基于PSO-SVM算法的軟土復合固化劑最優(yōu)配比

潘斌杰，朱劍鋒,2，徐日慶

(1.寧波大學 土木與環(huán)境工程學院，浙江 寧波 315211;2.浙江科技學院 土木與建筑工程學院，浙江 杭州 310023;3.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州310058;4.浙江加州國際納米技術研究院 臺州分院，浙江 臺州 318000)

近年來，軟土固化技術在東南沿海基礎設施建設中得到了廣泛應用.作為影響固化效果的關鍵因素，固化劑最優(yōu)配比的研制引起了學者們的廣泛關注.郭印等[1]和楊愛武等[2]以固化土的無側限抗壓強度(qu)為指標，通過正交試驗分別確定了XGL2005型和CJDS07型復合固化劑的各組分之間的最優(yōu)配比.庹秋水等[3]正交設計各種不同固化劑添加方案，結合直剪試驗研究淤泥固化劑最優(yōu)配比.然而，正交試驗法無法建立復合固化劑各組分和固化土強度之間的函數關系，難以準確獲得各添加劑的最優(yōu)配比.于是，暢帥等[4]、李雪剛等[5]、朱劍鋒等[6]通過開展旋轉中心試驗，構造固化土qu的響應面函數(RS)，通過對RS求極值來確定軟土復合固化劑最優(yōu)配比，從而提出基于響應面法(response surface method，RSM)的軟土復合固化劑配比優(yōu)化方法.RSM雖然精度高，但是需要開展大量旋轉中心試驗來確定自變量的系數.當配比因子增加時，試驗成本將呈幾何式地增長，且響應面預測誤差顯著增加[7].

支持向量機(support vector machine，SVM)[8]因其在處理小樣本、非線性、局部極小值等方面的獨特優(yōu)勢，以其替代響應面法構造軟土復合固化劑各組分與固化土強度之間的映射關系，將會顯著降低試驗成本.目前SVM已在邊坡工程[9]、復合地基[10]等領域得到了廣泛應用，并取得良好的預測效果.然而，SVM模型僅提供了固化劑各摻量與固化土強度之間精確的映射關系，而無法給出明確的關系表達式，因此，需要結合智能優(yōu)化算法來確定軟土復合固化劑的最優(yōu)配比.

目前，在土木工程中得到的應用智能優(yōu)化算法主要有遺傳算法[11]、禁忌-遺傳算法[12]、粒子群算法[7]等.其中，作為一種模擬生物活動性、全局性優(yōu)化算法——粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)，以其良好的魯棒性、進化性及隨機性在巖土工程中得到了廣泛應用.YI P.等[7]建立了邊坡可靠性分析累積PSO-Kriging模型.王峰等[13]利用改進的PSO，反演分析了某拱壩高溫季節(jié)熱學參數.

為此，將SVM和PSO進行有機耦合，根據試驗結果建立軟土復合固化劑各組分與固化土qu之間的映射關系，建立基于SVM的固化土qu的預測模型；然后，以固化土的最大無側限抗壓強度(qumax)為目標函數值，采用PSO算法搜索軟土復合固化劑的最優(yōu)配比，提出軟土復合固化劑最優(yōu)配比的PSO-SVM耦合算法，最后結合試驗結果對該算法的可行性進行驗證.

1 PSO-SVM優(yōu)化算法

1.1 基于SVM的固化土qu預測模型

基于統(tǒng)計學習理論的SVM是根據結構風險最小原理演繹建立，結合有限的樣本信息，在模型復雜性和學習能力之間尋求最佳折中，以期獲得最好的泛化能力[8].如圖1所示，基于SVM固化土配方的qu預測模型建立是以非線性回歸預測原理為基礎，以影響qu的固化劑各成分摻入比為輸入變量，以某一齡期下對應的qu為輸出變量，利用SVM的核函數尋求變量間最佳映射關系的過程.

