幾何的顏色
——記漫畫家克羅克特·約翰遜的數(shù)學(xué)繪畫*

蔣 迅 王淑紅

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 050024)

1 約翰遜的漫畫和兒童畫

克羅克特·約翰遜 (Crockett Johnson，1906-1975) 是美國漫畫家和兒童讀物插圖畫家大衛(wèi)·約翰遜·雷斯克 (David Johnson Leisk) 的筆名.他覺得Leisk這個(gè)姓太難發(fā)音了，自作主張將其改為約翰遜，而且索性連名也改了.但他最要好的朋友一直稱其為大衛(wèi).

圖1 約翰遜在他的一幅作品前

約翰遜的父親是一位蘇格蘭移民，母親是德國移民.1925年他剛上大學(xué)，他的父親就去世了.他不得不輟學(xué)以幫助母親維持生計(jì).他換過幾次工作，其中一次是被梅西百貨開除，因?yàn)樗麤]有按要求穿賽璐珞衣領(lǐng).他最后在一家航空雜志的美編職位上表現(xiàn)出色而得到了賞識(shí).于是他開始在夜校學(xué)習(xí)排版和設(shè)計(jì).在學(xué)校里他有幸遇到了一位有名的老師弗雷德里克·古迪 (Frederic Goudy，1865—1947).有一個(gè)英語字體就是以他命名的.古迪的信條就是簡(jiǎn)單明了，決不保留不必要的線條和筆觸.這似乎對(duì)約翰遜有重要影響，因?yàn)樗枋鲎约旱娘L(fēng)格時(shí)說的就是“簡(jiǎn)單地、幾乎是圖解地講清故事，避免所有的任意裝飾”.1928年，麥格勞 - 希爾教育兼并了他所在的航空雜志社.他被分派到六個(gè)不同的雜志社里作藝術(shù)編輯.但這段美好的時(shí)光只持續(xù)了幾個(gè)月.隨著1929年的經(jīng)濟(jì)大蕭條，他的工資也大大縮水.

圖2 約翰遜發(fā)表在《新群眾》上的一幅漫畫作品

約翰遜具有左翼傾向，平時(shí)會(huì)跟一些激進(jìn)的人在一起.他的第一幅漫畫在1934年發(fā)表于宣傳馬克思主義的《新群眾》(The New Masses) 雜志上.很快，漫畫創(chuàng)作就成了他唯一的工作.

圖3 “哈羅德和紫色臘筆”

他最著名的創(chuàng)作是從1942年到1952年的漫畫專欄“巴納比” (Barnaby) .這時(shí)候他的作品里就有了一點(diǎn)數(shù)學(xué)的元素.他會(huì)在漫畫里添上一個(gè)公式，盡管可能沒有任何實(shí)際意義.偶有讀者提出批評(píng)后，他開始注意漫畫中的數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性.他后來開始厭煩這種每周五次的固定任務(wù).在1952年初終于下決心停止了這個(gè)系列.同時(shí)他開始了他的第二個(gè)創(chuàng)作方向——兒童圖書插圖.這要?dú)w功于他的妻子，兒童圖書作家露絲·克勞斯 (Ruth Krauss，1901—1993).事實(shí)上，他在1945年就為克勞斯的書作插圖了.約翰遜也為自己的書作插圖.1955年，他創(chuàng)作出版了兒童圖書《哈羅德和紫色臘筆》(Harold and the Purple Crayon)并取得巨大成功.

2 約翰遜的幾何畫

我們下面要介紹的是他的另一部分不太著名的數(shù)學(xué)漫畫.

1940年代，美國數(shù)學(xué)得到了迅速發(fā)展.哈代(Godfrey Harold Hardy，1877—1947)、庫朗(Richard Courant，1888—1972)和考克斯特(Harold Scott MacDonald Coxeter，1907—2003)等人的著作得到了較為廣泛的傳播.這個(gè)現(xiàn)象對(duì)他產(chǎn)生了影響.他從1961年開始關(guān)注數(shù)學(xué).用他自己的話說是在“姍姍來遲地發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯直角三角形和歐幾里得幾何中的審美價(jià)值”之后.對(duì)他影響最大的是美國數(shù)學(xué)史學(xué)家詹姆斯·紐曼(James Roy Newman，1907—1966).紐曼與哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)家愛德華·卡斯納(Edward Kasner，1878—1955)合作出版了一本《數(shù)學(xué)與想象》(Mathematics and the Imagination).他后來花了15年時(shí)間編寫了四卷的《數(shù)學(xué)的世界》(The World of Mathematics).約翰遜擁有這套書，并認(rèn)真閱讀了其中的部分章節(jié)，特別是《偉大的數(shù)學(xué)家們》(The Great Mathematicians).現(xiàn)在這部有約翰遜筆跡的書保存在美國國家歷史博物館(National Museum of American History)里.

