基于數(shù)值計(jì)算的測斜儀監(jiān)測誤差分析

趙振宇

（貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，貴州 貴陽 550038）

邊坡位移監(jiān)測是判斷邊坡穩(wěn)定性的重要方法。近年來，測斜儀在邊坡深部位移監(jiān)測中得到廣泛應(yīng)用[1-5]。馬水山等[1]通過對(duì)國內(nèi)幾個(gè)典型滑坡體深部變形監(jiān)測實(shí)例的分析，認(rèn)為鉆孔測斜儀具有精度高、量程較大、性能可靠等特點(diǎn)；陳開圣等[3]將測斜儀應(yīng)用到滑坡變形監(jiān)測中，并與鉆探結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)滑動(dòng)面的分布情況、滑動(dòng)機(jī)制作出判斷，說明測斜儀在滑坡監(jiān)測中的應(yīng)用是可行的；彭紀(jì)超等[4]利用RQBF-698B型鉆孔測斜儀對(duì)貴州省化樂煤礦三井區(qū)的滑坡帶進(jìn)行監(jiān)測，總結(jié)出一種提高鉆孔測斜儀監(jiān)測效率的方法；黃飛瀾等[5]的研究表明測斜儀可檢測地基不同深度處的側(cè)向水平位移，較好地反映了地基土體內(nèi)可能存在的滑裂面的位置和滑動(dòng)方向。

測斜儀在邊坡變形監(jiān)測中會(huì)存在一定誤差，使得監(jiān)測結(jié)果偏離真實(shí)值，當(dāng)誤差過大則會(huì)使技術(shù)人員對(duì)邊坡的變形做出誤判。針對(duì)測斜儀誤差的研究已有很多[6-12]，如：方大勇[6]針對(duì)邊坡長期監(jiān)測中出現(xiàn)的部分測斜數(shù)據(jù)離散性較大、位移方向不合理的問題，提出探頭角度定位旋轉(zhuǎn)誤差是造成現(xiàn)場測量結(jié)果誤差的主要原因；李國維等[7]基于測斜儀工作原理，分析了滑動(dòng)式測斜儀在使用過程中的誤差成因，針對(duì)測斜儀零點(diǎn)數(shù)據(jù)漂移問題，分別從零點(diǎn)漂移量恒定和零點(diǎn)漂移量變化兩種情況導(dǎo)出了對(duì)應(yīng)的修正公式，基于統(tǒng)一基準(zhǔn)線修正法（UBM），專門針對(duì)深孔測斜情況，應(yīng)用標(biāo)量和代替矢量和（以曲代直）簡化思想解決了零點(diǎn)漂移問題；喬美英等[10]基于遞推最小二乘的誤差補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型，采用橢球擬合法、點(diǎn)積不變法和旋轉(zhuǎn)平面擬合法的聯(lián)合校正方法對(duì)隨鉆測斜儀進(jìn)行誤差補(bǔ)償校正，并對(duì)隨鉆測斜儀進(jìn)行數(shù)值仿真和雙軸轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，用聯(lián)合校正方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償校正，校正后測量精度滿足隨鉆測斜儀要求；徐想[11]在三維正交傳感器基礎(chǔ)上推導(dǎo)傾斜角及方位角數(shù)學(xué)模型和計(jì)算公式，然后從理論上構(gòu)建重力加速度計(jì)靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型以及加速度計(jì)存在安裝誤差時(shí)的數(shù)學(xué)模型，利用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件構(gòu)建了重力加速度傳感器精確安裝和存在安裝誤差時(shí)測量系統(tǒng)的物理模型。

以上針對(duì)測斜儀誤差所作的研究大多是針對(duì)監(jiān)測儀器本身的誤差、環(huán)境引起的誤差和人為誤差進(jìn)行的，也有學(xué)者研究了監(jiān)測曲線所產(chǎn)生的誤差問題。就測量原理來說，測斜儀對(duì)深部水平位移的測量是根據(jù)一些有限的監(jiān)測點(diǎn)的角度變化來計(jì)算變形曲線的水平位移值，這種以點(diǎn)代線的測量方法本身就存在誤差。因此本文嘗試從測斜儀測量原理和數(shù)值分析角度分析測斜儀測量誤差產(chǎn)生的原因。

