空間存在性問(wèn)題類型的向量解法研究

朱亞倩

(北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750030)

1 與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題

(1)

總結(jié)反思：有關(guān)是否存在一點(diǎn)使得直線與平面之間滿足平行關(guān)系的探索性問(wèn)題，在解答時(shí)，先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，再建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與平面的平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的垂直關(guān)系。利用向量坐標(biāo)運(yùn)算建立所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程。若方程有解，則點(diǎn)存在，否則，點(diǎn)不存在。

2 與垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題

例2 如圖2，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直。AB∥CD∥EF,AB⊥AD，CD=DA=AF=FE=2，AB=4。

(2)

(1)求證：DF∥平面BCE；(2)求二面角C-BF-A的余弦值；(3)線段CE上是否存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF？請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)證明：因?yàn)镃D∥EF，且CD=EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，所以DF∥CE。因?yàn)镈F不屬于平面BCE，所以DF∥平面BCE。

(2)在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作Az⊥AB。因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD，AB，Az所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。

總結(jié)反思：利用向量法求立體幾何中有關(guān)垂直的存在性問(wèn)題，探索在某平面內(nèi)是否存在某點(diǎn)滿足垂直關(guān)系，通常先假設(shè)存在，然后再引入?yún)?shù)，用向量方法處理，由條件與結(jié)論列出等式，再解出參數(shù)，思路簡(jiǎn)單，解法固定，操作方便，注意在將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(x,y,z)時(shí)，要結(jié)合圖形的幾何特征盡量減少x，y，z中未知數(shù)的個(gè)數(shù)。

3 與夾角有關(guān)的存在性問(wèn)題

例3 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，BM=MC，試問(wèn)：棱CC1上是否有一點(diǎn)N，使得異面直線AB1和MN所成的角的度數(shù)為45°？

(3)

4 與距離有關(guān)的存在性問(wèn)題

(4)