經(jīng)歷系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理過程在解決實(shí)際問題中發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

程?？?章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院050024；2.人民教育出版社 課程教材研究所100081)

統(tǒng)計(jì)以數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，利用概率論進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過收集整理所觀察對(duì)象的數(shù)據(jù)進(jìn)行量化分析，進(jìn)而作出推斷和預(yù)測(cè)，為決策提供依據(jù)和參考.統(tǒng)計(jì)中提供的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思想方法已成為現(xiàn)代社會(huì)的一種普遍使用且強(qiáng)有力的思維方式，統(tǒng)計(jì)無處不在、無所不用.高中必修課程中的統(tǒng)計(jì)主要學(xué)習(xí)收集數(shù)據(jù)的方法，解決單變量的統(tǒng)計(jì)問題(樣本估計(jì)總體).本單元要通過一些典型案例，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過程，熟悉統(tǒng)計(jì)的基本思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，養(yǎng)成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度，在解決實(shí)際問題中發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的定位為：概率研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法.統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析.概率為統(tǒng)計(jì)的發(fā)展提供理論依據(jù).

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法、數(shù)據(jù)直觀圖表的表示方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征的刻畫方法；通過具體實(shí)例，感悟在實(shí)際生活中進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性；體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異；通過實(shí)際操作、計(jì)算機(jī)模擬等活動(dòng)，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn).課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)應(yīng)通過典型案例進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析方法，理解數(shù)據(jù)分析的思想，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題；要注重利用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬活動(dòng)、處理數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生更好地體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想.

2 內(nèi)容與要求

1．獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念

(1)知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒，社會(huì)調(diào)查，試驗(yàn)設(shè)計(jì)，普查和抽樣，互聯(lián)網(wǎng)等.

(2)了解總體、樣本、樣本量的概念，了解樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.

2．抽樣

(1)通過實(shí)例，了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會(huì)計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系.

(2)通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差.

(3)在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能夠根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

3．統(tǒng)計(jì)圖表

能夠根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.

4．用樣本估計(jì)總體

(1)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

(2)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

(3)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.

(4)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

與初中的統(tǒng)計(jì)課程相比較，本單元的內(nèi)容有些是初中沒有的，例如分層抽樣、分層抽樣樣本均值和樣本方差、百分位數(shù)等，有些是初中就有的，但有不同的要求.例如，對(duì)總體、樣本等概念，要求在結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明的基礎(chǔ)上，適當(dāng)引入嚴(yán)格定義；了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，了解樣本和總體的關(guān)系等.這樣的課程設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)這個(gè)內(nèi)容獨(dú)特性.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了隨機(jī)抽樣的必要性、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法、用統(tǒng)計(jì)圖表整理和表示數(shù)據(jù)，了解了平均數(shù)、方差等數(shù)字特征的意義及計(jì)算，學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)推斷以及用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題等，這些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為學(xué)習(xí)本單元知識(shí)打下了一定的認(rèn)知基礎(chǔ).不過，初中數(shù)學(xué)課程對(duì)統(tǒng)計(jì)的要求不高，總體、樣本等概念僅僅是描述性，學(xué)生對(duì)樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本均值、樣本方差等數(shù)字特征的隨機(jī)性還缺乏認(rèn)識(shí).在高中階段的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中，要結(jié)合實(shí)際問題，利用信息技術(shù)，使學(xué)生能夠?qū)颖竟烙?jì)總體效果的評(píng)價(jià)、樣本容量對(duì)估計(jì)精度的影響、以及估計(jì)結(jié)果的解釋等有新的認(rèn)識(shí)，對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征，也要借助更加豐富的實(shí)際背景進(jìn)行更深入的理解，在提高認(rèn)識(shí)水平的基礎(chǔ)上，能夠用于解決實(shí)際問題.

4 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

下面重點(diǎn)就隨機(jī)抽樣、總體、樣本的概念，數(shù)字特征的刻畫方法，百分位數(shù)的概念及應(yīng)用，分析內(nèi)容的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想，討論教學(xué)中需要注意的問題.

