半穿式鋼桁梁橋上弦桿面外穩(wěn)定性研究

程 高,張之恒,姬子田,劉小平

(1.長(zhǎng)安大學(xué) ,陜西 西安 710064；2.公路大型結(jié)構(gòu)安全教育部工程研究中心,陜西 西安 710064；3.公路橋梁與隧道陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710064；4.長(zhǎng)慶工程設(shè)計(jì)有限公司,陜西 西安 710000)

0 引言

半穿式鋼桁梁橋因橋面凈空不受限且經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于中小跨徑桁梁橋，然而半穿式鋼桁梁橋上弦桿的面外穩(wěn)定性問(wèn)題一直是制約該橋型發(fā)展應(yīng)用的關(guān)鍵因素，近年來(lái)得到了廣泛的關(guān)注，1875年俄羅斯克夫達(dá)敞開(kāi)式橋就因上弦桿受壓失穩(wěn)而引起全橋倒塌。因此，研究上弦桿的面外穩(wěn)定性對(duì)半穿式鋼桁梁橋的發(fā)展具有重要意義。

現(xiàn)有研究主要集中在半穿式鋼桁梁橋的橫向剛度。文獻(xiàn)[1]對(duì)列車準(zhǔn)高速通過(guò)半穿式鋼桁梁橋的橫向振動(dòng)性能進(jìn)行研究，以實(shí)橋?yàn)槔C明了橫向剛度能保證列車運(yùn)行安全性。文獻(xiàn)[2]理論分析了某實(shí)橋提速后橫向振幅超限原因，提出了增大主桁下弦和下平縱聯(lián)斜撐截面面積以增大橫向剛度的方法。文獻(xiàn)[3]根據(jù)輪軌摩擦與車輛橫向振動(dòng)性能的相關(guān)性原理，對(duì)潤(rùn)滑前后半穿式鋼桁梁橋的橫向振動(dòng)進(jìn)行對(duì)比分析，證明了輪軌潤(rùn)滑對(duì)橫向拍波振動(dòng)能起明顯抑制作用。文獻(xiàn)[4]提出了一種研究半穿式鋼桁梁橋與列車系統(tǒng)空間振動(dòng)的分析方法，采用計(jì)算機(jī)模擬，檢算了剛度和運(yùn)營(yíng)平穩(wěn)性。文獻(xiàn)[5]通過(guò)有限元建模分析了半穿式鋼桁梁橋的動(dòng)力特性和橫向振動(dòng)，對(duì)比實(shí)測(cè)資料，提出了穩(wěn)定性的合理加固措施。上述研究成果均說(shuō)明了半穿式鋼桁梁橋的橫向剛度對(duì)上弦桿面外穩(wěn)定性影響顯著，為本文的研究奠定了基礎(chǔ)。

本文在上述研究成果基礎(chǔ)上，采用能量法，通過(guò)Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件給出了不同節(jié)間數(shù)下屈曲荷載的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便，與現(xiàn)有論文研究計(jì)算結(jié)果擬合良好，揭示了半穿式鋼桁梁橋上弦桿面外穩(wěn)定性的主要影響因素。以G211國(guó)道甘肅甜水橋?yàn)槔?，進(jìn)一步分析了半穿式鋼桁梁橋腹桿高度對(duì)上弦桿面外穩(wěn)定性的影響，為半穿式鋼桁梁橋腹桿設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

1 基于能量法的屈曲荷載分析

半穿式鋼桁梁橋的端腹桿側(cè)向支撐一般很強(qiáng)，將端腹桿對(duì)上弦桿的支撐作用等效為鉸接邊界條件。中間腹桿對(duì)上弦桿的支撐作用等效為彈簧，彈簧剛度為腹桿側(cè)向支撐剛度。半穿式鋼桁梁橋的上弦桿發(fā)生側(cè)向屈曲時(shí)，根據(jù)受力狀態(tài)，可簡(jiǎn)化為中間帶彈簧支撐的簡(jiǎn)支梁計(jì)算模型如圖1所示，圖中上弦桿總長(zhǎng)度為L(zhǎng),節(jié)間長(zhǎng)度都為l,節(jié)間數(shù)為N，彈簧剛度為c，屈曲荷載為P，以左端點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。

