正方體中涂色問題的解題技巧分析

金來寶

摘要：正方體涂色問題是在學(xué)習(xí)了正方體之后進(jìn)行的思維鍛煉和應(yīng)用類的問題，可以幫助學(xué)生理解并體會數(shù)學(xué)知識和外部世界的聯(lián)系。學(xué)生在解決正方體涂色問題的過程中，可以從最基本的涂色、切開、數(shù)數(shù)量開始，漸漸構(gòu)建涂色問題模型，總結(jié)公式，利用模型和公式解決問題。通過涂色問題的學(xué)習(xí)、練習(xí)、解題、思考，可以充分體會正方體涂色問題的價值，有助于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，能夠幫助學(xué)生自覺利用數(shù)學(xué)思維去探尋和思考生活中的事物，解決實際問題。

關(guān)鍵詞：正方體;涂色問題;解題技巧

一、引言

正方體表面涂色問題是規(guī)律探尋類的課程。將較大的正方體表面都涂上顏色，如果將正方體以單位長度切成若干個棱長相等的小正方體，這些小正方體分別有多少個面涂上了顏色。從中是否能找到規(guī)律?；卮疬@類問題，需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷涂色、切開、數(shù)小正方體數(shù)量的基本過程，從中找到規(guī)律，總結(jié)出模型和計算公式，再利用提煉出來的規(guī)律解決問題。教師引導(dǎo)學(xué)生充分動手和思考，摸索思維演化過程，提高思維能力和解決問題的能力。

二、正方體涂色問題的教學(xué)與規(guī)律探尋

正方體涂色問題課堂教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷將正方體表面涂色后再切成若干個棱長一樣的小正方體，探索小正方體涂色情況，從中提煉規(guī)律，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思維，發(fā)展空間想象力和建模思維。學(xué)生在解決正方體涂色問題的過程中，探尋規(guī)律，感受解構(gòu)的樂趣，獲得發(fā)現(xiàn)規(guī)律的成就感，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有興趣。教學(xué)的難點在于：第一，將涂色后大正方體切割成單位棱長的小正方體，探索不同涂色面的小正方體的數(shù)量的過程中，學(xué)生要穿透表面的小正方體看到大正方體內(nèi)部隱藏的小正方體，意識到這部分小正方體的存在。第二，從簡單的數(shù)出小正方體數(shù)量，到提取規(guī)律，可以解決各種棱長的正方體涂色問題。

教師首先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)正方體特征：6個面的面積相等，有8個頂點，12條棱長長度相等。先進(jìn)行分面，采用真實教具或者多媒體方式出示一個大正方體。將大正方體的每條邊均分兩份，切成4個小正方體，計算小正方體數(shù)量的方式為2×2=4。將變成平均分成3份，則小正方體數(shù)量為3×3=9，變成平均分成4份，則小正方體數(shù)量為4×4=16……由學(xué)生總結(jié)：切割大正方體后獲得的小正方體數(shù)量為“切割份數(shù)×切割份數(shù)”。學(xué)習(xí)分面是為了從平面幾何向立體幾何過渡。

將大正方體的6個面均涂上顏色，將每條棱平均為2份切開，能夠切成多少個小正方體，經(jīng)過數(shù)數(shù)量，得到結(jié)論8。每個小正方體有多少個面涂色，得到結(jié)論，每個小正方體都有3個面涂色了。如果將大正方體的每條棱平均分為3份，則能夠切成多少個小正方體呢，得到結(jié)論3×3×3=27。為學(xué)生分組，組內(nèi)交流討論：27個小正方體中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別有幾個，它們都處在什么位置。經(jīng)過小組討論，學(xué)生給出結(jié)論，3面涂色的小正方體有8個，分別處在8個頂點位置。2面涂色的正方體有12個，因為每條棱被分成3份，減去2個3面涂色的小正方體，一條棱上會有1個2面涂色的小正方體，一共有12條棱，所以是12個小正方體。列出算式為（3-2）×12=12。1面涂色的小正方體有6個，在大正方體的每個面上，減去3面涂色和2面涂色的小正方體，則有1個1面涂色的小正方體，共有6個面，則為6個1面涂色的小正方體。在教學(xué)過程中，如果學(xué)生很難理解，則通過多媒體方式進(jìn)行立體演示，確保學(xué)生理解了，再進(jìn)行下一步。

