無(wú)限大板功能梯度材料反平面裂紋問(wèn)題的研究

郭昱彤，張雪霞，趙文彬，郭 璐

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

近幾年，對(duì)功能梯度材料的研究成了熱門。因?yàn)樵摬牧系姆蔷鶆蛐?，它可以消除傳統(tǒng)復(fù)合材料的缺陷。因此，它可以應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如能源，運(yùn)輸，光學(xué)，生物醫(yī)學(xué)工程等[1-2]。

馮文杰[3]基于位錯(cuò)密度函數(shù)研究了正交各向異性功能梯度條中多個(gè)共線Griffith裂紋的反平面剪切沖擊問(wèn)題。Chen等人[4]假定帶鋼的上邊緣是無(wú)牽引力的，下邊是固定的，利用積分變換法，導(dǎo)出一個(gè)初等解并建立奇異積分方程，彈性分析了功能梯度材料反平面彈性共線裂紋問(wèn)題。Zhang等人[5-7]利用解析法，探究了無(wú)窮大反平面裂紋問(wèn)題。李永東[8]基于涂層圓柱形復(fù)合材料界面的斷裂力學(xué)理論模型并用分離變量法研究了圓柱形復(fù)合材料的界面開(kāi)裂問(wèn)題。陸萬(wàn)順等人[9]研究了層合板結(jié)構(gòu)中的反平面運(yùn)動(dòng)裂紋問(wèn)題并用copson方法求解。文獻(xiàn)[10]研究了正交異性基板在移動(dòng)裂紋作用下的動(dòng)態(tài)行為，并采用非均勻涂層對(duì)其進(jìn)行了增強(qiáng)。文獻(xiàn)[11]討論了主要斷裂特征(應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放速率)對(duì)雙材料常數(shù)的依賴關(guān)系的解析解和半解析解，給出了界面裂紋與內(nèi)部裂紋相互作用的反平面剪切問(wèn)題的詳細(xì)表達(dá)式。

本文采用負(fù)指數(shù)冪模型，運(yùn)用數(shù)值解析法，再通過(guò)轉(zhuǎn)化，求解奇異積分方程的解，來(lái)獲取應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析式。探討相關(guān)參數(shù)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

1 材料物性參數(shù)的負(fù)指數(shù)冪模型

如圖1是含裂紋長(zhǎng)度為2a的功能梯度材料。x軸和y軸相互垂直，坐標(biāo)y是自變量，切變模量μx,μy是因變量，而且μx,μy按如下變化。即剪切模量采用負(fù)指數(shù)冪模型：

模型：

μx(y)=(μx)0/(c+α|y|)k

μy(y)=(μy)0/(c+α|y|)k

(1)

其中c>0,α>0,k>0，剪切模量為(μx)0=μx(0)·ck和(μy)0=μy(0)·ck

應(yīng)力-位移關(guān)系為：

(2)

2 建立控制方程和邊界條件

應(yīng)力平衡方程：

(3)

將應(yīng)力-位移關(guān)系(2)代入到應(yīng)力平衡方程(3)得到控制方程為：

(4)

給出邊界條件：

τyz(x,0)=-τ0|x|

(5.1)

w(x,0)=0 |x|≥a

(5.2)

3 導(dǎo)出對(duì)偶積分方程

由于裂紋的對(duì)稱性，只考慮x>0,y>0的平面，引入關(guān)于x的Fourier余弦變換

(6)

(7)

設(shè)變量代換

(8)

可得到：

(9)

(10)

式(10)是標(biāo)準(zhǔn)的修正Bessel微分方程，由其解并考慮y→∞處的正則條件，方程(10)的解為：

(11)

把式(11)代入到式(6)，得到:

Kβ[(c+αy)S/α]cos(sx)ds

把式(11)代入到式(2)得:

Kβ[(c+αy)S/α]sin(sx)ds

(12)

[(c+αy)S/α]}cos(sx)ds

(13)

由式(11)、式(13)以及邊界條件(5.1)、(5.2)，可得到一組對(duì)偶積分方程組(14)

(14)

(15)

采用copson方法求解對(duì)偶積分方程組(14)，得其解:

(16)

其中J0()是零階第一類Bessel函數(shù)，函數(shù)Φ(ξ)由如下第二類Fredholm積分方程控制:

(17)

通過(guò)數(shù)值積分方法，求解(17)可得到Φ(1)的數(shù)值解。

4 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)及應(yīng)力強(qiáng)度因子

對(duì)(16)式進(jìn)行分部積分，得到式(18):

(18)

τxz=

[(c+αy)S/α]}cos(sx)ds=

(19)

考慮到s→∞處上述應(yīng)力積分表達(dá)式，將積分核較大的s值展開(kāi)，并考慮x→∞時(shí)，Kβ(x)和Kβ′(x)的漸進(jìn)性：

(20)

定義復(fù)變量z1=x+iry，則有：

(21)

這里的r1和θ1在圖1中有定義。第一類一階Bessel函數(shù)需滿足：

(22)

由式(19)-(22)得(23.1)-(23.2)：

(23.1)

(23.2)

令x=r1cosθ1，y=r1sinθ1

(23.1)、(23.2)在r1→0處的變化情況，局部應(yīng)力場(chǎng)如下：

τyz(r1,θ1)=

(24)

τxz(r1,θ1)=

(25)

5 數(shù)值模擬

符號(hào)說(shuō)明：裂紋長(zhǎng)度：2a；梯度參數(shù)：c,α,k；不均勻系數(shù)：r取2a=14 mm,c=1,α=3,在k=1,3,5時(shí)，討論了標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力強(qiáng)度因子與不均勻系數(shù)r之間的的變化關(guān)系,如圖2.由圖知，當(dāng)給定a、α、c一定時(shí)，k,r與應(yīng)力強(qiáng)度因子處于正相關(guān)。

圖2 不均勻系數(shù)r和梯度參數(shù)k對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.2 The effect of inhomogenous coefficient r and gradient parameter k on the stress intensity

取k=3,r=1,α=1,在2a=0.4,1,2.4 mm時(shí)，探究應(yīng)力強(qiáng)度因子與梯度參數(shù)c的關(guān)系,如圖3.由圖知，當(dāng)r、α、k一定時(shí)，a與應(yīng)力強(qiáng)度因子處于正相關(guān)，c與應(yīng)力強(qiáng)度因子處于負(fù)相關(guān)。

圖3 梯度參數(shù)c和裂紋長(zhǎng)度a對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.3 The effect ofgradient parameter c and crack length a on the stress intensity

取k=3,r=1,c=2,在α=0.5,1.5,3時(shí)，研究了a對(duì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響,如圖4.由圖知，在r、c、k一定時(shí)，a,α與應(yīng)力強(qiáng)度因子處于正相關(guān)，這一點(diǎn)與胡志新文章中的結(jié)論相同[12]。

圖4 裂紋長(zhǎng)度a和梯度參數(shù)α對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.4 The effect ofcrack length a and gradient parameter α on the stress intensity factor

6 總結(jié)

探究無(wú)限大板功能梯度材料的反平面靜態(tài)裂紋問(wèn)題。通過(guò)解析法將問(wèn)題化為第二類Fredholm積分方程，分析了相關(guān)參數(shù)與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的變化關(guān)系。結(jié)果說(shuō)明：控制梯度參數(shù)與正交于裂紋面的切變模量可以控制裂紋擴(kuò)展。