圖1 基于SVM的固化土配方與強度關系模型示意圖

利用固化土強度試驗數據回歸出φ(x)函數，SVM采用以下函數進行擬合：

qu(x)=w′φ(x)+b，

(1)

式中：x是固化劑配方的配比；qu(x)為回歸函數返回的預測值，這里指固化土強度預測值；φ(x)為非線性映射函數，這里指固化劑各成分摻入比與無側限抗壓強度間的映射關系；w′為賦值權重；b為偏差.定義線型不敏感損失函數[8]為

L(qu(x),y,ε)=

(2)

式中：y為對應的真實值，即固化土強度實測值；ε為固化土強度回歸函數的誤差精度.

若y與qu(x)之間的誤差絕對值小于等于ε，則表示損失為0.為求得式(1)中的w′、b，同時考慮到允許固化土強度預測中的擬合誤差存在的情況，采用最小泛函數對其進行分析.將式(2)引入松弛變量ξi和ξi*，即變成數學規(guī)劃尋優(yōu)問題，式(2)可改寫為

(3)

s.t.yi-w′φ(x)-b≤ε+ξi,-yi+w′φ(x)+

b≤ε+ξi*,ξi,ξi*≥0,i=1,2,…,Nt,

式中：C為懲罰因子，表示固化土強度回歸函數復雜性與平均損失的權重系數；ε越小，表示回歸函數的誤差越小，本研究取ε=10-4；Nt為試樣個數，個;yi為第i個樣本的真實值,kPa;通過Largrange函數將式(3)轉換為對偶問題，即

(4)

式中：k是對偶問題i的另一個形式，k=1,2,…,Nt;K(xi，xk)=φ(xi)φ(xk)為核函數.鑒于影響固化土的qu因素眾多(摻入比、齡期、養(yǎng)護條件等)，且它們之間關系通常呈非線性變化規(guī)律[4-6]，因此采用工程中常用的非線性核函數——RBF核函數[8]來反映這一特性.即

K(x,x′)=exp(-γ‖x-x′‖2)，

(5)

其中γ為RBF核函數的方差.由于RBF核函數參數γ和懲罰因子C的不同組合決定固化土qu預測模型的優(yōu)劣，本研究利用網格搜索法和交叉驗證方法[14]尋找最佳參數懲罰因子C和核函數的方差γ.

假設式(4)的最優(yōu)解為α=[α1,α2,…,αNt]，α*=[α1*,α2*,…,αNt*]，則有：

(6)

(7)

固化土強度測試樣本回歸函數qu(x)可表示為

(8)

模型訓練完成后，便可以建立某一個齡期下軟土復合固化劑各成分摻入比與qu之間的映射關系，從而實現任意摻入比下固化土qu的仿真預測.現引入相關系數R2和均方誤差σ2作為性能的評價，相關公式為

(9)

式中：qui為第i個樣本的預測值,kPa.

1.2 粒子群算法基本原理

(10)

式中：xjmax和xjmin分別為粒子中第j個變量的最大值和最小值，即軟土復合固化劑配方中第j成分的摻入比取值的上、下限；r為[0,1]的隨機數.后續(xù)每次迭代過程中粒子更新滿足下式[15]：

(11)

慣性權重可采用線性遞減[15]方式計算：

(12)

1.3 基于PSO-SVM的固化劑最優(yōu)配比確定

圖2為軟土復合固化劑最優(yōu)配比PSO-SVM算法流程圖.圖2中，首先根據某一齡期下固化土的qu試驗結果構建基于SVM的固化土qu預測模型，以此模型評價PSO算法中每一個粒子(復合固化劑配比)對應的目標函數值(qu)；然后通過PSO算法進行軟土復合固化劑成分配比的優(yōu)化；最后輸出最優(yōu)配比，從而實現軟土復合固化劑配比的PSO-SVM優(yōu)化算法.