圖1 簡(jiǎn)化力學(xué)模型

1.1 基本假定

為方便計(jì)算，半穿式鋼桁梁橋上弦桿的簡(jiǎn)化力學(xué)模型滿足如下假定：①端腹桿側(cè)向剛度很大可簡(jiǎn)化為鉸接；②中腹桿尺寸相同，每個(gè)彈簧剛度均相同；③上弦桿各節(jié)間長(zhǎng)度相同；④上弦桿沿跨長(zhǎng)方向?yàn)榈冉孛?；⑤上弦桿沿跨長(zhǎng)方向軸力不變。

1.2 理論計(jì)算方法

半穿式鋼桁梁橋橫截面簡(jiǎn)化模型如圖2所示，圖中b為橫梁長(zhǎng)度；h為腹桿中心高度；Ib為橫梁截面慣性矩；Ic為單榀桁架截面慣性矩。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)，雙榀桁架側(cè)向撓度Δ可表示為：

圖2 橫截面簡(jiǎn)化模型

(1)

彈簧剛度c是腹桿提供的側(cè)向支撐剛度，與腹桿高度有很大關(guān)系，其數(shù)值為單榀桁架側(cè)向撓度的倒數(shù)，彈簧剛度c可表示為：

(2)

為滿足幾何邊界條件和靜力邊界條件，上弦桿屈曲時(shí)變形曲線可假設(shè)為：

(3)

式中：x為上弦桿順橋向位置；y為上弦桿屈曲變形；n為形函數(shù)待定參數(shù)；B為形函數(shù)數(shù)量。

根據(jù)式(3)可以得到y(tǒng)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：

(4)

(5)

上弦桿的彎曲應(yīng)變能為：

(6)

式中：I為上弦桿截面慣性矩。

彈簧位置的屈曲變形可表示為：

(7)

式中：k為屈曲變形待定參數(shù)。

上弦桿中彈簧應(yīng)變能為：

(8)

外荷載所做的功：

(9)

根據(jù)能量法，該結(jié)構(gòu)的總能量為：

U=Ub+Ud-W

(10)

式中：U為結(jié)構(gòu)總能量。

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，總勢(shì)能的變分可表示為：

(11)

結(jié)構(gòu)達(dá)到屈曲狀態(tài)，由穩(wěn)定的能量準(zhǔn)則，應(yīng)滿足下式：

(12)

由式(12)可得n個(gè)線性齊次方程組，可用矩陣形式表達(dá)為下式：

(13)

式中:矩陣D為穩(wěn)定方程矩陣；矩陣C為方程組系數(shù)矩陣；結(jié)構(gòu)達(dá)到屈曲狀態(tài)；矩陣C對(duì)應(yīng)的行列式應(yīng)為0，可表示為式(14)：

(14)

由式(14)可得到屈曲荷載P。對(duì)于屈曲荷載P的求解，所取的形函數(shù)數(shù)量B越大，所得到的近似解越精確。根據(jù)計(jì)算方法可知當(dāng)形函數(shù)數(shù)量B等于節(jié)間數(shù)N時(shí)，第N個(gè)方程所求得的荷載恰好為歐拉臨界荷載Pcr，繼續(xù)增加形函數(shù)數(shù)量對(duì)屈曲荷載P的影響已經(jīng)很小。

1.3 簡(jiǎn)化計(jì)算公式

半穿式鋼桁梁橋上弦桿節(jié)間數(shù)通常在4～12之間，不同節(jié)間數(shù)N對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P表達(dá)式有較大差別，采用上述理論計(jì)算方法，通過(guò)Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，經(jīng)大量編程計(jì)算，對(duì)不同上弦桿節(jié)間數(shù)的半穿式鋼桁梁橋進(jìn)行計(jì)算分析，提出了屈曲荷載P的簡(jiǎn)化計(jì)算公式如表1所示。從表1可看出彈簧剛度c對(duì)屈曲荷載P的影響很大，當(dāng)彈簧剛度c較大時(shí)，對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P為單個(gè)桿件的歐拉臨界荷載Pcr；當(dāng)彈簧剛度c較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P計(jì)算式為含有多個(gè)參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。腹桿高度h是彈簧剛度c的主要影響因素，對(duì)半穿式鋼桁梁橋上弦桿的面外穩(wěn)定性具有重要意義。

