(shè)計的非線性積分函數(shù)引入滑模面，并以冪次趨近律結(jié)合設(shè)計控制律，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂，最終消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
3.1 非線性積分函數(shù)滑模面設(shè)計
傳統(tǒng)積分滑模面[19]可表示為
式中，為狀態(tài)變量的誤差；為積分項系數(shù)，＞0。
由式（15）可見，滑模面中的積分項能夠累計誤差信息，使系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂。然而，在系統(tǒng)初始狀態(tài)時，若實際定子電流與其參考值存在較大誤差，則積分作用會導(dǎo)致滑模面的值突增，產(chǎn)生很大的沖擊，使暫態(tài)性能惡化。
為此，本文提出了一種非線性積分滑模面，有
式中，()為所設(shè)計的非線性積分函數(shù)，有
圖3為()的函數(shù)圖像，可見，()具有“小誤差放大、大誤差飽和”的特點。因此，所設(shè)計的非線性積分滑模面能夠在保證狀態(tài)變量有限時間收斂的同時，解決系統(tǒng)暫態(tài)性能惡化的問題。
圖3 g(e)函數(shù)圖像
3.2 非線性積分滑?？刂破髟O(shè)計
基于非線性積分滑模面式（16），設(shè)計控制律為
穩(wěn)定性證明，選取李雅普諾夫函數(shù)，有
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
圖4 非線性積分滑模電流控制器框圖
將如式（16）所示的滑模面關(guān)于時間求導(dǎo)可得
將式（3）中u與式（19）所設(shè)計的控制律代入到式（22）中可得
同理，在電機穩(wěn)定運行時，dsd,ref/d0,dsq,ref/d0。將式（23）進(jìn)一步代入式（21）中可整理得
此時，的導(dǎo)數(shù)一定為負(fù)定，因此該有界系統(tǒng)是穩(wěn)定的。證明完畢。
3.3 收斂時間分析
由于d、q軸收斂分析情況相同，本文以d軸電流誤差收斂性為例進(jìn)行分析。設(shè)初始狀態(tài)為sd(0)，則：
將式（23）進(jìn)行整理，可得
根據(jù)上述推導(dǎo)，系統(tǒng)經(jīng)過小于r+s的時間可使d、q軸電流誤差均收斂到零。因此，非線性積分滑模控制能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)有限時間收斂，消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
4 實驗驗證
本文采用基于STM32F103 ARM的2.2kW感應(yīng)電機對拖平臺驗證所提出的算法，實驗平臺如圖5所示，采用兩臺相同規(guī)格的感應(yīng)電機，參數(shù)見表1，其中，測試電機用于算法驗證，加載電機用于提供負(fù)載轉(zhuǎn)矩。本文采用雙閉環(huán)矢量控制作為基本控制策略，電流環(huán)為所提出的非線性積分滑?？刂扑惴?。設(shè)定勵磁電流sd的參考值為2.5A（50%額定電流），變頻器脈沖寬度調(diào)制開關(guān)頻率為6kHz。
速度環(huán)PI控制器系數(shù)選取為：p=2.0，i=450。電流環(huán)的參數(shù)選取由雅普諾夫穩(wěn)定性以及收斂速度共同決定的。首先，選取非線性積分滑模面的具體參數(shù),,1,2，步驟如下：根據(jù)式（27）與式（29），為了盡可能減小定子電流收斂時間，應(yīng)盡可能增大。但同時決定了控制律中積分項的大小，當(dāng)取值過大時，容易造成控制超調(diào)。因此，參數(shù)的選取應(yīng)同時考慮系統(tǒng)收斂時間與超調(diào)量。為了簡化參數(shù)整定過程，選擇=1代入式（17），可得=1+2，其中，為非線性積分函數(shù)的限幅值，其選取需同時考慮系統(tǒng)收斂時間與電流誤差，因此選取1≤≤1.5。最后，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，考慮非線性積分函數(shù)的收斂軌跡和速度，最終合理選取參數(shù)1和2。
圖5 實驗平臺
表1 感應(yīng)電機參數(shù)
Tab.1 Parameters of induction motor
其次，通過李雅普諾夫穩(wěn)定性以及抖振大小來確定滑模增益1、2與3的取值。最終實驗中電流環(huán)的參數(shù)選取如下：非線性積分滑模面中，=18，=1，1=0.4，2=0.8，=1.2?；？刂圃鲆孢x取為1=2=3=150。
4.1 全速范圍運行驗證
圖6為分別采用傳統(tǒng)滑模控制、冪次趨近律法與所提出非線性積分滑?？刂频娜俜秶\行對比實驗結(jié)果。實驗中，電機在空載下從零速階梯加速到1 500r/min，再階梯降速，并分別給出轉(zhuǎn)速fbk、指令電壓s和定子電流誤差波形。
由圖6a可見，傳統(tǒng)滑?？刂浦噶铍妷捍嬖趪?yán)重抖振，幅值達(dá)0.07(pu)，這是由傳統(tǒng)滑?？刂浦星袚Q函數(shù)所導(dǎo)致，并且電流誤差存在隨著轉(zhuǎn)速升高而增大，最大誤差為1.42A。在圖6b中，采用冪次趨近律滑?？刂频闹噶铍妷憾墩穹到档椭?.03(pu)，且定子電流穩(wěn)態(tài)誤差減少，但仍未完全消除，最大達(dá)到0.76A。對應(yīng)在圖6c中，采用所提出的非線性積分滑?？刂茣r，抖振幅值降低至0.01(pu)內(nèi)，并消除了穩(wěn)態(tài)電流誤差。因此，所提出的非線性積分滑?？刂颇苡行魅跸到y(tǒng)抖振，并消除穩(wěn)態(tài)電流誤差。
圖7為額定負(fù)載工況下上述三種不同方法的加速運行對比實驗結(jié)果。實驗中，電機在滿載時從零速加速到900r/min，并給出指令電壓s、定子電流誤差和相電流a的實驗波形。由圖7a和圖7b可見，采用傳統(tǒng)滑?？刂坪蛢绱乌吔蓵r，系統(tǒng)存在明顯的穩(wěn)態(tài)電流誤差，誤差分別為1.37A與1.29A。對應(yīng)在圖7c中，所提出非線性積分滑?？刂颇苡行€(wěn)態(tài)電流誤差，且降低了指令電壓中的抖振幅值。
4.2 額定轉(zhuǎn)速加速驗證