圖2 軟土復合固化劑最優(yōu)配比PSO-SVM算法流程

2 模型驗證

基于SVM的固化土qu預測模型是PSO-SVM優(yōu)化算法的基礎，其準確性直接關系到PSO中各粒子的適應度的評價精度，因此選取文獻[6]的16組硫氧鎂復合水泥固化劑(TZ18)的各成分(即水玻璃、熟料和硅灰)配比及相應的qu(7 d) 作為樣本來構建SVM模型，以剩余4組試驗結果作為目標驗證集，分別采用SVM模型和響應面法[6]對其進行預測，預測結果如圖3所示.通過網格搜索法和交叉驗證法[14]獲得參數C=1.148 7和γ=0.5.由圖3可知，驗證集中SVM模型的預測結果與文獻[6]RSM預測結果均和實測值比較接近.本研究中預測結果相關系數R2=0.992，高于文獻[6]的R2=0.852，而本研究模型均方誤差σ2為0.939%，小于文獻[6]的均方誤差2.213%.因此，SVM模型預測精度優(yōu)于RSM模型.

圖3 固化土的qu (7 d)預測值與實測值對比

表1 PSO模型參數

表2 TZ18固化劑最優(yōu)配比及PSO-SVM預測結果

由表2可知，PSO-SVM算法預測的TZ18復合固化劑的最優(yōu)配比為w(水玻璃)=5.85%，w(熟料)=5.51%，w(硅灰)=6.45%，相應固化土的qu(7 d) 為1 090.55 kPa.為了預測有效性，根據該配比開展了TZ18固化土的7 d無側限抗壓強度試驗.圖4為試驗中應力-應變(σ-ε1)曲線.取試樣1和2測得qu的平均值作為本配方下試驗的實測值(固化7 d的qu=1 156.06 kPa).通過計算，本研究中相對誤差(相對誤差=(qu實測值-qu預測值)/qu實測值×100%)為5.66%.而文獻[6]RSM預測的相應固化土的qu(7 d)為1 042.45 kPa，本研究中依據RSM預測配方所做試樣的qu(7 d) 實測值為949.04 kPa，二者相對誤差為9.84%.因此，PSO-SVM算法高于文獻[6]的預測精度.

圖4 TZ18固化劑最優(yōu)配比預測值下σ-ε1曲線

為進一步驗證PSO-SVM模型普適性，選取文獻[4]的20組水泥復合固化劑(生石膏+生石灰+碳酸鈉)的最優(yōu)配比為目標值，分別采用PSO-SVM耦合算法和響應面法進行預測，并與試驗結果進行對比.SVM模型參數C和γ經網格搜索和交叉驗證均為1.515 7，參數ε=10-4.表3為軟土復合固化劑最優(yōu)配比及模型預測結果，其中軟土復合固化劑最優(yōu)配比指的是生石膏、生石灰和碳酸鈉的質量分數比值的最佳值.

表3 軟土復合固化劑最優(yōu)配比及預測模型結果

軟土復合固化劑最優(yōu)配比優(yōu)化范圍見表1中的算例2.由表3可知，PSO-SVM算法預測的文獻[4]軟土復合固化劑最優(yōu)配比為w(生石膏)=4.58%，w(生石灰)=4.10%，w(碳酸鈉)=1.09%，相應的qu(7 d)為628.06 kPa.

圖5為最優(yōu)配比預測值下的軟土復合固化劑

qu(7 d)試驗σ-ε1曲線.由圖5可知，該配比下固化土qu(7 d)實測值為634.15 kPa(取試樣3和4，測得qu的峰值平均值)，預測值和實測值間相對誤差僅為0.96%.文獻[4]RSM預測的最優(yōu)配比為w(生石膏)=4.80%，w(生石灰)=3.56%，w(碳酸鈉)=1.33%，相應的qu(7 d)為634.05 kPa，而文獻[4]中RSM抗壓強度實測值為623.00 kPa，二者相對誤差為1.77%.可見，PSO-SVM算法在最優(yōu)配比和預測精度方面均優(yōu)于文獻[4]的RSM.

