陳友慧,王 淼,劉 巖,高 陽
(1.國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院,遼寧 沈陽110015;2.沈陽工程學(xué)院 電力學(xué)院,遼寧 沈陽110015)
電力系統(tǒng)中的輸電線路和輸電桿塔由于受到風(fēng)速和風(fēng)向(即風(fēng)載荷)長(zhǎng)時(shí)間的直接作用,會(huì)產(chǎn)生傾斜、斷裂、倒塌等事故。因此研究風(fēng)速、風(fēng)向的概率分布及其建模,對(duì)于輸電線路、輸電桿塔等一次設(shè)備的選型、參數(shù)設(shè)計(jì)具有重要的理論和實(shí)際意義。
傳統(tǒng)上對(duì)于風(fēng)速、風(fēng)向的概率分布有三類研究思路。第一類研究主要側(cè)重于風(fēng)速的概率分布模型,如威布爾概率分布及其改進(jìn)方法[1]~[4]、瑞利概率分布及其改進(jìn)方法[5]、極值概率分布及其改進(jìn)方法[6],[7]、高斯概率分布及其改進(jìn)方法[8]、帕累托概率密度分布、正態(tài)分布、Gamma分布、GEV分布、最大熵分布等[9]。第二類主要側(cè)重于風(fēng)向的概率分布。文獻(xiàn)[10],[11]得到了風(fēng)向服從高斯分布的研究成果。文獻(xiàn)[12]~[16]提出了風(fēng)向服從不同時(shí)間級(jí),如秒級(jí)、分鐘級(jí)、小時(shí)級(jí)的概率密度函數(shù),但并沒有深入給出各個(gè)時(shí)間級(jí)的概率密度函數(shù)。
第三類研究是在建立風(fēng)速概率密度分布模型的同時(shí),建立風(fēng)向的概率密度分布模型。文獻(xiàn)[17]指出,忽略風(fēng)向?qū)?huì)低估建筑結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。文獻(xiàn)[18],[19]從結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)的均方根值表征的近似解析表達(dá)式,提出了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合分布的概率模型。文獻(xiàn)[20],[21]基于Copula函數(shù)和帕累托混合模型,提出了多風(fēng)向極值風(fēng)速估計(jì)方法。文獻(xiàn)[22]~[24]提出了風(fēng)向頻度概率分布,并通過與風(fēng)速條件概率分布、諧波函數(shù)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布聯(lián)合,提出了風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度分布模型。文獻(xiàn)[25],[26]基于最大熵原理,建立了極值風(fēng)速的Gumbel分布和風(fēng)向的二階混合von Mises分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)。
目前,對(duì)于風(fēng)速、風(fēng)向概率密度的研究沒有經(jīng)過最大熵原理單獨(dú)、綜合的檢驗(yàn),因而與實(shí)際仍然具有一定的偏差。對(duì)此,本文將最大熵原理應(yīng)用至風(fēng)速、風(fēng)向概率密度推導(dǎo),繼而演繹至風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度分布。
最大熵準(zhǔn)則:通常情況下,隨機(jī)變量的概率分布一般只能測(cè)得其某種均值(如數(shù)學(xué)期望、方差等)或已知某些限定條件下的值(如峰值、取值個(gè)數(shù)等)。符合上述值的分布可能存在多種,而其中一種分布的熵最大。選用這種具有最大熵的分布作為該隨機(jī)變量的分布,是一種有效的處理方法和準(zhǔn)則。最大熵原理用數(shù)學(xué)模型表示為
式中:x為隨機(jī)變量;p(x)為隨機(jī)變量的概率密度;S(x)為熵值;αn為p(x)的N階原點(diǎn)矩;N為一個(gè)較大的正整數(shù)。
為了獲得最大熵原理下的風(fēng)速概率密度函數(shù),設(shè)某時(shí)刻風(fēng)速為vt,其對(duì)應(yīng)的風(fēng)速概率密度函數(shù)為p(vt),將其表示至式(1)中可得:
為了求解式(2)的最大值,通常聯(lián)合約束條件構(gòu)造拉格朗日函數(shù):
式中:λ0,λ1,…,λn為拉格朗日乘子。
當(dāng)式(2)獲得最大值時(shí),式(3)中的拉格朗日函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0。對(duì)式(3)進(jìn)行求導(dǎo)可得:
式(6)即為最大熵原理下的風(fēng)速概率密度分布模型。其中還存在拉格朗日乘子λ0,λ1,…,λn,可以對(duì)式(3)求偏導(dǎo)獲得:
