“信號(hào)與系統(tǒng)”中時(shí)空域思想的重要性與教學(xué)滲透

楊梅

[摘 要] “信號(hào)與系統(tǒng)”課程是電子信息類學(xué)科各專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課，具有信息量大、理論性強(qiáng)、數(shù)學(xué)公式繁雜等特點(diǎn)，學(xué)習(xí)難度較大，教學(xué)難度也較大。為了使學(xué)生對課程內(nèi)容有更清晰的認(rèn)知，提高教與學(xué)的效果，闡述了時(shí)空域思想在本課程授課過程中的重要性，并通過具體的時(shí)域物理過程、空間域物理過程等實(shí)例，詳細(xì)講述了如何將本課程的知識(shí)點(diǎn)與時(shí)空域變化的物理過程相結(jié)合的教學(xué)方法，并指出該思維可以推廣滲透到其他物理變量中。這種教學(xué)方法能夠有效地促進(jìn)學(xué)科交叉與融合，讓學(xué)生對專業(yè)知識(shí)的系統(tǒng)性和體系性有更深入的理解。

[關(guān)鍵詞] 信號(hào)與系統(tǒng);時(shí)域思想;空間域思想;物理過程

[作者簡介] 楊 梅（1985—），女，山東臨沂人，博士，南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院講師，主要從事電磁場與電磁波、微波技術(shù)與天線等研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）13-0159-04? ? ?[收稿日期] 2021-02-04

一、引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程是電子信息類學(xué)科各專業(yè)的基礎(chǔ)理論課，具有信息量大、理論性強(qiáng)、數(shù)學(xué)公式繁雜等特點(diǎn)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求高，學(xué)習(xí)、教學(xué)難度也大。同時(shí)其也是一門開放性的基礎(chǔ)理論課程，每一部分內(nèi)容都可以根據(jù)專業(yè)需求進(jìn)行深化和擴(kuò)展，在整個(gè)本科教學(xué)環(huán)節(jié)中具有承上啟下的作用。因此，研究和改進(jìn)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)方法，對學(xué)生的本課程學(xué)習(xí)和后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)具有積極的意義[1] （P1-77）。

二、信號(hào)與系統(tǒng)是認(rèn)識(shí)物理世界的方法

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程主要包括信號(hào)分析與系統(tǒng)分析兩部分。

信號(hào)是信息傳遞的載體，是描述物理變化的一種物理量。信號(hào)分析的基本出發(fā)點(diǎn)在于分解和線性疊加思維，化繁為簡，分而后合。“分”即為信號(hào)的分解，將復(fù)雜的信號(hào)分解為一系列典型的簡單信號(hào)，對復(fù)雜信號(hào)的分析處理就轉(zhuǎn)化為對簡單信號(hào)的分析處理?！昂稀眲t為信號(hào)的線性疊加合成，將分解得到的簡單信號(hào)或者簡單信號(hào)的響應(yīng)進(jìn)行線性疊加，將得到復(fù)雜信號(hào)或復(fù)雜信號(hào)的響應(yīng)。因此，通過研究基本簡單信號(hào)的特性和信號(hào)的線性組合關(guān)系，就可以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜信號(hào)的特性分析。

系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是在已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與輸入信號(hào)的前提下，求得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)信號(hào)。而要分析一個(gè)系統(tǒng)，首先要建立描述該系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，并對所求得的結(jié)果做出物理解釋，賦予物理意義。激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)信號(hào)，因此對系統(tǒng)的分析方法和對信號(hào)的分析方法是一致的。從這個(gè)意義上來說，“信號(hào)與系統(tǒng)”課程是認(rèn)識(shí)和分析物理世界的一種方法，信號(hào)與系統(tǒng)思維就是一種世界觀和方法論，涵蓋了“任何復(fù)雜事物是由簡單事物組成的，客觀認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)是全面觀察分析事物”這一哲學(xué)方法論思想[2]。

因此，“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)過程，如果更多地從實(shí)際物理過程出發(fā)，關(guān)注課程中數(shù)學(xué)公式背后所涉及的物理過程或者物理現(xiàn)象，將枯燥的公式和煩瑣的推導(dǎo)與更容易理解和想象的物理過程相結(jié)合，既可以提高課堂教學(xué)的趣味性，又能吸引學(xué)生的注意力，從而提升教與學(xué)的效果[3]。

三、物理現(xiàn)象是時(shí)間域的過程

物理現(xiàn)象最基本最直觀的體現(xiàn)是隨時(shí)間變化的時(shí)間域過程，大部分的“信號(hào)與系統(tǒng)”課程教材都是從時(shí)域的角度開始講起，因?yàn)闀r(shí)域分析的物理概念更加清晰，學(xué)生比較容易理解和掌握。

