單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)圓錐誤差分析與仿真

丁 鵬，程向紅，劉文倩

（1.微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京210096；2.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

在捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation Systems,SINS)中，陀螺儀直接固連于載體，敏感載體相對慣性空間的角運動。姿態(tài)算法的性能直接影響SINS 的導(dǎo)航精度，由于有限轉(zhuǎn)動的不可交換性影響，姿態(tài)解算中不可避免地引入圓錐誤差，尤其是在高動態(tài)環(huán)境下更為惡劣[1]。1971年Bortz 最早提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量概念，在理論上解決了不可交換性誤差的補償問題，后續(xù)眾多學(xué)者在其基礎(chǔ)上對圓錐誤差補償算法進行了研究[2-5]。

慣性測量單元(Inertial measurement unit,IMU)的測量精度是影響SINS 導(dǎo)航性能的主要因素，通過旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)在SINS 上加裝一個轉(zhuǎn)位機構(gòu)，令I(lǐng)MU 按設(shè)計的方案進行旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)調(diào)制可有效抑制IMU的常值誤差項，提高導(dǎo)航系統(tǒng)的精度[6]。雖然IMU 與載體之間不再直接固連，增加了轉(zhuǎn)位機構(gòu)和測角裝置，但在導(dǎo)航解算上仍采用捷聯(lián)慣導(dǎo)算法，因此也被稱為旋轉(zhuǎn)調(diào)制式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(Rotational Strapdown Inertial Navigation Systems,RINS)[7]。20 世紀(jì)90年代，Sperry 公司研制出首臺激光陀螺單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)，并成功應(yīng)用于水面艦船和潛艇中[7]。后續(xù)國內(nèi)外研究團隊開展了基于激光陀螺和光纖陀螺的單軸、雙軸和三軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的研制[8,9]。

在單軸RINS 中，IMU 安裝在轉(zhuǎn)位機構(gòu)上并隨之轉(zhuǎn)動，相對純SINS 其運動模型發(fā)生了改變，其不可交換性誤差、圓錐誤差補償效果以及補償后的剩余誤差也將發(fā)生改變，目前尚未有針對單軸RINS 此方面的研究。針對上述轉(zhuǎn)變，本文首先剖析了單軸RINS在典型圓錐環(huán)境下的運動形式，建立其運動模型并推導(dǎo)角速率擬合下的不可交換性誤差，然后研究了基于角速率的旋轉(zhuǎn)矢量算法和轉(zhuǎn)位方案對圓錐誤差補償?shù)挠绊懀詈笸ㄟ^仿真實驗驗證理論分析的有效性。

1 單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)圓錐運動特性分析

相對于SINS，單軸RINS 的圓錐運動模型和不可交換性誤差均發(fā)生了改變，因此需要對其進行分析推導(dǎo)，為圓錐誤差補償算法在實際工程中應(yīng)用提供參考。下面將以光纖陀螺慣導(dǎo)系統(tǒng)為例分析單軸RINS 的圓錐誤差，所得的結(jié)論同樣適用于輸出信號為角增量的激光陀螺系統(tǒng)。

1.1 單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)系統(tǒng)圓錐運動描述

圓錐運動是慣性儀表感受到角振動的作用結(jié)果，當(dāng)其兩個正交軸上有同頻不同相的正弦角振動輸入時，第三個正交軸上便會輸出常值角速度，稱為等效陀螺漂移，它的產(chǎn)生會帶來導(dǎo)航計算誤差，即圓錐誤差[1]。

本文所用的坐標(biāo)系定義：導(dǎo)航坐標(biāo)系n采用東-北-天地理坐標(biāo)系；載體坐標(biāo)系b按右-前-上構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系；旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系r是三軸陀螺加速度計所指向的坐標(biāo)系，因此在轉(zhuǎn)位機構(gòu)旋轉(zhuǎn)起始時刻有。