4.1 隨機(jī)抽樣、總體、樣本的概念

用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題，要明確研究對(duì)象的范圍是什么？關(guān)心的指標(biāo)是什么？這些指標(biāo)是數(shù)值指標(biāo)還是屬性指標(biāo)？將這些指標(biāo)統(tǒng)稱為變量，通過隨機(jī)抽樣得到變量的一些具體值(樣本觀測(cè)數(shù)據(jù))，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的特征值，由此估計(jì)總體的特征，最后提出決策與建議.因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)首先要抽象總體和樣本的概念.課程標(biāo)準(zhǔn)指出：對(duì)統(tǒng)計(jì)中的基本概念(如總體、樣本、樣本量等)，要結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)引入嚴(yán)格定義.

4.1.1 總體和樣本的概念

我們將總體直觀描述為研究對(duì)象的全體, 組成總體的每個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體.在實(shí)際問題中，我們往往關(guān)心調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)，這些指標(biāo)大致可分為數(shù)量指標(biāo)和屬性指標(biāo).例如，學(xué)生的身高、居民家庭月用電量、空氣污染指數(shù)等都是數(shù)量指標(biāo)；性別、近視或不近視、等級(jí)成績(jī)等都是屬性指標(biāo).進(jìn)一步地，還可以把總體描述為全體個(gè)體的指標(biāo)值，更一般地，將總體抽象為一個(gè)變量X(隨機(jī)變量)，稱其為總體變量.

從總體中按照等概率原則抽取的部分個(gè)體稱為樣本.一次抽樣實(shí)際上得到的是一組個(gè)體指標(biāo)值x1，x2，…，xn，稱為樣本觀測(cè)值.由于隨機(jī)抽樣要滿足抽到每個(gè)個(gè)體概率相等，在相同的樣本量下，重復(fù)抽樣得到的樣本觀測(cè)值不會(huì)完全相同，因此樣本具有隨機(jī)性.樣本的嚴(yán)格定義是：

對(duì)總體變量X的n次觀測(cè)X1，X2，…，Xn，滿足獨(dú)立同分布(與X具有相同的分布).

在教學(xué)中，不必追求概念的嚴(yán)格性，只要對(duì)研究的實(shí)際問題，能明確研究對(duì)象的范圍以及考察的指標(biāo)變量即可.例如，研究某中學(xué)全體學(xué)生的身高分布情況，范圍是該中學(xué)全體學(xué)生，指標(biāo)變量為身高.如果研究全體學(xué)生的近視情況，指標(biāo)就是取值為近視和不近視兩個(gè)值的屬性變量.

4.1.2 隨機(jī)抽樣

根據(jù)總體的規(guī)模和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有很多種抽樣方法.課程標(biāo)準(zhǔn)要求了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和比例分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣又分為有放回隨機(jī)抽樣和不放回隨機(jī)抽樣.不論哪種抽樣方法都要滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，這是為了保證統(tǒng)計(jì)推斷不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)性誤差.

關(guān)于隨機(jī)抽樣的必要性，初中已有了解，具體的抽樣方法屬于操作性知識(shí)，不難理解.為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生思考下面的問題.

(1)不同的抽樣方法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

有放回和不放回隨機(jī)抽樣，適用于總體規(guī)模和樣本量都較小的情形.有放回隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)是：各次抽樣的結(jié)果互相不受影響，便于進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，也便于計(jì)算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)；缺點(diǎn)是產(chǎn)生極端樣本的可能性較大.比較而言，不放回隨機(jī)抽樣同一個(gè)體不會(huì)被重復(fù)抽到，產(chǎn)生極端樣本的可能性要小，但各次抽樣結(jié)果之間不獨(dú)立，統(tǒng)計(jì)分析要困難一些.

比例分層抽樣適合于總體包含多個(gè)子類，同一類中個(gè)體的變量值差異較小，但不同類之間個(gè)體的變量值差異較大.分層抽樣可以避免極端樣本的產(chǎn)生，在實(shí)際中也便于實(shí)施，是最常用的抽樣方法.