圖8為分別采用傳統(tǒng)積分滑模控制與所提出非線性積分滑?？刂频南到y(tǒng)加速對比實驗結(jié)果。該實驗條件為，電機在空載下轉(zhuǎn)速由0加速到額定轉(zhuǎn)速1 500r/min。實驗結(jié)果表明，兩種方法均能夠?qū)崿F(xiàn)定子電流有限時間收斂和穩(wěn)態(tài)誤差消除。但如圖8a所示，傳統(tǒng)積分滑模中在暫態(tài)過程中滑模面突增，導(dǎo)致系統(tǒng)收斂性能惡化。相比而言，如圖8b所示，所提出的非線性積分滑模面能夠有效解決滑模面突增問題，改善電流環(huán)的暫態(tài)性能。
4.3 魯棒性驗證
圖9為所提出算法在電機參數(shù)攝動時的系統(tǒng)響應(yīng)。在實際運行過程中，電機參數(shù)將隨環(huán)境溫度和磁場飽和而改變。根據(jù)式（1），電機互感攝動是影響電流環(huán)性能的主要因素[9]，為此，本文以互感變化作為參數(shù)攝動來驗證所提出方法的魯棒性。為了滿足電機實際運行中互感的最大變化范圍，這里選取0.5m～2.0m作為測試條件。圖9為電機在600r/min工況下互感由0.5m階梯變化至2.0m時系統(tǒng)的響應(yīng)波形?？梢?，在電機互感變化過程中，定子電流d、q軸分量出現(xiàn)明顯波動，但該波動能夠很快被抑制。因此，所提出的算法能夠有效抑制互感變化的影響，證明了所提出的非線性積分滑?？刂凭哂辛己玫膮?shù)魯棒性。
圖9 所提出算法魯棒性測試實驗結(jié)果
5 結(jié)論
本文所提出的非線性積分滑模有效地解決了傳統(tǒng)滑?？刂茖?dǎo)致的抖振嚴(yán)重問題，實現(xiàn)了定子電流在有限時間內(nèi)收斂。非線性積分滑模面能夠避免傳統(tǒng)積分滑模面由于初始誤差過大導(dǎo)致的飽和問題，并實現(xiàn)定子電流在有限時間內(nèi)收斂。所設(shè)計的控制律通過結(jié)合滑模面與趨近律，能夠有效削弱系統(tǒng)抖振。對比實驗結(jié)果證明，所提出的非線性積分滑?？刂颇軌?qū)崿F(xiàn)感應(yīng)電機系統(tǒng)在空載和帶載工況下的無穩(wěn)態(tài)誤差電流控制，并對電機參數(shù)攝動具有強魯棒性。
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Nonlinear Integral Sliding Mode Control Strategy for Current Loop of Induction Motor Drives
（School of Electrical Engineering and Automation Harbin Institute of Technology Harbin 150001 China）
The sliding mode controller can effectively improve the robustness of induction motor (IM) current loop. However, the conventional sliding mode controller has serious chattering problems. Although the chattering can be effectively suppressed by introducing the reaching law, the system state variable cannot achieve finite-time convergence. To address this problem, this paper proposes a nonlinear integral sliding mode current controller for IM drives. The proposed approach can suppress the system chattering and achieve finite-time convergence simultaneously. Firstly, a nonlinear integral sliding surface is designed to avoid the integral saturation problem caused by large initial error. Secondly, the adaptive convergence of state variable can be achieved by introducing the information of sliding surface into the control law, which effectively weakens the system chattering. The experimental results verify the effectiveness of the proposed method.
Induction motor, current loop, integral sliding mode control, finite-time convergence, chattering
TM341
10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200250
國國家科學(xué)基金（51690182, 51807038）、黑龍江省自然科學(xué)基金（YQ2020E018）、中國博士后科學(xué)基金（2018M630354, 2019T120267）、黑龍江省博士后（YQ2020E018）和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（HIT.NSRIF.2019025）資助項目。
2020-03-11
2020-08-14
王 勃 男，1987年生，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流電機控制、現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用等。E-mail: wangbohit@hit.edu.cn
于 泳 男，1974年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流電機控制、故障診斷及容錯控制等。E-mail: yuyong@hit.edu.cn（通信作者）
（編輯 崔文靜）
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