在SINS 中，假設(shè)b系相對n系以為錐軸做典型圓錐運動，半錐角為α，圓錐運動角頻率為則SINS 中t時刻的姿態(tài)四元數(shù)為：

在單軸RINS 中IMU 安裝在一個轉(zhuǎn)位機構(gòu)上，由于轉(zhuǎn)位機構(gòu)相對載體坐標(biāo)系b存在轉(zhuǎn)動，導(dǎo)致r系相對n系除了做典型圓錐運動外，還會隨著轉(zhuǎn)位機構(gòu)繞轉(zhuǎn)動，設(shè)其轉(zhuǎn)速為則單軸RINS 中的圓錐運動可以表示為b系相對n系做圓錐運動與r系相對于b系做旋轉(zhuǎn)運動的合成，則耦合轉(zhuǎn)動下的圓錐變換四元數(shù)為：

由式(2)和式(4)可得，當(dāng)轉(zhuǎn)位機構(gòu)存在旋轉(zhuǎn)角速度時，圓錐運動模型也將發(fā)生轉(zhuǎn)變。

1.2 單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中圓錐運動的等效旋轉(zhuǎn)矢量分析

由于剛體幾何轉(zhuǎn)動的不可交換性的影響，使得利用IMU 的輸出在圓錐運動環(huán)境下進行導(dǎo)航解算時存在誤差，體現(xiàn)在等效旋轉(zhuǎn)矢量的計算誤差。

以Q(tk)和Q(tk-1)分別表示在tk和tk-1時刻n系至r系的變換四元數(shù)，對應(yīng)的姿態(tài)變化四元數(shù)為q(h)，其中姿態(tài)更新周期h=tk-tk-1，根據(jù)四元數(shù)更新方程，有：

可得tk-1時刻至tk時刻對應(yīng)于r系的四元數(shù)q(h)：

根據(jù)姿態(tài)變化四元數(shù)q(h)與等效旋轉(zhuǎn)矢量Φ(h)之間的對應(yīng)關(guān)系，有：

式中，|Φ(h)|是矢量Φ(h)的模，由于姿態(tài)更新周期一般都很短，可認為Φ(h)為小量，簡化式(7)得：

對比式(6)和式(8)的矢量部分可得：

2 單軸RINS 中轉(zhuǎn)動不可交換性誤差與圓錐誤差補償算法

在SINS 中，通常采用基于角速率/角增量的多子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法補償不可交換性誤差。由于單軸RINS的圓錐運動特性發(fā)生改變，其補償形式也將會不同，因此需要研究姿態(tài)算法和轉(zhuǎn)位方案對圓錐誤差補償?shù)挠绊憽?/p>

2.1 轉(zhuǎn)動不可交換性誤差分析

雖然光纖陀螺的輸出信號是角速率形式，但考慮到采樣量化電路，故實際使用的光纖陀螺大都是在高速率采樣的基礎(chǔ)上再作平均和降頻處理，其輸出信息更像是角增量。文獻[2]指出若將角速率形式信號轉(zhuǎn)換成角增量進而構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量，則在此轉(zhuǎn)換過程中會引入較大噪聲，為此設(shè)計了基于角速率輸入的廣義圓錐算法。基于角速率N子樣圓錐補償算法的基本原理是在每個姿態(tài)更新周期h內(nèi)獲得N+1 次陀螺采樣角速率ωi(i=0,1,2,…,N)，利用數(shù)值積分公式[2]由角速率估計角增量，并通過ωi之間的矢量叉乘對圓錐誤差補償項進行逼近，等效旋轉(zhuǎn)矢量估計值?()hΦ為：

當(dāng)(ωc-ωr)h和ωch都是小量時，即有sin[(ωc-ωr)h]=(ωc-ωr)h，sin[ωch]=ωch，角增量估計值為：

因此不可交換性誤差的理論值近似為：

通過式(12)可以看出：

(1)基于角速率輸入下的單軸RINS 的不可交換性誤差在x軸與y軸分量為0，這與純SINS 的圓錐誤差一致。當(dāng)(ωc-ωr)h和ωch不都是小量時，單軸RINS的不可交換性誤差在x軸與y軸表現(xiàn)為周期量，其角頻率為ωc-ωr，幅度與子樣數(shù)有關(guān)。