表1 簡(jiǎn)化計(jì)算公式Table1 Simplifiedformulas節(jié)間數(shù)N彈簧剛度c屈曲荷載P4>63EIπ4256l3π2EIl24<63EIπ4256l381EIπ4+256cl3144π2l25>144EIπ4625l3π2EIl25<144EIπ4625l3256EIπ4+625cl3400π2l26>275EIπ41296l3π2EIl26<275EIπ41296l3625EIπ4+1296cl3900π2l27>117EIπ4600.25l3π2EIl27<117EIπ4600.25l3324EIπ4+600.25cl3441π2l28>735EIπ44096l3π2EIl28<735EIπ44096l32401EIπ4+4096cl33136π2l29>1088EIπ46561l3π2EIl29<1088EIπ46561l34096EIπ4+6561cl35184π2l210>144EIπ4625l3π2EIl210<144EIπ4625l3256EIπ4+625cl3400π2l211>1620EIπ47320.5l3π2EIl211<1620EIπ47320.5l36561EIπ4+14641cl39801π2l212>275EIπ41296l3π2EIl212<275EIπ41296l3625EIππ4+1296cl3900π2l2

2 算例及分析

2.1 甜水橋算例

以G211國(guó)道甘肅甜水橋?yàn)槔瑢?duì)半穿式鋼桁梁橋上弦桿的面外穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算。甜水橋?yàn)楹?jiǎn)支半穿式鋼桁梁橋，主跨71 m，桁高5.95 m,橋?qū)?4.8 m，高跨比為1/12，寬跨比為1/4.8，上弦桿節(jié)間數(shù)為8，節(jié)間長(zhǎng)度為8 m，甜水橋立面布置圖和橫截面布置圖如圖3和圖4所示。甜水橋上弦桿為圓形鋼管混凝土，截面尺寸為φ1 000×24 mm，下弦桿為方鋼管混凝土，截面尺寸為900 mm×900 mm×300 mm，腹桿為圓形空鋼管，截面尺寸為φ630×26 mm，鋼管采用Q390E鋼材，管內(nèi)混凝土采用C50自密實(shí)補(bǔ)償收縮混凝土，桿件截面如圖5所示。

圖3 甜水橋立面布置圖(單位：cm)

圖4 甜水橋橫截面圖(單位：mm)

(a)上弦桿截面圖

以甜水橋?yàn)槔M(jìn)行上弦桿面外穩(wěn)定性計(jì)算，側(cè)向支撐剛度可由式(2)計(jì)算，各抗彎剛度按照結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

2.2 計(jì)算結(jié)果比較分析

半穿式鋼桁梁橋上弦桿屈曲荷載P的現(xiàn)有計(jì)算方法如下：規(guī)范及書籍主要包括《鐵路橋梁鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(TB 10091-2017)[6]、《水運(yùn)工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTS 152-2012)[7]、《港口工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTJ 283-99)[8]和《鋼橋》(小西一郎)[9]中相關(guān)內(nèi)容，規(guī)范及書籍都是引入計(jì)算長(zhǎng)度的折減系數(shù)以考慮面外穩(wěn)定性，通過(guò)查表可進(jìn)一步計(jì)算屈曲荷載P。理論計(jì)算方法都較復(fù)雜，主要包括SHOU-NGO TU的差分法[10]和孫綱廷提出的計(jì)算方法[11]，如下所示：

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)表Table2 StructuralParameters名稱符號(hào)單位數(shù)值節(jié)間數(shù)N8節(jié)間長(zhǎng)度lmm8000腹桿中心高度hmm5000橫梁長(zhǎng)度bmm13000鋼材彈性模量EsMPa2.06·105混凝土彈性模量EcMPa3.45·104橫梁截面慣性矩Ibmm42.7615·1011單榀桁架截面慣性矩Icmm43.58822·1012上弦桿截面慣性矩Imm41.552023·1010彈簧剛度cN/mm3443303.2472