1 深部測斜儀原理

深部位移測斜儀監(jiān)測原理為：根據(jù)儀器中鉛錘受重力影響，其方向?yàn)榇怪睜睿瑴y量出測試管軸線與垂直方向的夾角，計(jì)算出鉆孔內(nèi)各個(gè)測點(diǎn)的水平位移。其基本原理如圖1所示。

圖1 測斜儀監(jiān)測原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of the inclinometer monitoring principle

在實(shí)際監(jiān)測中，一般先要在邊坡鉆孔埋設(shè)測斜管，利用測斜管中內(nèi)徑兩組互成90°的導(dǎo)向槽，將測斜儀順導(dǎo)向槽放入測斜管內(nèi)，逐段（人工監(jiān)測時(shí)標(biāo)準(zhǔn)長度為50 cm，也可自行確定）測量。當(dāng)邊坡由于滑動(dòng)產(chǎn)生傾斜變形時(shí)，通過安裝在測斜儀內(nèi)的傳感器測出該段的角度變化量，利用該段長度和角度變化量計(jì)算出該段的水平變形值。對(duì)每段水平變形值進(jìn)行計(jì)算并累加，即可獲得鉆孔內(nèi)全長范圍的水平位移值。其計(jì)算方法為：

式中：L——測量段標(biāo)準(zhǔn)長度/m；

ΔSi——第i段水平位移變形值/m；

θi——第i測量段傾角/(?)；

S——水平變形總位移值/m。

2 深部測斜儀測量原理數(shù)值分析

深部位移測斜原理是利用測量孔內(nèi)各段測點(diǎn)夾角的變化，從而計(jì)算水平位移，其數(shù)學(xué)計(jì)算方法等同于常微分方程數(shù)值解中的Euler法。Euler法解常微分方程的解法為：

有一常微分方程：

當(dāng)f(x,y)對(duì)y滿足Lipschitz條件，求解式（3）一種最簡單的方法為將節(jié)點(diǎn)xn的導(dǎo)數(shù)y′(xn)用差商代替，由此式（3）可近似寫為：

從x0開始計(jì)算y(a)=y(x0)=y0，由式(4)可得y(x1)≈y0+hf(x0,y0)=y1，再將y1≈y(x1)代入式（4）右端，得到y(tǒng)(x2)近似為y2=y1+hf(x1,y1)，一般寫成：

圖2 Euler法的幾何意義示意圖Fig.2 Schematic diagram of the geometric meaning of the Euler method

Euler法的幾何意義如圖2所示。式（3）的解曲線y=y（x）是從點(diǎn)P0（x0,y0）出發(fā)，以f(x0,y0)為斜率作一段直線，與直線x=x1交點(diǎn)于P1（x1,y1），顯然有y1=y0+hf(x0,y0)，再從P1出發(fā)，以f(x1,y1)為斜率作直線推進(jìn)到x=x2上的一點(diǎn)P2，其余類推，這樣得到解曲線的一條近似曲線，它就是折線。由Euler法解法和幾何意義可知，若將圖2的坐標(biāo)軸原點(diǎn)O移到P0點(diǎn)，得到圖3?？梢哉J(rèn)為函數(shù)曲線y（x）是鉆孔水平變形曲線，其中原點(diǎn)O為深部位移內(nèi)滑面，通過深部位移測斜儀，可以測出P1、P2、······各點(diǎn)的變化夾角，從而得出該點(diǎn)的斜率值，通過計(jì)算，折線為測量的位移變形曲線。由于鉆孔水平位移的變形量和孔深相比，其值要小很多，其夾角變化的值也非常小，因此，可認(rèn)為深部位移測量中各段的標(biāo)準(zhǔn)長度L和Euler法中的步長h相等。深部測斜結(jié)果中斜率值與Euler法中f（xn,y（xn））相對(duì)應(yīng)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果中y（xn）與對(duì)應(yīng)。由此可知，由深部位移監(jiān)測計(jì)算的變形值，就是常微分方程的Euler法數(shù)值解。