(2)如何認(rèn)識(shí)和理解估計(jì)結(jié)果的不確定性？如何評(píng)價(jià)估計(jì)的效果？

以樣本均值估計(jì)總體均值為例，為了理解樣本均值的隨機(jī)性(不確定)，可以就相同的樣本量，進(jìn)行重復(fù)多次抽樣，觀察這些樣本均值是否相同，樣本均值波動(dòng)幅度的大小，以及和總體均值的關(guān)系.

首先看一個(gè)極端例子：

四名學(xué)生A,B,C,D的身高構(gòu)成總體， 其中A,B為女生，C,D為男生.h(A)=156cm,h(B)=160cm,h(C)=170 cm,h(D)=174cm，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用樣本平均值估計(jì)總體的身高的平均值.總體4個(gè)身高的平均數(shù)為165cm.

采用有放回抽樣，共有16種等可能的樣本.如表1所示，有八分之一的可能出現(xiàn)極端樣本(156, 156)，(174,174)，由極端樣本計(jì)算的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)偏差很大.

表1 有放回抽樣的16種等可能樣本

采用不放回抽樣，有12種等可能的樣本，如果不考慮順序，可合并為6種等可能的樣本，不會(huì)出現(xiàn)上述極端樣本.

比例分層抽樣，只有4種等可能的樣本(156, 170)，(156, 174)，(160, 170)，(160,174). 樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)都比較接近.

樣本均值的波動(dòng)情況如圖1所示：

圖1

三種抽樣方法的樣本均值都圍繞總體均值波動(dòng)，直觀看, 波動(dòng)幅度越大，表示估計(jì)的誤差較大的可能性也較大.定量評(píng)價(jià)估計(jì)的效果，是比較在相同限定誤差下的概率大小.例如，限定誤差為2，比較樣本均值落在區(qū)間[163, 167]的概率p，如表2所示.

表2

可以看到，用樣本估計(jì)總體，不放回抽樣效果好，但放回抽樣方便統(tǒng)計(jì)分析，如何解決這個(gè)矛盾？實(shí)際上，當(dāng)樣本容量遠(yuǎn)小于總體容量時(shí)，兩種抽樣方法差別很小.

(3)樣本容量的大小對(duì)估計(jì)結(jié)果的精確性有什么影響？

用樣本估計(jì)總體，由于樣本的隨機(jī)性，估計(jì)的結(jié)果也具有隨機(jī)性，誤差是不可避免的.一般地，樣本量越大，估計(jì)的效果也越好.如何描述樣本容量對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響呢？在高中階段，概率知識(shí)還不足以支持進(jìn)行嚴(yán)格的描述，可以結(jié)合具體問題，采用計(jì)算機(jī)模擬重復(fù)抽樣，借助于統(tǒng)計(jì)圖的直觀來認(rèn)識(shí).

問題某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)共有700名學(xué)生，其中男生360人，女生340人.全年級(jí)學(xué)生的平均身高為165.0 cm.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從這些數(shù)據(jù)中分別抽取容量為25和100的樣本各10組，分別計(jì)算出樣本平均數(shù)，繪制統(tǒng)計(jì)圖如下(圖2)：

圖2

定性分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)樣本均值圍繞著總體均值波動(dòng)，且具有隨機(jī)性，但沒有系統(tǒng)性偏差；樣本量為100的樣本均值的波動(dòng)幅度明顯小于樣本量為25的.結(jié)論是：增加樣本量使誤差較小的可能性增大.但就一次抽樣而言，樣本量大的平均值未必一定比樣本量小的平均值誤差小.

定量分析：我們知道方差可以描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，分別計(jì)算10個(gè)樣本均值的方差.通過方差的大小，比較兩組樣本均值的波動(dòng)大小.

容量為100的10個(gè)樣本平均數(shù)方差明顯要小，所以波動(dòng)也小.

4.2 數(shù)據(jù)集中程度、離散程度的刻畫

1.對(duì)數(shù)字特征的理解

用樣本推斷總體是最重要的統(tǒng)計(jì)思想.統(tǒng)計(jì)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是兩種基本的推斷方法， 估計(jì)內(nèi)容包括用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體特征.