他從虛擬夸張的漫畫轉(zhuǎn)到表現(xiàn)數(shù)學(xué)原理的作品是有難度的.約翰遜對(duì)數(shù)學(xué)的興趣純粹是一個(gè)業(yè)余愛好者的放膽涉獵.他沒有任何數(shù)學(xué)和科學(xué)方面的訓(xùn)練.他的最高學(xué)歷是大一輟學(xué).經(jīng)歷了幾年的潛心學(xué)習(xí)之后，他不但畫出了平面幾何的神韻，而且還在數(shù)學(xué)教育雜志《數(shù)學(xué)公報(bào)》 (The Mathematical Gazette) 上發(fā)表了文章.他是用畫筆來描述他心中的數(shù)學(xué)概念.從1965年到他去世，他創(chuàng)作了一百多幅有關(guān)數(shù)學(xué)和物理的油畫，其中相當(dāng)一部分 (80幅) 保存在美國國家歷史博物館中.

約翰遜借助于幾何來刻意將自己的抽象畫與現(xiàn)代藝術(shù)區(qū)分開來.他在畫布(實(shí)際上是灰泥板)上測(cè)試不同的理論.他用這種使用形狀的幾何繪畫來試驗(yàn)裝飾的顏色和視覺錯(cuò)覺、情感的呼喚，還有古代符號(hào)的表示或其他與幾何無關(guān)的目的.下面我們用一些具體的例子來展現(xiàn)他的數(shù)學(xué)繪畫的風(fēng)格.

一開始，約翰遜以紐曼的《數(shù)學(xué)的世界》及其他數(shù)學(xué)書籍為依據(jù)，開始了數(shù)學(xué)創(chuàng)作.幾年后，他開始以自己的幾何作圖作為創(chuàng)作的素材.他一共創(chuàng)作出了一百多幅反映幾何原理的作品.大多數(shù)抽象作品都是用油漆畫在2×3英尺的纖維板上，然后選一些放大到4×4英尺的畫板上.

2.1 西奧多羅斯螺旋和勾股定理

大多數(shù)1965年的作品都是平面幾何和射影幾何方面的，素材均取自紐曼的書，很多與勾股定理有關(guān)，但是其主題也涉及微積分、數(shù)論、物理和天文.這一節(jié)里，我們介紹他前期的工作.在后兩節(jié)里，我們介紹他在數(shù)學(xué)上有更多自己創(chuàng)新的作品.

圖4 約翰遜的“16的平方根(古羅馬的西奧多羅斯)”(“Square Roots to Sixteen (Theodorus of Cyrene) )

圖5 西奧多羅斯螺旋示意圖

西奧多羅斯只進(jìn)行到第16個(gè)三角形是因?yàn)楫嫵龅倪@16個(gè)三角形互不影響，但是從第17個(gè)三角形開始就會(huì)有重復(fù)的部分.傳說古代的幾何學(xué)家是在沙子上畫出它們的線條.如果一定要畫出第17個(gè)三角形的話，圖像就會(huì)過于凌亂.

圖6 約翰遜的勾股定理的證明

在約翰遜的幾何繪畫中，勾股定理是一個(gè)他始終圍繞的中心.當(dāng)然他不會(huì)錯(cuò)過這個(gè)定理的證明.這個(gè)定理可以用很多很多方法來證明.在上面的“勾股定理的證明”(Proof of the Pythagorean Theorem (Euclid))那幅畫中，他選擇的是歐幾里得的原始方法.

2.2 “化圓為方”和古希臘三大幾何問題

到1968年后，約翰遜開始了有自己在數(shù)學(xué)上獨(dú)立見解的藝術(shù)創(chuàng)作.“化圓為方”(squaring the circle，不是指圓的平方)就是一個(gè)很好的例子.化圓為方是古希臘數(shù)學(xué)里尺規(guī)作圖中的命題，它與三等分角、倍立方體問題并列為尺規(guī)作圖三大難題.其問題為：作一個(gè)與給定的圓面積相等的正方形.如果尺規(guī)能夠化圓為方，那么必然能夠從單位長(zhǎng)度出發(fā)，用尺規(guī)作出長(zhǎng)度為π的線段.

這個(gè)問題直到1882年才被德國數(shù)學(xué)家林德曼(Carl von Lindemann，1852-1939)證明是不可能的.在認(rèn)識(shí)到不可能化圓為方之后，人們就開始嘗試用方形來近似圓形，也就是說用直尺和圓規(guī)來構(gòu)造出近似等于π的線段來.