3 深部測斜儀測量誤差與分析

3.1 深部測斜儀測量誤差

圖3 Euler法的幾何意義示意圖（原點(diǎn)偏移）Fig.3 Schematic diagram of the geometric meaning of the Euler method（Origin Offset）

由第2節(jié)的討論結(jié)果可知，可用常微分方程的Euler法數(shù)值解分析深部測斜儀測量結(jié)果誤差。

Euler法也可利用y（xn+1）的Taylor展開式得到：

其中，由于y′(xn)=f(xn,yn)，與式（5）相比，Euler法與準(zhǔn)確解相差，那么就是Euler法的局部截?cái)嗾`差，也即深部位移測量值的各段誤差，整體誤差就是各段誤差的累計(jì)總和（T），具體見式（7）：

3.2 深部測斜儀測量誤差分析

（1）測量初值對(duì)誤差的影響分析

由圖3和式（6）可知，深部位移測量值的計(jì)算在初始值y0的基礎(chǔ)上進(jìn)行，y0值的準(zhǔn)確性決定了測量值的合理性，因此需要保證初值為0或?yàn)楣潭ㄖ担匆笊畈课灰票O(jiān)測孔要深入滑面以下。

（2）測量分段長度對(duì)誤差的影響分析

由式（7）可得，深部位移測量值的誤差大小與k、h和y′′(εni)有關(guān)。其中k為深部位移測量孔的分段個(gè)數(shù)，h為每個(gè)分段的長度。在總深度確定的情況下，k和h關(guān)系如下：

式中：H——測量孔總深度/m。

把式（8）代入式（7）中，得

由式（9）可見，在監(jiān)測孔深為定值的情況下，監(jiān)測誤差與k和ni) 有關(guān)。由于在每個(gè)測量段內(nèi)是在一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)變化的值，不便于分析，因此暫定取所測量區(qū)段內(nèi)的最大值，設(shè)這個(gè)最大值為y′′(εn)，那么式（9）就變?yōu)椋?/p>

由式（10）或式（11）可知，在總深度一定的情況下，總誤差隨著測量分段個(gè)數(shù)的增加或測量分段長度的減小而減少，呈一次線性關(guān)系。當(dāng)測量分段個(gè)數(shù)k→∞（或分段長度h→0）時(shí)，總誤差趨近于0。

所以，如果需要提高測量精度，就應(yīng)增加測量分段個(gè)數(shù)或減少測量分段長度。

（3）變形曲線形狀對(duì)測量誤差的影響分析

為了便于分析測量分段長度對(duì)測量結(jié)果的誤差，假定y′′(εni) 為固定值，而在實(shí)際中，y′′(εni)是隨變形曲線的形狀而變化的。由于實(shí)際中變形曲線的形狀比較復(fù)雜，y′′(εni)的值無法確定，因此本節(jié)僅對(duì)簡單的曲線進(jìn)行誤差分析，并假定測量孔深和監(jiān)測分段個(gè)數(shù)（或分段長度）為定值。

①y′′(εni)=0

當(dāng)y′′(εni)=0，y′(εni)=c(c為常數(shù))，表明變形曲線的斜率為常數(shù)，即曲線為一直線，此時(shí)式（10）或式（11）等于0，表明監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差為0。

②y′′(εni)≠0

當(dāng)y′′(εni)≠0，y′′(εni)的大小取決于深部位移變形曲線的斜率變化，當(dāng)y′′(εni)同號(hào)時(shí)，同號(hào)時(shí)一般y′′(εni)＞0，由于位移變形曲線誤差是累計(jì)誤差，隨著測量次數(shù)的增加，測量誤差也累積增大。從孔底開始測量誤差向孔頂依次增大，孔內(nèi)頂部最后一次測量計(jì)算的數(shù)據(jù)誤差最大。

另外，當(dāng)y′′(εni)＞0，表明曲線是凹形。由式（9）知，y′′(εni)越大，計(jì)算誤差越大。說明監(jiān)測變形曲線的凹形程度越大，監(jiān)測計(jì)算誤差越大，孔口的變形值也越大。這表明孔口變形越大時(shí)，監(jiān)測數(shù)值的誤差也越大。

