基于最大熵原理的聯(lián)合風(fēng)速風(fēng)向概率密度函數(shù)建模方法

陳友慧，王 淼，劉 巖，高 陽

（1.國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，遼寧 沈陽110015；2.沈陽工程學(xué)院 電力學(xué)院，遼寧 沈陽110015）

0 引言

電力系統(tǒng)中的輸電線路和輸電桿塔由于受到風(fēng)速和風(fēng)向（即風(fēng)載荷）長(zhǎng)時(shí)間的直接作用，會(huì)產(chǎn)生傾斜、斷裂、倒塌等事故。因此研究風(fēng)速、風(fēng)向的概率分布及其建模，對(duì)于輸電線路、輸電桿塔等一次設(shè)備的選型、參數(shù)設(shè)計(jì)具有重要的理論和實(shí)際意義。

傳統(tǒng)上對(duì)于風(fēng)速、風(fēng)向的概率分布有三類研究思路。第一類研究主要側(cè)重于風(fēng)速的概率分布模型，如威布爾概率分布及其改進(jìn)方法[1]～[4]、瑞利概率分布及其改進(jìn)方法[5]、極值概率分布及其改進(jìn)方法[6]，[7]、高斯概率分布及其改進(jìn)方法[8]、帕累托概率密度分布、正態(tài)分布、Gamma分布、GEV分布、最大熵分布等[9]。第二類主要側(cè)重于風(fēng)向的概率分布。文獻(xiàn)[10]，[11]得到了風(fēng)向服從高斯分布的研究成果。文獻(xiàn)[12]～[16]提出了風(fēng)向服從不同時(shí)間級(jí)，如秒級(jí)、分鐘級(jí)、小時(shí)級(jí)的概率密度函數(shù)，但并沒有深入給出各個(gè)時(shí)間級(jí)的概率密度函數(shù)。

第三類研究是在建立風(fēng)速概率密度分布模型的同時(shí)，建立風(fēng)向的概率密度分布模型。文獻(xiàn)[17]指出，忽略風(fēng)向?qū)?huì)低估建筑結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。文獻(xiàn)[18]，[19]從結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)的均方根值表征的近似解析表達(dá)式，提出了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合分布的概率模型。文獻(xiàn)[20]，[21]基于Copula函數(shù)和帕累托混合模型，提出了多風(fēng)向極值風(fēng)速估計(jì)方法。文獻(xiàn)[22]～[24]提出了風(fēng)向頻度概率分布，并通過與風(fēng)速條件概率分布、諧波函數(shù)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布聯(lián)合，提出了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度分布模型。文獻(xiàn)[25]，[26]基于最大熵原理，建立了極值風(fēng)速的Gumbel分布和風(fēng)向的二階混合von Mises分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

目前，對(duì)于風(fēng)速、風(fēng)向概率密度的研究沒有經(jīng)過最大熵原理單獨(dú)、綜合的檢驗(yàn)，因而與實(shí)際仍然具有一定的偏差。對(duì)此，本文將最大熵原理應(yīng)用至風(fēng)速、風(fēng)向概率密度推導(dǎo)，繼而演繹至風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度分布。

1 基于最大熵的風(fēng)速概率密度

1.1 最大熵原理

最大熵準(zhǔn)則：通常情況下，隨機(jī)變量的概率分布一般只能測(cè)得其某種均值（如數(shù)學(xué)期望、方差等）或已知某些限定條件下的值（如峰值、取值個(gè)數(shù)等）。符合上述值的分布可能存在多種，而其中一種分布的熵最大。選用這種具有最大熵的分布作為該隨機(jī)變量的分布，是一種有效的處理方法和準(zhǔn)則。最大熵原理用數(shù)學(xué)模型表示為

式中：x為隨機(jī)變量；p（x）為隨機(jī)變量的概率密度；S（x）為熵值；αn為p（x）的N階原點(diǎn)矩；N為一個(gè)較大的正整數(shù)。

1.2 最大熵風(fēng)速概率密度函數(shù)

為了獲得最大熵原理下的風(fēng)速概率密度函數(shù)，設(shè)某時(shí)刻風(fēng)速為vt，其對(duì)應(yīng)的風(fēng)速概率密度函數(shù)為p（vt），將其表示至式（1）中可得：

為了求解式（2）的最大值，通常聯(lián)合約束條件構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

式中：λ0，λ1，…，λn為拉格朗日乘子。

當(dāng)式（2）獲得最大值時(shí)，式（3）中的拉格朗日函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0。對(duì)式（3）進(jìn)行求導(dǎo)可得：