課程一般是由淺入深地引入時(shí)域分析的內(nèi)容，而對一般信號(hào)x（t）作為激勵(lì)的系統(tǒng)響應(yīng)y（t）的分析，可以在沖激信號(hào)？啄（t）的系統(tǒng)響應(yīng)h（t）已經(jīng)求得的基礎(chǔ)上，由卷積積分得到，如圖1所示。因此，沖激信號(hào)是進(jìn)行信號(hào)時(shí)域分析的基礎(chǔ)[4] （P1-60）。

如果只在課堂上呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生機(jī)械地記憶相關(guān)的定義和公式，后續(xù)授課內(nèi)容多了，學(xué)生容易遺忘和混淆，而將某種隨時(shí)間變化的物理過程貫穿到授課內(nèi)容中，讓學(xué)生對所學(xué)知識(shí)點(diǎn)都能找到印證，更容易理解和記憶課程知識(shí)。以沖激信號(hào)δ（t）為例，根據(jù)沖激信號(hào)的數(shù)學(xué)定義：

沖激信號(hào)是一個(gè)脈沖函數(shù)，脈沖面積為1，在t=0時(shí)刻函數(shù)的幅值為無窮大，而在t≠0時(shí)函數(shù)值均為零。因此，沖激信號(hào)可以視為一個(gè)強(qiáng)度甚大，但是作用時(shí)間很短，而作用效果有限的物理量的數(shù)學(xué)模型[1]。授課中可以舉例說明，比如打羽毛球或者乒乓球時(shí)，球拍擊球的力很大，而球拍和球接觸的時(shí)間Δt極短，力和時(shí)間的乘積FΔt是擊球的沖量，這是一個(gè)有限值。在理想情況下，擊球的力趨向于無窮大而擊球時(shí)間趨向于無窮小，二者的乘積仍為原來的沖量，這就是一個(gè)沖激函數(shù)。球被擊飛之后的速度就可以視為球拍對球施力之后的響應(yīng)。羽毛球或乒乓球被擊飛后如果沒有其他外力繼續(xù)作用的話，球的速度會(huì)迅速下降最終變?yōu)榱?。從這個(gè)角度去思考零狀態(tài)條件下沖激信號(hào)作用于系統(tǒng)之后的沖激響應(yīng)h（t），就能更好地去理解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為何是指數(shù)衰減的形式了。

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程后續(xù)的頻域、復(fù)頻域、Z變換域分析，都是基于時(shí)域分析展開的，因此在實(shí)際物理現(xiàn)象或物理過程的基礎(chǔ)上對時(shí)域分析進(jìn)行講解，使得學(xué)生對此部分內(nèi)容有更深入的理解和掌握，對學(xué)生學(xué)好“信號(hào)與系統(tǒng)”這門課及了解其在后續(xù)專業(yè)課程中的應(yīng)用，是非常有意義的。

四、物理現(xiàn)象是空間域的過程

物理現(xiàn)象是發(fā)生在時(shí)間和三維空間中的，因此物理過程同時(shí)也是隨空間變化的空間域過程。從空間域的角度去分析信號(hào)與系統(tǒng)的特性隨物理過程的變化，同樣是一種直觀的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)事物的方法。結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)或者了解到的空間域的生動(dòng)直觀的物理過程，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的信號(hào)與系統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行空間域映射，使學(xué)生體會(huì)到所學(xué)的知識(shí)可以用來解決和解釋很多實(shí)際的物理現(xiàn)象和問題，進(jìn)一步加深對所學(xué)知識(shí)的理解和興趣。

典型的一維空間變化的信號(hào)分析，如傳輸線理論，是微波電路設(shè)計(jì)和計(jì)算的理論基礎(chǔ)，其與電路基礎(chǔ)理論之間的關(guān)鍵差別是研究對象的電尺寸。傳輸線理論研究的是微波信號(hào)，其信號(hào)頻率較高，電波長較短，因此，傳輸線的尺度可能為一個(gè)波長的幾分之一或幾個(gè)波長，在整個(gè)傳輸線長度內(nèi)其電壓和電流的幅值和相位都可能發(fā)生變化[5] （P42-51）。傳輸線理論中，沿z方向延伸的雙線傳輸線上的電壓和電流的行波解一般可表達(dá)為：

其中，γ=α+jβ為復(fù)傳播常數(shù)，其實(shí)部α代表了信號(hào)在傳輸線上的衰減系數(shù)，而虛部β代表了信號(hào)在傳輸線上的相位變化速度，e-γz和eγz分別代表了沿+z方向傳輸?shù)男盘?hào)和沿-z方向傳輸?shù)男盘?hào)。在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程內(nèi)容中，典型的連續(xù)時(shí)間信號(hào)之一復(fù)指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