約翰遜最終也知道了在數(shù)學(xué)上化圓為方是不可能的.于是他也選擇了近似π的道路.終于，他有了自己的解：

圖7 約翰遜的“化圓為方”( “Squared Circle”)

約翰遜完成了他的作品之后，寫出了自己的代數(shù)式去向數(shù)學(xué)家們請(qǐng)教.他首先把他的結(jié)果投給了《美國數(shù)學(xué)月刊》.主編哈利·弗蘭德斯(Harley Flanders，1925—2013)拒絕了他.弗蘭德斯在通知信上寫到：

“我希望你能理解，我絕對(duì)不可能在本月刊中發(fā)表任何有關(guān)化圓為方方面的文章，除非可能是一個(gè)新的不可能性的簡(jiǎn)短證明.你無法想象我收到了多少化圓為方、三等分角等方面的文章.在這方面發(fā)表的一篇文章總是導(dǎo)致洪水般的新的投稿.而且，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)對(duì)這類問題不再感興趣了.”

圖8 約翰遜近似化圓為方構(gòu)造法示意圖

≈1.847759.

令N是線段OT的中點(diǎn).過點(diǎn)N作線段AC的平行線，交AB于點(diǎn)K.易證點(diǎn)K是AB的中點(diǎn).所以

另一方面，我們有

過點(diǎn)X作AB的平行線，交BC于點(diǎn)Y，則△XYC∽△ABC.由相似性，我們有

最后，過點(diǎn)X以|XY|為半徑作圓，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Z.計(jì)算AZ的長(zhǎng)度如下：

|AZ|=|AX|+|XZ|=|AX|+|XY|

≈1.772435.

約翰遜對(duì)三大幾何問題中的另外兩個(gè)也有創(chuàng)作.

對(duì)于三等分角，他選擇了“莫雷角三分線定理”(Morley’s trisector theorem).這個(gè)定理是說，對(duì)所有的三角形，其三個(gè)內(nèi)角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個(gè)交點(diǎn)，是一個(gè)等邊三角形.這個(gè)定理是由英國幾何學(xué)家法蘭克·莫雷(Frank Morley，1860—1937)在1899年發(fā)現(xiàn)的.對(duì)外角作外角三分線，也會(huì)有類似的性質(zhì)，可以再作出4個(gè)等邊三角形.其神奇之處就在于，盡管我們無法用尺規(guī)作出三等分角來，但三等分角可以為我們帶來一個(gè)等邊三角形.約翰遜用繪畫表達(dá)了這個(gè)含義.

圖9 約翰遜的莫雷三角形

他的倍立方體作品叫作“提洛問題”(Problem of Delos (Menaechmus)).這個(gè)名字源于與倍立方體問題相關(guān)的神話故事.它發(fā)生在希臘的提洛.而古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)赫莫斯(Menaech-mus， 前380—前320)是發(fā)現(xiàn)了利用拋物線和雙曲線解決倍立方的第一人.約翰遜的作品表達(dá)的就是這個(gè)思想.

圖10 約翰遜的提洛問題

2.3 正七邊形

約翰遜后來的一些作品在數(shù)學(xué)上更加深刻，其中最有代表性的就是他在正七邊形問題上的研究.我們知道，正七邊形是第一個(gè)不能用尺規(guī)完成的作圖問題.他恰到好處地使用了二刻尺.關(guān)于二刻尺，我們?cè)凇岸坛咦鲌D的古往今來”[15]一文中作過詳細(xì)介紹.他挑戰(zhàn)的是正七邊形的作圖(A Construction for a Regular Heptagon).1593年，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Francois Viete，1540—1603)給出了第一個(gè)借助二刻尺畫出的正七邊形的方法.據(jù)說阿基米德(Archimedes，前287—前212)也給了一個(gè)非正統(tǒng)的類似二刻尺的方法.(但有人懷疑那個(gè)證明不是阿基米德給出來的.)

圖11 七邊形的二刻尺作圖(幾何版)

約翰遜并不想把古人的作法搬來用.他要自己設(shè)計(jì)出一個(gè)新的方法.有意思的是，他竟然是在阿基米德的出生地西西里島的錫拉庫扎(Syracuse, Sicily)旅游時(shí)想出來的.這真可算是借助了神力.他的思想是構(gòu)造出一個(gè)三個(gè)內(nèi)角比為3∶3∶1的等腰三角形.那么這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就是正七邊形的三個(gè)頂點(diǎn).所以下面作這個(gè)三角形的外接圓，然后就容易用尺規(guī)找到其余的四個(gè)頂點(diǎn).下面我們來描述約翰遜的作法.