圖5 軟土固化劑最優(yōu)配比預測值下的σ-ε1曲線

3 討 論

在粒子群算法中Nmax和Np對搜索效率影響顯著.現分別以文獻[6]TZ18固化土和文獻[4]復合固化土的試驗數據為研究對象，采用PSO-SVM算法，搜索不同Nmax和Np時文獻[6]TZ18復合固化劑(其他參數見表1中算例1)和文獻[4]軟土復合固化劑(其他參數見表1中算例2)的最優(yōu)配比及相應的qu與所需時間t(算法運算的電腦系統(tǒng)配置為Inter(R) Pentium(R) CPU G630@2.70 GHz、4.00 G內存).圖6和7分別為不同最大迭代次數(Nmax)下預測2種固化劑的最優(yōu)配比、無側限抗壓強度(qu)及耗時(t)曲線.

圖6 不同Nmax下預測TZ18固化劑最優(yōu)配比、qu及t

由圖6可知：隨著Nmax的增加，耗時也逐漸遞增；雖然在Nmax=40 次時，固化土的qu(7 d)已經達到最優(yōu)強度，但是TZ18復合固化劑各成分的配比還沒有穩(wěn)定；在Nmax=50 次時，搜索獲得了TZ18復合固化劑的最優(yōu)配比和最優(yōu)強度保持穩(wěn)定，此時耗時約35.71 s.圖7同樣表明：雖然在Nmax=40 次時，固化土的qu(7 d)已經達到最優(yōu)強度，但是各成分的配比尚未穩(wěn)定；在Nmax=60 次時，搜索獲得最優(yōu)配比和最優(yōu)強度保持穩(wěn)定，此時耗時約41.07 s.因此，復合固化劑最優(yōu)配比的確定是一個多峰極值問題.采用PSO-SVM算法搜索復合固化劑的最優(yōu)配比可以避免陷入局部最優(yōu)解.當Nmax繼續(xù)增加時，雖然能獲得最優(yōu)解，但是計算成本(耗時)過大.綜上可知，Nmax≥60 次時，PSO-SVM搜索的最優(yōu)配比基本收斂，而且運算時間在45 s以內.因此，建議采用PSO-SVM算法搜索固化劑最優(yōu)配比時，取Nmax≥60 次.

圖7 不同Nmax下預測軟土固化劑最優(yōu)配比、qu及t

圖8和9分別為不同粒子數(Np)下預測2種固化劑的最優(yōu)配比、無側限抗壓強度(qu)及耗時(t)曲線.

圖8 不同Np下預測TZ18固化劑最優(yōu)配比、qu及t

由圖8可知，與Nmax規(guī)律類似，計算成本(耗時)隨著粒子數(Np)的增加而增大.在粒子群規(guī)模較小(Np=20 個)時，采用PSO-SVM算法搜索獲得的最優(yōu)配比容易陷入局部最優(yōu)，盡管預測的固化土qu(7 d)已接近最優(yōu)，但各成分的配比尚未穩(wěn)定.只有在Np≥40 個時，才獲得最優(yōu)配比和最優(yōu)強度基本穩(wěn)定，耗時約30.80 s.圖9表明，當Np≥10 個時，預測的固化土qu(7 d)和各成分配比已基本穩(wěn)定，耗時約16.28 s.綜上可知，在采用PSO-SVM算法搜索軟土復合固化劑最優(yōu)配比時，建議Np≥40 個.

圖9 不同Np下預測軟土固化劑最優(yōu)配比、qu及t

4 結 論

1) 根據固化土無側限抗壓強度(qu)試驗結果，構建了基于SVM的固化土qu預測模型，算例分析表明SVM模型的預測精度優(yōu)于RSM模型.

2) 以某一齡期下固化土無側限抗壓強度最大值(qumax)為目標函數，采用SVM模型預測復合固化劑任意配比下的qu，利用PSO算法搜索復合固化劑的最優(yōu)配比，提出了軟土復合固化劑最優(yōu)配比的PSO-SVM算法.通過預測和試驗結果對比分析可知，該算法獲得的最優(yōu)配比的預測精度高于RSM法.

3) 軟土復合固化劑最優(yōu)配比的確定是一個多峰極值問題.PSO-SVM算法參數Nmax和Np對搜索效率和預測結果影響顯著，為避免陷入局部最優(yōu)解，采用PSO-SVM搜索軟土復合固化劑最優(yōu)配比時，取Nmax≥60 次，Np≥40 個.