SHOU-NGO TU通過(guò)差分法，提出屈曲荷載計(jì)算式：

(15)

其中，i為1到N的正整數(shù);S為彈簧剛度參數(shù);T為屈曲荷載參數(shù)。

孫綱廷采用能量法，提出屈曲荷載計(jì)算式:

(16)

其中，Q為1到N的正整數(shù);S為彈簧剛度參數(shù);T為屈曲荷載參數(shù)。

以甜水橋?yàn)槔瑢?duì)以上計(jì)算方法進(jìn)行整理，計(jì)算結(jié)果如表3所示。從表3可看出，采用規(guī)范及書籍計(jì)算得到的屈曲荷載P都非常保守；本文基于能量法所得計(jì)算結(jié)果和SHOU-NGO TU差分法、孫綱廷計(jì)算法所得結(jié)果相同。

以甜水橋?yàn)槔?，其腹桿中心高度h和屈曲荷載P的關(guān)系如圖6所示。從圖6可看出，在一定范圍內(nèi)，屈曲荷載P隨腹桿高度的增大而減少且影響顯著，兩者呈指數(shù)函數(shù)分布，當(dāng)腹桿高度從4 000 mm降為2 000 mm，降幅為100%，對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P從947 585.6 kN升為2 675 742.6 kN,增幅約為182%。從圖6還可看出，屈曲荷載P隨腹桿高度增大而成為單個(gè)桿件的歐拉臨界荷載Pcr，此臨界荷載非常小，說(shuō)明限制腹桿高度是提高半穿式鋼桁梁橋上弦桿面外穩(wěn)定性的有效途徑，腹桿高度設(shè)計(jì)可參考本文提供的屈曲荷載P簡(jiǎn)化計(jì)算公式如表1所示。

表3 屈曲荷載P比較Table3 Comparationofbucklingload參考文獻(xiàn)屈曲荷載P/kN《鐵路橋梁鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(TB10091-2017)19385.831《水運(yùn)工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTS152-2012)21122.524《港口工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTJ283-99)20123.926《鋼橋》(小西一郎)17771.663SHOU-NGOTU差分法493043.2483孫綱廷計(jì)算法493043.2483本文簡(jiǎn)化計(jì)算公式493043.2483

圖6 腹桿高度和屈曲荷載P關(guān)系

3 結(jié)語(yǔ)

本文采用能量法，通過(guò)Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件對(duì)半穿式鋼桁梁橋上弦桿的面外穩(wěn)定性進(jìn)行研究，提供了上弦桿屈曲荷載P的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，結(jié)合G211國(guó)道甘肅甜水橋進(jìn)行計(jì)算結(jié)果分析，可以得到如下結(jié)論：

a.半穿式鋼桁梁橋上弦桿的面外穩(wěn)定性主要和上弦桿抗彎剛度、側(cè)向支撐剛度、節(jié)間長(zhǎng)度和節(jié)間數(shù)有關(guān)。

b.不同節(jié)間數(shù)下上弦桿屈曲荷載的簡(jiǎn)化計(jì)算公式如表1所示。當(dāng)彈簧剛度c較大時(shí)，對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P為歐拉臨界荷載Pcr；當(dāng)彈簧剛度c較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的屈曲荷載P計(jì)算式為含有多個(gè)參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。

c.以G211國(guó)道甘肅甜水橋?yàn)槔?，?duì)現(xiàn)有屈曲荷載的計(jì)算方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)目前規(guī)范提供的計(jì)算方法非常保守；本文基于能量法所得簡(jiǎn)化計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有論文計(jì)算結(jié)果相同。

d.腹桿高度對(duì)半穿式鋼桁梁橋的面外穩(wěn)定性影響顯著，通過(guò)限制腹桿高度可提高該類橋型的面外穩(wěn)定性，本文提供的簡(jiǎn)化計(jì)算公式可用于指導(dǎo)半穿式鋼桁梁橋的腹桿設(shè)計(jì)。