描述數(shù)據(jù)特征的量稱為統(tǒng)計(jì)量，按其作用可分為以下幾類：

(1)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù).

(2)描述數(shù)據(jù)離散程度的量：方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等.

(3)描述兩組數(shù)據(jù)關(guān)系密切程度的量：相關(guān)系數(shù).

其中，平均數(shù)、百分位數(shù)和方差是最重要的統(tǒng)計(jì)量.表3給出了這些統(tǒng)計(jì)量的意義、各自的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍.

表3 各種統(tǒng)計(jì)量的意義、優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍

2.對(duì)數(shù)字特征認(rèn)識(shí)的層次性

對(duì)于平均數(shù)和方差，學(xué)生在初中已有初步認(rèn)識(shí).如何在初中的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解它們的意義和優(yōu)缺點(diǎn)，掌握它們的適用范圍，這是教學(xué)中需要認(rèn)真思考的問題.下面通過具體案例進(jìn)行說明.

案例1對(duì)平均數(shù)認(rèn)識(shí)的幾個(gè)層次.

隨著學(xué)生年齡增長(zhǎng)、學(xué)習(xí)的深入，他們對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)層次也在不斷提升.

(1)初中階段：平均數(shù)是將數(shù)據(jù)之間的差異抹平后得到的一組數(shù)據(jù)的代表值，反映這組數(shù)據(jù)的整體水平.平均數(shù)作為一個(gè)度量性概念，主要用于不同總體某個(gè)指標(biāo)的比較.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)定義為

(2)高中階段：要求理解樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的關(guān)系，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，理解樣本平均數(shù)的隨機(jī)性.根據(jù)頻率分布表或直方圖近似計(jì)算平均數(shù)，由多個(gè)樣本平均數(shù)計(jì)算總平均數(shù).

作為拓展，在教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生討論如下性質(zhì)：

這一性質(zhì)揭示了平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)與其偏差平方和最小的代表值，同時(shí)也說明方差的特殊性.證明中用到的平方和分解的方法，在統(tǒng)計(jì)分析中具有廣泛應(yīng)用.

換一個(gè)角度看，就是用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的思想.

例如，假設(shè)某段公路的長(zhǎng)為a(未知參數(shù))，n次測(cè)量的數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，如何估計(jì)參數(shù)a？

(3)大學(xué)階段：大學(xué)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中，大數(shù)定律嚴(yán)格描述了樣本均值與總體均值(數(shù)學(xué)期望)的關(guān)系.

假設(shè)X是總體隨機(jī)變量，X1，X2，…，Xn是取自總體的一組樣本(看成獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量)，且E(X)=μ，D(X)=σ2，則

樣本均值的期望等于總體隨機(jī)變量的期望，說明樣本均值估計(jì)總體均值無系統(tǒng)誤差，而樣本均值的方差隨著樣本容量的增大而減小，即波動(dòng)幅度越來越小，逐漸穩(wěn)定到總體均值.頻率穩(wěn)定到概率是其特殊情形.

案例2構(gòu)建一組數(shù)據(jù)的方差的過程.

這里的目標(biāo)是構(gòu)建一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用于描述一組數(shù)據(jù)相對(duì)于其平均數(shù)的離散程度，其基本思路和調(diào)整過程大致可以概述如下：

另外，還有如下問題需要解決：

(6)如果要比較兩組均值不等數(shù)據(jù)的離散程度，或者要消除量綱的影響，該怎么做？

(7)為什么有時(shí)用方差

根據(jù)要刻畫的數(shù)字特征的意義，從直觀想法出發(fā)，逐步進(jìn)行修正，是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的常用的思想方法.構(gòu)造描述成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)、估計(jì)回歸系數(shù)時(shí)的偏差平方和、獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量都用到這種思想.

