淺析曲線變換在函數(shù)圖象變換中的應(yīng)用策略

曹明寬

摘 要：高中數(shù)學(xué)中的曲線變換和函數(shù)圖象變換，主要有平移、伸縮和對(duì)稱變換。廣義上的函數(shù)圖象變換就是曲線的變換，但曲線變換的適用范圍更廣闊，不僅能使函數(shù)的圖象變換更簡單，判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的反函數(shù)，還能解決函數(shù)圖象變換不能應(yīng)用于曲線變換的弊端。

關(guān)鍵詞：曲線變換;函數(shù)圖象;圖像變換

一、 引言

在近年的高考試題中，函數(shù)圖象變換是高頻考點(diǎn)，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力與邏輯推理能力。函數(shù)圖象的變換主要從三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換開始，又引入了函數(shù)圖象的對(duì)稱變換和翻折變換。在解析幾何中又引入了曲線的中心對(duì)稱變換和軸對(duì)稱變換，由于引入的時(shí)間節(jié)點(diǎn)不同，導(dǎo)致學(xué)生不能把函數(shù)圖象變換與曲線變換完美地融合，造成了解題時(shí)的困惑。為了解決這一問題，文章主要從曲線變換入手，把曲線變換與函數(shù)圖象變換融合起來，使曲線變換的規(guī)律能廣泛應(yīng)用于函數(shù)圖象變換，同時(shí)也能解決解析幾何中的變換問題。

二、 研究曲線變換與函數(shù)圖象變換的意義

在學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)時(shí)，主要是學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的平移與伸縮變換，教材中的平移伸縮變換規(guī)律是針對(duì)函數(shù)y=f（x）而言的，而且僅限于解決三角函數(shù)的圖象變換問題，并不能延伸應(yīng)用到其他函數(shù)的圖象變換。在學(xué)習(xí)圓錐曲線的對(duì)稱變換后只是掌握了“把方程中的x換成-x方程不變，則曲線關(guān)于y對(duì)稱，把方程中的y換成-y方程不變，則曲線關(guān)于x對(duì)稱，把方程中的x，y分別換成-x，-y方程不變，則曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱”，不能從本質(zhì)上認(rèn)清變換的實(shí)質(zhì)，把知識(shí)融為一體，給解決變換問題帶來困惑。

從方程的曲線和函數(shù)的圖象看，函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）就是曲線的方程，所以曲線的變換能完全適用于函數(shù)圖象的變換，從函數(shù)概念看，曲線的方程不都是函數(shù)的解析式，所以函數(shù)圖象的變換規(guī)律并不都適用于曲線的變換。如果把函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）變形為y-f（x）=0，令F（x，y）=y-f（x），則函數(shù)的解析式就是方程F（x，y）=0。在函數(shù)圖象變換的教學(xué)中引入曲線的變換，把曲線變換與函數(shù)的圖象變換深度融合，就能從本質(zhì)上讓學(xué)生理解變換的實(shí)質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的解題能力。

三、 曲線變換的規(guī)律

（一）曲線在水平方向上的平移變換

設(shè)點(diǎn)（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點(diǎn)，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）個(gè)單位后，點(diǎn)（x′，y′）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則x′=x-a，y=y′，所以把曲線F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）個(gè)單位后所得曲線的方程為F（x-a，y）=0，同理可得，向左平移a（a>0）個(gè)單位后得到的曲線方程為F（x+a，y）=0。

（二）曲線在豎直方向上的平移變換

設(shè)點(diǎn)（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任意一點(diǎn)（x′，y′），把曲線豎直向上平移b（b>0）個(gè)單位后，點(diǎn)（x′，y′）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x，y），則x′=x，y′=y-b，又因?yàn)辄c(diǎn)（x′，y′）在曲線F（x，y）=0上，所以把曲線豎直向上平移b（b>0）個(gè)單位后所得的曲線方程為F（x，y-b）=0，同理可得，曲線F（x，y）=0沿豎直向下的方向平移b（b>0）個(gè)單位后得到的曲線的方程為F（x，y+b）=0。

（三）曲線在水平方向上的伸縮變換

設(shè)點(diǎn)（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點(diǎn)，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），縱坐標(biāo)不變，設(shè)點(diǎn)（x′，y′）在所得曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x，y），則ωx′=x，又因?yàn)榭v坐標(biāo)不變，所以y=y′，所以把曲線F（x，y）=0上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），縱坐標(biāo)不變，得到的曲線的方程為F1ωx，y=0。

（四）曲線在豎直方向上的伸縮變換

設(shè)點(diǎn)（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點(diǎn)，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），橫坐標(biāo)不變，設(shè)點(diǎn)（x′，y′）在變換后所得曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x，y），則ωy′=y，又因?yàn)闄M坐標(biāo)不變，所以x=x′，所以把曲線F（x，y）=0上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），橫坐標(biāo)不變，得到的曲線的方程為Fx，1ωy=0。

四、 曲線變換的應(yīng)用

曲線變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，主要有平移伸縮變換和對(duì)稱變換的應(yīng)用。除此之外，曲線的變換在解析幾何中的應(yīng)用也很多，延伸探究就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線的變換還和函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的反函數(shù)有關(guān)，可以用曲線變換判斷函數(shù)奇偶性，求函數(shù)的反函數(shù)，下面來談?wù)勄€變換的應(yīng)用。

（一）曲線變換在函數(shù)圖象變換中的應(yīng)用

曲線變換在函數(shù)圖象變換中，主要有平移與伸縮變換，對(duì)應(yīng)的題型主要有三種，一是已知函數(shù)與變換求變換后的函數(shù)，二是已知變換和變換后的函數(shù)，求變換前的函數(shù)，三是知道變換前和變換后的函數(shù)，求變換。

例1 把函數(shù)y=sin2x的圖象沿水平方向向右平移π3個(gè)單位后，豎直向上平移3個(gè)單位，再把所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，縱坐標(biāo)縮小12，求變換后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式。

解析：根據(jù)曲線變換的規(guī)律，經(jīng)過水平和豎直方向上的平移變換后，只需把函數(shù)y=sin2x中的x和y分別換成x+π3和y-3就得到y(tǒng)-3=sin2x-π3，再經(jīng)過水平和豎直方向上的伸縮變后，只需把y-3=sin2x-π3中的x和y分別換成12x和2y就得到2y-3=sin212x-π3，化簡得所求函數(shù)的解析式為y=12sinx-2π3+32。

例2 把函數(shù)y=f（x）圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，橫坐標(biāo)不變，再向上平移2個(gè)單位就得到函數(shù)y=x2的圖象，求函數(shù)y=f（x）的解析式。