對比式（2）和式（3）可以看出，傳輸線上的電壓和電流隨一維空間z的變化，與“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中典型的復(fù)指數(shù)信號(hào)隨時(shí)間的變化形式是一致的。因此，在課程講授過程中，可以將復(fù)指數(shù)信號(hào)的一般形式和各種特例對應(yīng)的表達(dá)式，映射到傳輸線上傳輸?shù)男盘?hào)波及其物理解釋中。這樣不僅可以加深學(xué)生對復(fù)指數(shù)信號(hào)表達(dá)式的理解，同時(shí)也能讓學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)在實(shí)際工程中的應(yīng)用。例如，式（3）中復(fù)指數(shù)信號(hào)的復(fù)系數(shù)實(shí)部如果為零，即信號(hào)變?yōu)閒（t）=Ae，從數(shù)學(xué)表達(dá)式上來看，復(fù)指數(shù)信號(hào)變?yōu)榈确撝笖?shù)信號(hào)。如果將其映射到傳輸線理論中的信號(hào)波表達(dá)式（2）中，等幅虛指數(shù)信號(hào)對應(yīng)為復(fù)傳播常數(shù)的實(shí)部衰減系數(shù)時(shí)的α=0行波信號(hào)。衰減系數(shù)為零，則傳輸線是無耗傳輸線，而無耗傳輸線上傳輸?shù)男盘?hào)，其幅度不變，只有相位隨傳輸距離而變化，這樣就能更好地理解等幅虛指數(shù)信號(hào)對應(yīng)的物理過程了。

電磁波的產(chǎn)生和傳播，是一種典型的三維空間信號(hào)分析理論。在很多電子信息類學(xué)科的專業(yè)培養(yǎng)方案中，電磁場與電磁波是后修的學(xué)習(xí)難度較大的一門專業(yè)理論課，同時(shí)，電磁場和電磁波的基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)生在高中物理中已有學(xué)習(xí)和接觸，因此，在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程授課中進(jìn)行一定的反映，既可以使學(xué)生對所學(xué)課程知識(shí)有更深入的理解，對后續(xù)電磁場課程的學(xué)習(xí)也有一定的幫助。例如，圖3所示的不同媒質(zhì)分界面的斜入射的電磁波的分析理論，可以在“信號(hào)與系統(tǒng)”授課過程中講解信號(hào)的分解疊加、線性時(shí)不變系統(tǒng)的對單頻激勵(lì)的響應(yīng)等方面進(jìn)行教學(xué)滲透。

在電磁場理論中，圖2所示的平行極化波在斜入射到不同媒質(zhì)分界面時(shí)，會(huì)產(chǎn)生平面波的反射和透射，在入射媒質(zhì)1中的電磁場是入射波和反射波的疊加[6] （P153-187），其表達(dá)式為：

其中矢量為電磁波傳播方向的單位矢量，矢量和矢量分別為電磁波傳播方向的傳播常數(shù)。由式（4）可以看出，電磁波信號(hào)是一種具有明顯物理意義的信號(hào)疊加示例，媒質(zhì)中的電場可以由具有不同傳播方向的入射電場和反射電場疊加得到，同時(shí)振動(dòng)方向在xoz平面的入射電場和反射電場，又都可以分解為x方向的分量和z方向的分量。將媒質(zhì)內(nèi)的電磁波信號(hào)進(jìn)行空間變量分解，對分解后的信號(hào)分量可以進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析，從而得到清晰的物理規(guī)律。在“信號(hào)與系統(tǒng)”授課中，相對于時(shí)間變量的分解疊加思維，空間變量分解和疊加思維通常沒有受到重視。實(shí)際上對于我們周邊的各種信號(hào)而言，時(shí)間變化往往伴隨著空間變化，尤其是在電磁波的傳播過程中，空間變化是更形象、更明顯的變化，同時(shí)，電磁波的空間分解過程是建立在線性系統(tǒng)和線性方程的基礎(chǔ)上的，有著堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析過程。因此，在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的授課中，將電磁場的空間變量的分解疊加思維滲透到教學(xué)中信號(hào)的分解疊加講解中，是奠定學(xué)生良好工程思維的一種途徑，能夠有效地促進(jìn)學(xué)科交叉與融合，形成系統(tǒng)的知識(shí)架構(gòu)，取得更好的授課效果。