4.3 百分位數(shù)的概念及應(yīng)用

總體百分位數(shù)的估計(jì)是新增加的內(nèi)容.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這一內(nèi)容的教學(xué)也要結(jié)合一些典型的案例，使學(xué)生經(jīng)歷系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程.具體而言，就是要從實(shí)際問題出發(fā)，通過收集數(shù)據(jù)，構(gòu)建百分位數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并用樣本推斷總體，做出決策.

中位數(shù)是一個(gè)反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，也就是50百分位數(shù)，它是一個(gè)描述數(shù)據(jù)中間位置的量.在實(shí)際中，僅用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的特征信息量還不夠，需要將中位數(shù)推廣到任意的百分位數(shù).先看下面的實(shí)際問題.

問題某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，即確定一戶居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望80%的家庭能享受平價(jià)，如何確定a？

如果能獲得全體居民月用水量數(shù)據(jù)，然后確定一個(gè)數(shù)值a，使得不超過a的數(shù)據(jù)占80%，那么問題得到解決.但實(shí)際中很難獲得全部數(shù)據(jù)，可以通過隨機(jī)抽樣得到一組居民月用水量的樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，然后確定一個(gè)值，使得樣本中不超過的數(shù)據(jù)占80%，然后用估計(jì)a.

對(duì)于任意的n以及任意的百分?jǐn)?shù)p%, 如何給百分位數(shù)下個(gè)確切的定義呢？能否仿照中位數(shù)的定義進(jìn)行直接推廣呢？

由于中位數(shù)太特殊了，直接推廣有難度，先看下面的兩種特殊情形.

(1)有重復(fù)數(shù)據(jù)的情形：測(cè)量10名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：

165 168 170 172 172 175 176 176 176 180

10個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列的第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)都是176，如果把176作為80%分位數(shù)，這10個(gè)數(shù)據(jù)中小于或等于176的數(shù)至少占80%(90%)，而大于或等于176的數(shù)至少占20%(40%).

(2)n×p%不是整數(shù)的情形：測(cè)量8名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：

165 168 170 172 172 175 176 178

8×80%=6.4，取第7個(gè)數(shù)176作為80%分位數(shù)，這 8個(gè)數(shù)據(jù)中小于或等于176的數(shù)占87.5%，而大于或等于176的數(shù)占25%.

對(duì)上面問題進(jìn)行歸納，給出百分位數(shù)定義：百分位數(shù)是位于由小到大排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值，一般用Pp表示.它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.顯然50%分位數(shù)P50也就是中位數(shù).

根據(jù)定義，可得計(jì)算一組數(shù)據(jù)百分位數(shù)的方法.

(1)由原始數(shù)據(jù)確定百分位數(shù).

第1步 按從小到大順序排列原始數(shù)據(jù)；

第2步 計(jì)算i=n×p%；

第3步 若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則Pp為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則Pp為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

(2)由頻率分布表估算百分位數(shù).

表4是根據(jù)100戶居民月用水量整理的頻率分布表，試估計(jì)月用水量樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)P80.

表4

由累計(jì)頻率列看到，月用水量在13.2 t以下的居民用戶所占比例為77%，而月用水量在16.2 t以下的居民用戶所占比例為86%.因此，第80百分位數(shù)位于[13.2,16.2]內(nèi),這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為3，其中分布的數(shù)據(jù)占9%，假設(shè)數(shù)據(jù)在區(qū)間內(nèi)均勻分布，可得

由特殊到一般，可以得到估算百分位數(shù)的一般公式.

其中，Lmin為百分位數(shù)所在組的下限，s為組距，m%為小于Lmin的頻率.

注意：對(duì)總體的百分位數(shù)的概念在高中不做要求，對(duì)有限總體，可以理解為全體個(gè)體對(duì)應(yīng)指標(biāo)值的百分位數(shù).可使用Excel中的函數(shù)PERENTILE.EXC計(jì)算百分位數(shù).