圖12 幾何證明的輔助正七邊形之一

顯然，如果能證明這個(gè)結(jié)論，那么就完成了約翰遜的證明，因?yàn)檫@里的BQ就是前面圖中的BJ.我們先需要一個(gè)

引理在一個(gè)正七邊形中，其對(duì)角線滿足下面的關(guān)系：

d1+d2=d1d2.

這里，d1≠d2，d1和d2分別是正七邊形的長(zhǎng)對(duì)角線和短對(duì)角線的長(zhǎng)度.

證明上面的正七邊形中有太多的三角形.為了證明的需要，我們提取出下面要用到的四個(gè)三角形.因?yàn)檎哌呅吻度胍粋€(gè)外接圓內(nèi)，我們?nèi)菀讟?biāo)出下面三角形中的所有的內(nèi)角.

圖13 引理證明的輔助三角形

圖14 幾何證明的輔助正七邊形之二

過點(diǎn)Q作ED的平行線，交DB于點(diǎn)R.因?yàn)閨EQ|=1，所以|DR|=1.由此得到，|AQ|=d1-1,|BR|=d2-1.

四邊形BRQA是一個(gè)以AB和RQ為腰的等腰梯形，而且兩腰滿足|AB|=|RQ|=1.

證畢.

注意在上面的圖中，我們看到Q是AE和GD的交點(diǎn)，R是BD和GC的交點(diǎn).不過，我們沒有用到這個(gè)事實(shí).

約翰遜不是這樣證明的.他的辦法是借用三角函數(shù)來證明.在這里，我們也簡(jiǎn)單地把他的證明介紹一下.如下圖，我們有2xsinθ=1.又根據(jù)余弦定理，2=1+x2-2xcos 2θ.利用上兩個(gè)等式去掉x得到三角方程

8sinθ3-4sinθ2-4sinθ+1=0.

圖15 約翰遜的二刻尺作圖示意圖

約翰遜在錫拉庫扎還想出了另一個(gè)作圖方法，也挺有意思.他那天在餐館里等上菜時(shí)，用桌面上的菜單、酒瓶和火柴拼湊著他苦思冥想的3∶3∶1三角形，他居然想出一個(gè)七根火柴的證明方法.

在心滿意足于他自己的杰作后，他創(chuàng)作了下面的兩幅作品.左邊一幅反映的是他的三角函數(shù)思路，右邊一幅則是他的火柴思路.

圖16 約翰遜的的正七邊形的二刻尺作圖

2.4 兩個(gè)與力學(xué)有關(guān)的作品

約翰遜也有一些與物理有關(guān)的作品.這里我們只給出其中的兩個(gè).一個(gè)是“擺的運(yùn)動(dòng)”(Pendulum Motion)，另一個(gè)是“軌道速度定律”(Laws of Orbiting Velocities).顯然他對(duì)伽利略很敬仰.這兩個(gè)作品都表達(dá)的是伽利略的結(jié)果.

圖17 約翰遜的“擺的運(yùn)動(dòng)”和“軌道速度定律”

他還把埃拉托塞尼 (Eratosthenes of Cyrene)測(cè)量地球周長(zhǎng)(Measurement of the Earth)的方法用藝術(shù)的形式再現(xiàn).我們?cè)凇稊?shù)學(xué)都知道1》[14]中介紹過這個(gè)方法.

3 結(jié)束語

在約翰遜開始一個(gè)新的創(chuàng)作計(jì)劃前，他突然因肺癌去世，終年68歲.作為一名畫家，他給我們留下了可愛的“巴納比”和“哈羅德”，以及我們今天特別介紹的抽象幾何形象.作為一名左翼文人，他義不容辭地為中國左翼出版物《新群眾》創(chuàng)作了許多反映底層人士生活、反戰(zhàn)和反希特勒的作品.為了愛情，他留下了不少兒童喜愛的兒童書的插畫.他還是一名作家和一名發(fā)明家.他的一生精彩紛呈，但最讓我們震撼的是他最后階段對(duì)數(shù)學(xué)藝術(shù)的追求.作為一名大一肄業(yè)生，我們可以想象他所經(jīng)歷過的困難.他為我們留下的作品不但表現(xiàn)了幾何性質(zhì)，而且包含了他自己的創(chuàng)新.他以一位藝術(shù)家的身份教給我們數(shù)學(xué)愛好者們作數(shù)學(xué)的一個(gè)新視野.他的探索精神值得我們每一個(gè)人學(xué)習(xí).