(2)z軸常值誤差分量中引入了ωr及其與α的耦合項，相對SINS 發(fā)生了變化。

2.2 基于角速率的圓錐誤差補償算法分析

在對不可交換性誤差進行補償時，將主要考慮其常量部分。根據(jù)式(12)有：

利用泰勒級數(shù)展開δΦz(h)中sin(ωc-ωr/2)h，可得：

式中，dk=(-1)k+1N2k+1/[2(2k+1)!]，λ1=(ωc-ωr/2)T。

文獻[2]中基于角速率的圓錐誤差補償項通式為：

式中，KN-i為待優(yōu)化系數(shù)，將角速率公式(4)代入到ω(ti)×ω(tj)且i≠j，得：

基于角速率的多子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法常用式(17)對式(13)進行逼近，待優(yōu)化系數(shù)為Kj(j=1,2…N)，對于純SINS，有λ1=λ2，因此可令式(17)和(13)相等，從而求解各子樣下的Kj。但在單軸RINS 中，λ1≠λ2，Kj取決于ωc和ωr，而在實際系統(tǒng)中ωc無法獲得，ωr也并非常值。根據(jù)實際工程中的應(yīng)用，令單軸RINS 中的Kj與SINS 的圓錐優(yōu)化系數(shù)一致，在此基礎(chǔ)上對圓錐誤差補償后的剩余誤差進行分析。

比較式(17)和式(14)，可以看出在一個姿態(tài)更新周期內(nèi)單軸RINS 圓錐誤差補償?shù)氖Ｓ嗾`差包括4 部分：

(3)λ1和λ2的差異在補償時會產(chǎn)生誤差。

(4)多子樣算法在逼近圓錐補償項時存在剩余誤差，可近似為。

綜合以上分析，可得單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)N子樣圓錐誤差補償算法的剩余誤差為：

根據(jù)式(18)，可將剩余誤差分為3 類：

(1)εN的第一項誤差與算法的子樣數(shù)無關(guān)，由轉(zhuǎn)位機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角頻率所引起，不存在于SINS 中。

(2)εN的第二項誤差與圓錐運動角頻率、轉(zhuǎn)位機構(gòu)旋轉(zhuǎn)角頻率和算法子樣數(shù)相關(guān)。在角頻率不變下，增加算法的子樣數(shù)可減小該項誤差，SINS 中也存在類似誤差。

(3)εN的第三項誤差與圓錐運動角頻率、轉(zhuǎn)位機構(gòu)旋轉(zhuǎn)角頻率和算法子樣數(shù)相關(guān)，增加算法的子樣數(shù)可減小該項誤差，SINS 中不存在此類誤差。

在SINS 中，圓錐誤差的補償精度隨著子樣數(shù)的增加而提高。但在單軸RINS 中，由于εN中第一項剩余常值誤差的限制，使得多子樣算法的補償精度不再隨子樣數(shù)的增加而逐漸提高。

2.3 轉(zhuǎn)位方案對圓錐誤差補償?shù)挠绊?/h3>

綜合考慮轉(zhuǎn)位方案對陀螺水平常值漂移的調(diào)制效果和實際工程應(yīng)用成本，轉(zhuǎn)位機構(gòu)通常以多位置轉(zhuǎn)停的方式進行正反方向旋轉(zhuǎn)。而在實際系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)位機構(gòu)的啟停存在變速運動，即ωr是時間t的函數(shù)，若在轉(zhuǎn)位方案中頻繁引入變速運動，不僅會降低實際系統(tǒng)的誤差調(diào)制效果，還會影響圓錐運動模型及其誤差補償效果。

(1)多子樣算法補償不可交換性誤差后的剩余誤差是通過時間累積來影響單軸RINS。當(dāng)ωr在轉(zhuǎn)動周期內(nèi)表現(xiàn)為正反向?qū)ΨQ時，εN中第1 項常值誤差在每個轉(zhuǎn)動周期內(nèi)將相互抵消。