式（6）即為最大熵原理下的風(fēng)速概率密度分布模型。其中還存在拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λn，可以對(duì)式（3）求偏導(dǎo)獲得：

式（7）等式左邊為僅含有拉格朗日乘子的待求量，右邊αi為概率密度函數(shù)p（vt）的N階原點(diǎn)矩，可以通過采集樣本計(jì)算得到，下面給出計(jì)算原理。

根據(jù)概率論可知，風(fēng)速的概率密度分布在其變量范圍內(nèi)積分為1，即：

由式（11）可以看出：等式左邊存在λ0，λ1，…，λn未知數(shù)；右邊是通過實(shí)際測(cè)量地采集樣本的N階原點(diǎn)矩，可以采取M（M＞N）次測(cè)量獲得M個(gè)量測(cè)方程，采用最小二乘法予以求得。

1.3 最大熵威布爾風(fēng)速概率密度函數(shù)

將風(fēng)速現(xiàn)有研究成果與實(shí)際風(fēng)速進(jìn)行檢驗(yàn)，普遍認(rèn)為風(fēng)速服從威布爾分布，模型為

式中：η為比例系數(shù)；k為形狀參數(shù)。

本文基于式（12）的威布爾風(fēng)速分布，在最大熵風(fēng)速概率密度分布基礎(chǔ)上，提出基于最大熵和威布爾分布的風(fēng)速概率密度函數(shù)p（v）。

式中：v為風(fēng)速；函數(shù)f（v，η，k）為式（12）中的威布爾概率分布。

2 高階米塞斯風(fēng)向概率密度函數(shù)

我國(guó)有專門的氣象預(yù)測(cè)站預(yù)報(bào)風(fēng)向，對(duì)于陸地的風(fēng)向預(yù)報(bào)一般采用圓上的16方位表示，而海面上的風(fēng)向預(yù)報(bào)一般采用圓上的36方位表示。對(duì)于圓上的風(fēng)向連續(xù)概率分布模型，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中一般采用馮米塞斯分布（Von Mises Distribution）（又稱為圓周正態(tài)分布），通過采集連續(xù)的16方位中的風(fēng)向數(shù)據(jù)擬合概率密度函數(shù)。嚴(yán)格來說，圓周可以均勻劃分為無限個(gè)，那么根據(jù)多階混合馮米塞斯分布可得概率密度函數(shù)為[16]

式中：f（θ）為風(fēng)向概率密度函數(shù)，以圓周上的風(fēng)向角度θ為變量；N為混合馮米塞斯分布的階數(shù)；μi為風(fēng)向所在的位置；κi為馮米塞斯分布的比例放大參數(shù)，κi≥0；ωi為混合馮米塞斯分布的各階權(quán)值。

參數(shù)κi和μi的計(jì)算式分別為[27]

目前已有的研究主要取式（14）中的低階，比如3階、4階、5階等，一般不超過5階。式（14）中的階數(shù)越高，模型精度越高，通常取決于風(fēng)向概率直方圖的峰值數(shù)[27]。一般風(fēng)向概率直方圖的峰值數(shù)至少有兩個(gè)，為了高精度地?cái)M合風(fēng)向概率分布，本文采取6階混合馮米塞斯分布，即式（14）中的N=6。

3 風(fēng)速風(fēng)向最大熵聯(lián)合概率密度函數(shù)

3.1 風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)

風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度實(shí)際上就是將風(fēng)速概率密度、風(fēng)向概率密度依據(jù)相關(guān)性原理進(jìn)行表達(dá)。

式中：f（v，θ）為風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)；Δθ為圓周上劃分的風(fēng)向角度的間隔。

由式（17）表示的風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)具有一定的假設(shè)前提，比如假設(shè)風(fēng)速、風(fēng)向具有相對(duì)獨(dú)立性，同一風(fēng)向的風(fēng)速概率密度相同等，因而缺乏最大熵的檢驗(yàn)和校正。

3.2 風(fēng)速風(fēng)向最大熵聯(lián)合概率密度函數(shù)

基于前述最大熵原理，可以推導(dǎo)獲得風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合概率密度函數(shù)f（v，θ）[28]。