式(7)等式左邊為僅含有拉格朗日乘子的待求量,右邊αi為概率密度函數(shù)p(vt)的N階原點(diǎn)矩,可以通過采集樣本計(jì)算得到,下面給出計(jì)算原理。
根據(jù)概率論可知,風(fēng)速的概率密度分布在其變量范圍內(nèi)積分為1,即:
由式(11)可以看出:等式左邊存在λ0,λ1,…,λn未知數(shù);右邊是通過實(shí)際測(cè)量地采集樣本的N階原點(diǎn)矩,可以采取M(M>N)次測(cè)量獲得M個(gè)量測(cè)方程,采用最小二乘法予以求得。
將風(fēng)速現(xiàn)有研究成果與實(shí)際風(fēng)速進(jìn)行檢驗(yàn),普遍認(rèn)為風(fēng)速服從威布爾分布,模型為
式中:η為比例系數(shù);k為形狀參數(shù)。
本文基于式(12)的威布爾風(fēng)速分布,在最大熵風(fēng)速概率密度分布基礎(chǔ)上,提出基于最大熵和威布爾分布的風(fēng)速概率密度函數(shù)p(v)。
式中:v為風(fēng)速;函數(shù)f(v,η,k)為式(12)中的威布爾概率分布。
我國(guó)有專門的氣象預(yù)測(cè)站預(yù)報(bào)風(fēng)向,對(duì)于陸地的風(fēng)向預(yù)報(bào)一般采用圓上的16方位表示,而海面上的風(fēng)向預(yù)報(bào)一般采用圓上的36方位表示。對(duì)于圓上的風(fēng)向連續(xù)概率分布模型,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中一般采用馮米塞斯分布(Von Mises Distribution)(又稱為圓周正態(tài)分布),通過采集連續(xù)的16方位中的風(fēng)向數(shù)據(jù)擬合概率密度函數(shù)。嚴(yán)格來說,圓周可以均勻劃分為無限個(gè),那么根據(jù)多階混合馮米塞斯分布可得概率密度函數(shù)為[16]
式中:f(θ)為風(fēng)向概率密度函數(shù),以圓周上的風(fēng)向角度θ為變量;N為混合馮米塞斯分布的階數(shù);μi為風(fēng)向所在的位置;κi為馮米塞斯分布的比例放大參數(shù),κi≥0;ωi為混合馮米塞斯分布的各階權(quán)值。
參數(shù)κi和μi的計(jì)算式分別為[27]
目前已有的研究主要取式(14)中的低階,比如3階、4階、5階等,一般不超過5階。式(14)中的階數(shù)越高,模型精度越高,通常取決于風(fēng)向概率直方圖的峰值數(shù)[27]。一般風(fēng)向概率直方圖的峰值數(shù)至少有兩個(gè),為了高精度地?cái)M合風(fēng)向概率分布,本文采取6階混合馮米塞斯分布,即式(14)中的N=6。
風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度實(shí)際上就是將風(fēng)速概率密度、風(fēng)向概率密度依據(jù)相關(guān)性原理進(jìn)行表達(dá)。
式中:f(v,θ)為風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù);Δθ為圓周上劃分的風(fēng)向角度的間隔。
由式(17)表示的風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)具有一定的假設(shè)前提,比如假設(shè)風(fēng)速、風(fēng)向具有相對(duì)獨(dú)立性,同一風(fēng)向的風(fēng)速概率密度相同等,因而缺乏最大熵的檢驗(yàn)和校正。
基于前述最大熵原理,可以推導(dǎo)獲得風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(v,θ)[28]。
式中:ζ為角度;g(ζ)為ζ的概率密度函數(shù);F(v)為風(fēng)速的概率分布函數(shù);F(θ)為風(fēng)向的概率分布函數(shù)。
我國(guó)多個(gè)地區(qū)常年受大風(fēng)天氣影響,對(duì)電網(wǎng)輸電線路和桿塔等一次設(shè)備造成極大的沖擊。對(duì)此,東北電網(wǎng)已經(jīng)建成了國(guó)內(nèi)較大型的風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)站,用于觀測(cè)風(fēng)速和風(fēng)向。本文選用東北電網(wǎng)中某大型風(fēng)電場(chǎng)間隔10min連續(xù)5 a的50m高度測(cè)風(fēng)塔獲得的風(fēng)速、風(fēng)向測(cè)量數(shù)據(jù),所有數(shù)據(jù)均已經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)值,2017年3月觀測(cè)的部分風(fēng)速數(shù)據(jù)如圖1所示。風(fēng)向采用16個(gè)風(fēng)向方位,為了驗(yàn)證本文提出的高階米塞斯概率密度,需要18組風(fēng)向數(shù)據(jù),對(duì)此采用二次數(shù)據(jù)插值技術(shù)獲得18方位風(fēng)向數(shù)據(jù),如圖2所示。圖中以0~360°劃分方向,原16風(fēng)向是在0~90°,90~180°,180~270°,270~360°之間分別插入3個(gè)方向,構(gòu)成16方向圖,而本文是在此16方向中任意插入2個(gè)方向,形成18方向。