(2)在單軸RINS 的停留階段，其圓錐運動模型及剩余誤差εN與SINS 相同。

(3)轉(zhuǎn)位機構(gòu)的變速運動，不僅直接影響了IMU位置和速率的對稱性，還間接影響了不可交換性誤差的補償效果。

3 仿真實驗與分析

針對以上對單軸RINS 在圓錐運動下不可交換性誤差補償?shù)睦碚撏茖?dǎo)與分析，將通過仿真比較轉(zhuǎn)位方案對姿態(tài)誤差的影響以及基于角速率的多子樣旋轉(zhuǎn)矢量法對圓錐誤差補償?shù)男Ч?/p>

3.1 單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)位方案對圓錐誤差影響仿真

仿真總體條件設(shè)置如下：半錐角α為1 °，圓錐運動頻率為1 Hz，陀螺采樣周期T=0.005 s，仿真時間20 min，假設(shè)b系相對n系做典型圓錐運動，姿態(tài)更新算法采用基于角速率的二子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度ωr為0 時，其姿態(tài)誤差如圖1所示；當(dāng)轉(zhuǎn)位機構(gòu)以ωr=16 °/s 單方向持續(xù)旋轉(zhuǎn)時，其姿態(tài)誤差如圖2所示；當(dāng)轉(zhuǎn)位機構(gòu)以旋轉(zhuǎn)角速度ωr=16 °/s，旋轉(zhuǎn)角加速度ar=8 °/s2單位置正反轉(zhuǎn)停時，其姿態(tài)誤差如圖3所示，停轉(zhuǎn)時間為2.5 min；當(dāng)轉(zhuǎn)位機構(gòu)以ωr=16 °/s，ar=8 °/s2四位置轉(zhuǎn)停，四位置轉(zhuǎn)位停的順序為：0 °→180 °→270 °→90 °→0 °，其姿態(tài)誤差如圖4所示。其中ΔH、ΔP、ΔR分別表示載體的航向角、俯仰角和橫滾角誤差。

圖1 零速旋轉(zhuǎn)下姿態(tài)誤差Fig.1 Attitude error under zero speed rotation

圖2 單向勻速旋轉(zhuǎn)下姿態(tài)誤差Fig.2 Attitude error under unidirectional rotation

由圖1 可以看出，轉(zhuǎn)位機構(gòu)停轉(zhuǎn)條件下的姿態(tài)誤差變化與SINS 一致；相對零速轉(zhuǎn)動，圖2 中當(dāng)轉(zhuǎn)位機構(gòu)存在轉(zhuǎn)速時，航向角誤差增大0.6 倍，水平姿態(tài)角誤差波動幅度增大1～2 個數(shù)量級。對比圖2、圖3和圖4 可知，通過轉(zhuǎn)位機構(gòu)的正反轉(zhuǎn)可降低航向角誤差和水平姿態(tài)角誤差，但由于在啟停過程中引入了變速運動，導(dǎo)致水平姿態(tài)角誤差在短時間內(nèi)有劇烈的周期振動，比停轉(zhuǎn)階段的誤差幅度大2～3 個數(shù)量級。單軸RINS 在圓錐運動下的水平姿態(tài)角誤差仍是呈現(xiàn)出周期性變化，故主要考慮航向角誤差，四種轉(zhuǎn)位方案下的航向角誤差仍隨時間發(fā)散，由表1 知四位置轉(zhuǎn)停方案下的航向角誤差最小，但其啟停階段的航向角誤差要比停轉(zhuǎn)階段的誤差大3 個數(shù)量級，持續(xù)時間取決于啟停的時間差，在本節(jié)仿真中轉(zhuǎn)過90 °和180 °所需的時間分別為7.625 s 和13.25 s。