式中：ζ為角度；g（ζ）為ζ的概率密度函數(shù)；F（v）為風(fēng)速的概率分布函數(shù)；F（θ）為風(fēng)向的概率分布函數(shù)。

4 算例分析

我國(guó)多個(gè)地區(qū)常年受大風(fēng)天氣影響，對(duì)電網(wǎng)輸電線路和桿塔等一次設(shè)備造成極大的沖擊。對(duì)此，東北電網(wǎng)已經(jīng)建成了國(guó)內(nèi)較大型的風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)站，用于觀測(cè)風(fēng)速和風(fēng)向。本文選用東北電網(wǎng)中某大型風(fēng)電場(chǎng)間隔10min連續(xù)5 a的50m高度測(cè)風(fēng)塔獲得的風(fēng)速、風(fēng)向測(cè)量數(shù)據(jù)，所有數(shù)據(jù)均已經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)值，2017年3月觀測(cè)的部分風(fēng)速數(shù)據(jù)如圖1所示。風(fēng)向采用16個(gè)風(fēng)向方位，為了驗(yàn)證本文提出的高階米塞斯概率密度，需要18組風(fēng)向數(shù)據(jù)，對(duì)此采用二次數(shù)據(jù)插值技術(shù)獲得18方位風(fēng)向數(shù)據(jù)，如圖2所示。圖中以0～360°劃分方向，原16風(fēng)向是在0～90°，90～180°，180～270°，270～360°之間分別插入3個(gè)方向，構(gòu)成16方向圖，而本文是在此16方向中任意插入2個(gè)方向，形成18方向。

圖1 部分風(fēng)速數(shù)據(jù)Fig.1 Some wind seed datas

圖2 風(fēng)向數(shù)據(jù)圖Fig.2Wind direction datamap

4.1 風(fēng)速概率密度函數(shù)

在前文最大熵原理下分別擬合20m和80m高度的風(fēng)速概率密度函數(shù)的各個(gè)參數(shù)，結(jié)果見表1，為了減少?gòu)?fù)雜度，計(jì)算過程中采用5位小數(shù)。

表1 20m和80m高度的概率密度函數(shù)參數(shù)Table 1 Parameters of probability density function for 20meters and 80meters height

將表1中的各個(gè)參數(shù)寫入到相應(yīng)的概率密度函數(shù)中，可以獲得確定的概率密度。將傳統(tǒng)最大熵原理的概率密度函數(shù)、本文方法獲得的概率密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，采用平均絕對(duì)百分比誤差函數(shù)MAPE擬合風(fēng)速數(shù)據(jù)，結(jié)果如表2所示。

式中：yi為第i個(gè)實(shí)際值；fi為第i個(gè)預(yù)測(cè)值；n為個(gè)數(shù)。

表2 20m和80m高度概率密度函數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of probability density function of 20 meters and 80meters height

由表2可以看出：N取值越大，對(duì)應(yīng)的MAPE越小，說明高階擬合效果更好；本文方法比傳統(tǒng)最大熵原理方法具有更好的精確度。

4.2 風(fēng)向概率密度函數(shù)

本文以實(shí)際16風(fēng)向角度測(cè)量數(shù)據(jù)，使用6階米塞斯風(fēng)向概率密度函數(shù)擬合實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù)，對(duì)風(fēng)向概率密度擬合曲線與實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

圖3 風(fēng)向概率密度擬合曲線與實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù)比較Fig.3 Comparison ofwind direction probability density fitting curve with actualwind direction data

由圖3可見，利用風(fēng)向概率密度函數(shù)擬合的曲線與實(shí)際測(cè)量的風(fēng)向數(shù)據(jù)具有一致的分布趨勢(shì)。在此情況下，需要進(jìn)一步檢驗(yàn)風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)的建模效果。

4.3 風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)

通過對(duì)風(fēng)速和風(fēng)向的建模，以及形成聯(lián)合概率密度函數(shù)，與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果見圖4。

圖4 本文概率密度函數(shù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較Fig.4 This paper compares the probability density function with themeasured data

由圖4可以看出，本文提出的風(fēng)速風(fēng)向概率密度函數(shù)能夠準(zhǔn)確地?cái)M合實(shí)際風(fēng)的情況。在1 200～1 300個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)擬合效果不佳的情況，是由這個(gè)階段寒流導(dǎo)致的風(fēng)速突變較大引起的。

5 結(jié)語

實(shí)際的風(fēng)載荷是由風(fēng)速和風(fēng)向兩部分構(gòu)成，因此在研究風(fēng)載荷對(duì)輸電線路和輸電桿塔等一次設(shè)備的沖擊時(shí)，有必要建立風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合概率密度模型。本文基于最大熵原理，構(gòu)建了風(fēng)速的概率密度模型及風(fēng)向的高階米塞斯概率密度模型，進(jìn)一步形成了最大熵原理下的風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度模型，通過仿真，驗(yàn)證了該模型具有較高的精度。