如果將大正方體每條棱平均分為4份，則結(jié)論是怎樣的呢？仍然由小組討論完成。小正方體的總數(shù)為4×4×4=64，3個面涂色的小正方體仍然為8個。2個面涂色的小正方體是（4-2）×12=24。1面涂色的小正方數(shù)量為24。觀察大正方體的一個面，可以看到4×4=16個小正方體，這其中一面涂色的處在這一面的中央，如果按照每條邊來算，則每條邊會有4-2=2，2個一面涂色的小正方體，須將一條邊最旁邊的兩個小正方體減掉。那么這一面上，1面涂色的小正方體數(shù)量為（4-2）×（4-2）=4。大正方體一共有6個面，則1面涂色的小正方體一共有（4-2）×（4-2）×6=24。

總結(jié)計算公式：用n來代表大正方體棱被平均分的份數(shù)，無論大正方體的棱長切成幾份，3面涂色的小正方體都是處在大正方體頂點位置，正方體頂點有8個，則3面涂色小正方體數(shù)量是8。2面涂色小正方體個數(shù)是（n-2）×12。1面涂色的小正方體的數(shù)量為（n-2）2×6。

引導(dǎo)學(xué)生用不同的平分份數(shù)驗算，并思考是否存在沒有涂色的小正方體，處在什么位置，數(shù)量有多少。整個教學(xué)過程要注重教師多問少答，盡量引導(dǎo)學(xué)生自己提取規(guī)律。

三、正方體涂色問題的解題技巧分析

（一）從具體到抽象

在整個教學(xué)過程中，可以看到教學(xué)的過程就是引導(dǎo)學(xué)生開展思維活動的過程，幫助學(xué)生從現(xiàn)實問題走向抽象的情景，從實實在在能夠數(shù)得出數(shù)量的正方體簡單分割開始建模，幫助學(xué)生從最簡單和基礎(chǔ)的部分開始挖掘小正方體與大正方體的空間位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要不斷提出問題，讓學(xué)生經(jīng)歷思考并解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)思維的視角來觀察問題，從而建立數(shù)形結(jié)合和歸納總結(jié)能力。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生已經(jīng)能夠從較為簡單的小正方體切割中提取經(jīng)驗，在大正方體上進(jìn)行各種改造，將自行提取的規(guī)律不但驗算，當(dāng)他們得到的結(jié)果都是正確的，則給學(xué)生帶來成就感，大大帶動了學(xué)生的積極性。從小正方體的總數(shù)量，到關(guān)注各個不同的小正方體的分類和數(shù)量，思維不斷遞進(jìn)。

教師可以讓學(xué)生練習(xí)更復(fù)雜的問題：將棱長1分米的大正方體，表面涂上藍(lán)色。切成棱長為1cm的小正方體。計算其中有多少個3面涂藍(lán)的小正方體？多少個2面涂藍(lán)的小正方體？1面涂藍(lán)的呢？任何一面都沒有涂藍(lán)的呢？

學(xué)生利用自己從具象到抽象總結(jié)出的計算公式，得出結(jié)論：該大正方體棱長平均分10份。3面涂藍(lán)的小正方體有8個。2面涂藍(lán)的小正方體數(shù)量有（10-2）×12=96個。1面涂藍(lán)的小正方體有（10-2）2×6=384個。6個面都沒有涂藍(lán)的小正方體數(shù)量計算方法有兩種：（10-2）3=512個，或者1000-384-96-8=512個。