圖3 正反轉(zhuǎn)停下姿態(tài)誤差Fig.3 Attitude error under reversible switch-stop

表1 仿真20 min 后航向角誤差Tab.1 Heading error after 20 minutes of simulation

圖4 四位置轉(zhuǎn)停下姿態(tài)誤差Fig.4 Attitude error under four-position switch-stop

3.2 四位置轉(zhuǎn)停下基于角速率的多子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法對圓錐誤差影響仿真

仿真總體條件設(shè)置如下：半錐角α為1 °，圓錐運動頻率為1 Hz，旋轉(zhuǎn)角速度ωr=16 °/s，旋轉(zhuǎn)角加速度ar=8 °/s2，陀螺采樣周期T=0.005 s，仿真時間20 min，假設(shè)b系相對n系做典型圓錐運動。四位置轉(zhuǎn)停的順序為：0 °→180 °→270 °→90 °→0 °，轉(zhuǎn)位機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度和角速度如圖5所示，包括勻加速、勻速、勻減速和停轉(zhuǎn)四個階段，停轉(zhuǎn)時間為2.5 min。分別采用基于角速度的三子樣、四子樣和五子樣等效旋轉(zhuǎn)矢量算法對單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)的圓錐誤差進行補償后，其姿態(tài)誤差分別如圖6、圖7 和圖8所示。

圖5 轉(zhuǎn)位機構(gòu)的角度和角速度變化Fig.5 Change of angle and angular velocity of indexing mechanism

圖6 三子樣算法姿態(tài)誤差Fig.6 Attitude error of triple-sample algorithm

圖7 四子樣算法姿態(tài)誤差Fig.7 Attitude error of four-sample algorithm

圖8 五子樣算法姿態(tài)誤差Fig.8 Attitude error of five-sample algorithm

表2 停轉(zhuǎn)階段最大航向角誤差Tab.2 Maximum heading error during stop phase

對比圖4、圖6、圖7 和圖8，可以看出，在陀螺采樣頻率固定的情況下，由于不同子樣算法的姿態(tài)更新周期不同，導(dǎo)致圓錐誤差補償效果未因子樣數(shù)的增加而提高。其中三子樣補償后的水平姿態(tài)誤差最大且呈發(fā)散趨勢，五子樣補償后的航向角誤差呈階梯式變化。由表2 知，采用四子樣補償算法下的航向角誤差最小，且水平姿態(tài)角誤差呈現(xiàn)周期變化，補償效果相對較好。結(jié)合工程實際中IMU 輸出頻率固定和計算實時性要求，可采用基于角速率的四子樣補償算法。

4 總結(jié)與展望

本文通過理論分析和仿真，得出以下結(jié)論：

(1)單軸RINS 的圓錐誤差及其補償后的剩余誤差大于SINS 中的誤差，通過增加基于角速率/角增量的旋轉(zhuǎn)矢量算法的子樣數(shù)不能無限提高圓錐誤差補償精度；轉(zhuǎn)位方案會影響圓錐誤差的補償精度，四位置轉(zhuǎn)停方式的誤差補償效果最好。

(2)在四位置轉(zhuǎn)停方案中，啟停階段的航向角誤差會急劇增大，其持續(xù)時間在10 s 左右，雖然對RINS的導(dǎo)航定位解算影響不大，但對以RINS 為主的組合導(dǎo)航系統(tǒng)來說可能會造成濾波校正后的結(jié)果變差，故應(yīng)盡量降低RINS 啟停頻率或延長停轉(zhuǎn)時間。

(3)RINS 中圓錐誤差隨載體搖擺幅度和搖擺頻率的增大而增大；現(xiàn)有圓錐算法大都在假設(shè)陀螺輸出無誤差的前提下設(shè)計姿態(tài)誤差補償系數(shù)且其實際精度尚未得到驗證，然而陀螺輸出信號中包含了隨機誤差、安裝誤差、標(biāo)度因素誤差和量化等誤差，導(dǎo)致實際信號中難以保留理論運動假設(shè)下的全部特性，進而造成圓錐誤差補償效果不理想，因此如何提高高動態(tài)條件下圓錐誤差的實際補償精度是下一步的研究方向。