圖2描述的平面波的斜入射理論，還可以在講授連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域響應(yīng)時(shí)進(jìn)行舉例滲透。在用傅里葉變換分析法對線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析時(shí)，其單元信號(hào)是虛指數(shù)信號(hào)ejωt，大部分非周期信號(hào)都可以分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)的疊加。虛指數(shù)信號(hào)作用于線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為同頻率的虛指數(shù)信號(hào)。這一結(jié)論也可以用平面波的斜入射理論進(jìn)行舉例印證。式（4）只是給出了電磁場的空間變化關(guān)系，在電磁場理論中，如果考慮瞬時(shí)電磁場的變化，則入射波和透射波的表達(dá)式可寫為：

即正弦電磁波隨時(shí)間變化的分量可以由虛指數(shù)信號(hào)進(jìn)行描述。對比式（5）給出的媒質(zhì)1中的入射電磁場和媒質(zhì)2中的透射電磁場可以看出，透射電磁場的頻率和入射電磁場的頻率是一致的。也就是說，平面電磁波入射到媒質(zhì)分界面并發(fā)生透射的空間變化過程中，這個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)—透射平面電磁波，與系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)—入射平面電磁波，二者的頻率是相同的，即這個(gè)物理過程對應(yīng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)不改變激勵(lì)信號(hào)的頻率。

因此，很多其他課程中的空間物理過程，可以作為示例在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的知識(shí)點(diǎn)講解中得到體現(xiàn)，從而讓枯燥的“信號(hào)與系統(tǒng)”課程知識(shí)，在學(xué)生眼中具有清晰的物理體現(xiàn)，輔助學(xué)生加深對所學(xué)知識(shí)的理解。

五、時(shí)空域思想對其他物理量的滲透

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的授課內(nèi)容中，包括時(shí)域分析、頻域分析和復(fù)頻域分析等，這些知識(shí)點(diǎn)都是建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的，描述系統(tǒng)的模型，也都是基于數(shù)學(xué)公式的模型，因此，所有的授課內(nèi)容都需要依據(jù)清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo)。而單純地記憶繁雜的公式及其推導(dǎo)，授課過程枯燥無味。將實(shí)際的物理過程與“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中的內(nèi)容相結(jié)合，加深學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，是一種有效提高教與學(xué)效果的途徑。

雖然我們的學(xué)習(xí)和生活中有更多的物理過程是隨時(shí)間域和空間域變化的，將時(shí)空域思想滲透到“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中是一種有效的教學(xué)手段，但是物理變量不一定是時(shí)間和空間，它可以是任意的一種變量，比如速度、顏色、明亮、熱量等。例如，傅里葉變換中的變量t可以是時(shí)間，用在時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換過程中，也可以是空間尺度，用在圖像處理的過程中，而傅里葉分析最初是作為熱過程的解析分析工具被提出的。但是無論傅里葉分析被用于哪個(gè)領(lǐng)域或者應(yīng)用，其核心方法或者說傅里葉變換的表達(dá)式是固定的，萬變不離其宗，這也是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程之所以被稱為電子類專業(yè)基礎(chǔ)課程的原因所在。因此，將“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的時(shí)域分析推廣到時(shí)空域分析，進(jìn)而推廣到任意其他物理變量領(lǐng)域，這一教學(xué)思維對提升“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)效果是非常有幫助的。

六、結(jié)語

本文闡述了將隨時(shí)空域變化的物理過程融合滲透到“信號(hào)與系統(tǒng)”課程授課中的教學(xué)思維，具體講述了如何將“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的知識(shí)點(diǎn)與時(shí)空域變化的物理過程相結(jié)合的教學(xué)方法，并指出了該思維可以進(jìn)一步推廣滲透到其他物理變量中。這種教學(xué)方法將枯燥的課堂知識(shí)與形象的物理過程相結(jié)合，一方面能加深學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的理解，另一方面可以使學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，同時(shí)能夠有效地促進(jìn)學(xué)科交叉與融合，使學(xué)生形成更為系統(tǒng)的知識(shí)架構(gòu)。

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Abstract： The course of Signal and System is an important basic theoretical course for all majors of electronic information. It contains large amount of information， a lot of theories， and complex mathematical formulas and so on， therefore it is difficult to learn and difficult to teach. In order to make students have a clearer understanding of the course content and improve the teaching effect， this paper expounds the importance of time-space domain thought in the teaching of Signal and System course and describes in detail how to combine the knowledge of this course with the physical process of time-space domain through specific examples of time-domain physical process and space-domain physical process. It points out that the time-space domain thought can be further extended to other physical variables. This teaching method can effectively promote the intersection and integration of disciplines， and enable students to have a deeper understanding of the systematization and the structure of the professional knowledge.

Key words： Signal and System; time-domain thought; space-domain thought; physical process