5 教學(xué)建議

(1)注意初、高中內(nèi)容的銜接

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)，本單元是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步學(xué)習(xí)．與初中的統(tǒng)計(jì)比較，本單元有些內(nèi)容是新增的，有些內(nèi)容則是內(nèi)容相同但要求不同．例如，對(duì)于抽樣方法，初中只要求了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法；高中除了要求了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，還要求了解分層隨機(jī)抽樣，并要求會(huì)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，高中不但要求了解它的含義及其解決問題的過程，還要掌握兩種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法．又如，在初中只要知道方差可以刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，并會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的方差；但高中需要理解方差的統(tǒng)計(jì)含義，對(duì)方差定義的合理性有所體會(huì)，會(huì)結(jié)合實(shí)例計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的樣本方差，以及會(huì)根據(jù)具體問題選擇恰當(dāng)?shù)奶卣鲾?shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)刻畫數(shù)據(jù)的離散程度．因此，準(zhǔn)確把握本單元的教學(xué)要求，除了要認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書，還需要了解初中的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容和要求．

(2)從統(tǒng)計(jì)的整體看局部的統(tǒng)計(jì)方法

一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題的完整解決包括從收集數(shù)據(jù)到獲得結(jié)論的一系列過程，而具體的統(tǒng)計(jì)方法往往是針對(duì)某個(gè)具體環(huán)節(jié)而言的．只有使學(xué)生在較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理過程中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法，才能理解其目的和本質(zhì)．例如，抽樣目的是為了估計(jì)總體，研究抽樣方法是為了有效地抽取樣本，從而更好地估計(jì)總體．只有在估計(jì)總體這個(gè)大目標(biāo)下，才能體現(xiàn)出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概率合理性，分層隨機(jī)抽樣的必要性．又如，畫頻率分布直方圖的目的是為了觀察樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，進(jìn)而估計(jì)總體的分布規(guī)律．因此組數(shù)多少應(yīng)以是否有利于觀察數(shù)據(jù)的分布規(guī)律以及估計(jì)總體的分布規(guī)律為標(biāo)準(zhǔn)．

(3)在問題解決過程中培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象的知識(shí)，這是高中統(tǒng)計(jì)需要重點(diǎn)培養(yǎng)的素養(yǎng)．?dāng)?shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)需要在具體問題的解決中逐漸形成．本單元的教學(xué)，應(yīng)結(jié)合典型案例，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題的需求，選擇不同的抽樣方法獲取數(shù)據(jù)，理解數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需求，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，解決相應(yīng)的實(shí)際問題．對(duì)統(tǒng)計(jì)中的基本概念(如總體、樣本、樣本量)，應(yīng)結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)引入嚴(yán)格的定義，并利用數(shù)字特征(平均數(shù)、方差等)和數(shù)據(jù)直觀圖表(直方圖、散點(diǎn)圖等)分析數(shù)據(jù)．

(4)合理使用信息技術(shù)

信息技術(shù)既是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)的組成部分，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的有效手段．因此，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，必須加強(qiáng)信息技術(shù)的使用，這不僅是為了提高教學(xué)的效率，同時(shí)也是為了更好地體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的學(xué)科特點(diǎn)．例如，繪制頻率分布直方圖涉及數(shù)據(jù)的分組、頻率的計(jì)算、圖形的繪制等大量工作，用統(tǒng)計(jì)軟件可以快速繪制出不同組距和組數(shù)的直方圖，節(jié)約重復(fù)計(jì)算、機(jī)械性操作的時(shí)間，從而把更多的精力花在直方圖信息的提取上；又如，平均數(shù)、方差等特征數(shù)的計(jì)算，在學(xué)生已經(jīng)知道如何計(jì)算的前提下，統(tǒng)計(jì)軟件的使用就可以大大節(jié)約時(shí)間，進(jìn)而把更多的精力花在理解特征數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義上．在中學(xué)階段，信息技術(shù)最大的優(yōu)勢(shì)在于可以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)模擬，它使大量重復(fù)試驗(yàn)成為可能，可以讓學(xué)生直觀觀察、體驗(yàn)樣本的隨機(jī)性和規(guī)律性，了解樣本和總體之間的關(guān)系，彌補(bǔ)沒有理論基礎(chǔ)的不足．教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法，更好地體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想．