圖1 部分風(fēng)速數(shù)據(jù)Fig.1 Some wind seed datas
圖2 風(fēng)向數(shù)據(jù)圖Fig.2Wind direction datamap
在前文最大熵原理下分別擬合20m和80m高度的風(fēng)速概率密度函數(shù)的各個(gè)參數(shù),結(jié)果見表1,為了減少?gòu)?fù)雜度,計(jì)算過程中采用5位小數(shù)。
表1 20m和80m高度的概率密度函數(shù)參數(shù)Table 1 Parameters of probability density function for 20meters and 80meters height
將表1中的各個(gè)參數(shù)寫入到相應(yīng)的概率密度函數(shù)中,可以獲得確定的概率密度。將傳統(tǒng)最大熵原理的概率密度函數(shù)、本文方法獲得的概率密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比,采用平均絕對(duì)百分比誤差函數(shù)MAPE擬合風(fēng)速數(shù)據(jù),結(jié)果如表2所示。
式中:yi為第i個(gè)實(shí)際值;fi為第i個(gè)預(yù)測(cè)值;n為個(gè)數(shù)。
表2 20m和80m高度概率密度函數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of probability density function of 20 meters and 80meters height
由表2可以看出:N取值越大,對(duì)應(yīng)的MAPE越小,說明高階擬合效果更好;本文方法比傳統(tǒng)最大熵原理方法具有更好的精確度。
本文以實(shí)際16風(fēng)向角度測(cè)量數(shù)據(jù),使用6階米塞斯風(fēng)向概率密度函數(shù)擬合實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù),對(duì)風(fēng)向概率密度擬合曲線與實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,結(jié)果如圖3所示。
圖3 風(fēng)向概率密度擬合曲線與實(shí)際風(fēng)向數(shù)據(jù)比較Fig.3 Comparison ofwind direction probability density fitting curve with actualwind direction data
由圖3可見,利用風(fēng)向概率密度函數(shù)擬合的曲線與實(shí)際測(cè)量的風(fēng)向數(shù)據(jù)具有一致的分布趨勢(shì)。在此情況下,需要進(jìn)一步檢驗(yàn)風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)的建模效果。
通過對(duì)風(fēng)速和風(fēng)向的建模,以及形成聯(lián)合概率密度函數(shù),與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn),結(jié)果見圖4。
圖4 本文概率密度函數(shù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較Fig.4 This paper compares the probability density function with themeasured data
由圖4可以看出,本文提出的風(fēng)速風(fēng)向概率密度函數(shù)能夠準(zhǔn)確地?cái)M合實(shí)際風(fēng)的情況。在1 200~1 300個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)擬合效果不佳的情況,是由這個(gè)階段寒流導(dǎo)致的風(fēng)速突變較大引起的。
實(shí)際的風(fēng)載荷是由風(fēng)速和風(fēng)向兩部分構(gòu)成,因此在研究風(fēng)載荷對(duì)輸電線路和輸電桿塔等一次設(shè)備的沖擊時(shí),有必要建立風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合概率密度模型。本文基于最大熵原理,構(gòu)建了風(fēng)速的概率密度模型及風(fēng)向的高階米塞斯概率密度模型,進(jìn)一步形成了最大熵原理下的風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度模型,通過仿真,驗(yàn)證了該模型具有較高的精度。