4 監(jiān)測曲線形狀對(duì)誤差的影響分析

在第3節(jié)分析結(jié)果可知，曲線形狀對(duì)監(jiān)測數(shù)值誤差的影響較為復(fù)雜。以孔深為定值（假設(shè)為50 m），監(jiān)測曲線分別為二次曲線和三次曲線條件下孔口變形和測量段數(shù)的不同進(jìn)行誤差分析。

4.1 二次曲線

設(shè)位移變形曲線為y=Ax2，x為孔深（50 m），y為孔口變形值，分別以不同孔口變形量和測量段長分析誤差。

（1）孔口變形值

以孔口變形為0.5 m計(jì)算，把y=0.5、x=50代入曲線方程得A=2×10?4。假設(shè)測量段長h=0.5 m，則測量總段數(shù)k=100，得y′′=2A=4×10?4。

把上述結(jié)果代入式（10），得孔口誤差為5×10?3m，即5 mm。由此可見，測斜儀測量的誤差是較小的。依據(jù)上述方法，計(jì)算孔口水平位移在0.4，0.3，0.2，0.1 m時(shí)的誤差，結(jié)算結(jié)果見表1，可知孔口水平誤差隨孔口變形值的減少而減少，誤差約為1%。

表1 不同孔口水平位移下的計(jì)算誤差Table 1 Errors under different orifice displacement

（2）測量分段長度

以孔口變形值為0.5 m，孔深為50 m，代入式（10）計(jì)算測量分段長度不同時(shí)的誤差計(jì)算，結(jié)果見表2，可見誤差隨測量段長的增大線性增大。

表2 不同測量分段長度下的計(jì)算誤差Table 2 Errors under different length of the measuring section with conic curve

4.2 三次曲線

y=Ax3

設(shè)位移變形曲線為，x和y意義和取值、測量段長（h=0.5 m）和總段數(shù)（k=100）均同4.1節(jié)。（1）孔口變形值

把y=0.5、x=50代入y=Ax3，得A=4×10?6。

因y′′=6Ax，則y′′(εn)=6Aεn，此時(shí)，εn是一個(gè)不定的數(shù)值，以最大值來考慮計(jì)算出來的誤差偏大，趨于保守。取εn=50，y′′=1.2×10?3，

把上述結(jié)果代入式（10）得孔口誤差為15 mm。依據(jù)上述方法，計(jì)算孔口水平位移在0.4，0.3，0.2，0.1 m時(shí)的誤差，結(jié)果見表1。

（2）測量分段長度

用式（10）計(jì)算孔口變形值為0.5 m、孔深為50 m，不同測量分段長度時(shí)的誤差，結(jié)果見表2。

由表1和表2可知，在相同條件下，三次曲線的誤差大于二次曲線的誤差，原因在于數(shù)值分析中三次曲線的y′′(εni)的值比二次曲線的大，所以造成監(jiān)測誤差增大。說明在深部位移監(jiān)測中，曲線變形彎曲程度越大，其監(jiān)測誤差越大。

5 結(jié)論

（1）深部位移監(jiān)測初始值須為0或固定值。

（2）監(jiān)測變形誤差與監(jiān)測曲線的形狀有關(guān)。監(jiān)測位移曲線為直線時(shí)，誤差等于0；監(jiān)測位移曲線為曲線時(shí)，誤差的大小根據(jù)位移曲線的形狀來確定：當(dāng)監(jiān)測曲線為凸曲線（或凹曲線）時(shí)，其變形程度越大，誤差越大；當(dāng)變形曲線為單一的凸曲線（或凹曲線），監(jiān)測測量誤差為累計(jì)誤差，從孔底向孔口誤差依次增大。

（3）監(jiān)測變形誤差與測量分段長度有關(guān)，測量分段長度越小，測量誤差越小，當(dāng)測量段長趨近于無窮小時(shí)，誤差為0。

（4）對(duì)于相同形狀的監(jiān)測曲線，孔口變形值越大，監(jiān)測測量誤差越大。