基于ARMA模型船搖預(yù)報(bào)的船用穩(wěn)定平臺(tái)PID控制算法研究?

張凱臨， 李玉超

(中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266100)

穩(wěn)定平臺(tái)是一種能夠隔離運(yùn)動(dòng)載體擾動(dòng)，使負(fù)載保持穩(wěn)定姿態(tài)的裝置，它在軍事、科研等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。穩(wěn)定平臺(tái)的控制算法大多數(shù)采用PID控制算法，它具有形式簡(jiǎn)單，使用方便可靠等優(yōu)點(diǎn)，船用穩(wěn)定平臺(tái)對(duì)于穩(wěn)定精度要求較高，然而傳統(tǒng)PID控制器在閉環(huán)調(diào)節(jié)中存在固有的時(shí)滯會(huì)制約穩(wěn)定平臺(tái)穩(wěn)定精度的提升，特別是在陀螺儀姿態(tài)數(shù)據(jù)報(bào)告頻率較低的情況下，時(shí)滯將十分突出，嚴(yán)重影響穩(wěn)定性能[1]。在真實(shí)環(huán)境中穩(wěn)定平臺(tái)受到的干擾來自船的姿態(tài)變化，而船的姿態(tài)又可以依靠歷史數(shù)據(jù)通過算法來預(yù)測(cè)，因此當(dāng)姿態(tài)傳感器周期性地報(bào)告船的姿態(tài)信息時(shí)，通過預(yù)測(cè)可以得到穩(wěn)定平臺(tái)下一時(shí)刻受到的干擾。有學(xué)者提出利用AR預(yù)測(cè)模型對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)信息作為PID控制器的輸入，用來消除時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的不良影響[2-3]。本文使用ARMA模型對(duì)船的姿態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，利用預(yù)測(cè)值的均方誤差最小的原則確定模型階數(shù)和單次預(yù)測(cè)所使用樣本數(shù)，然后以船用串聯(lián)式穩(wěn)定平臺(tái)為實(shí)驗(yàn)裝置，通過運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)來創(chuàng)造一個(gè)相對(duì)真實(shí)的船搖運(yùn)動(dòng)環(huán)境，在控制算法中將預(yù)測(cè)得到的干擾信息和當(dāng)前的誤差信息一起施加到PID控制器中，使PID控制器的調(diào)節(jié)過程提前一個(gè)時(shí)刻，目的是從原理上減小時(shí)滯，提高船用穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度。

1 船搖預(yù)報(bào)ARMA模型建模

在海上，船的姿態(tài)受到風(fēng)、浪等多種因素的影響，基于時(shí)間序列分析的線性自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型預(yù)測(cè)方法認(rèn)為船的姿態(tài)與過去的姿態(tài)存在某種聯(lián)系，而且基于船的運(yùn)動(dòng)是平穩(wěn)的窄帶隨機(jī)過程的假設(shè)[4-5]。ARMA模型不依賴外界因素對(duì)船的干擾信息，不需要建立精確的物理模型，僅僅依靠船運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的歷史數(shù)據(jù)就可以完成單步或多步預(yù)測(cè)，有效預(yù)報(bào)時(shí)間可達(dá)數(shù)秒[6]。它是一種結(jié)合了自回歸模型(AR)和移動(dòng)平均模型(MA)的混合模型，最初是為了解決有時(shí)需要高階AR或者M(jìn)A模型才能充分描述數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的問題，基本思想是將兩模型相結(jié)合使模型階數(shù)保持很小，這將有助于減小模型的計(jì)算量[7]。

1.1 模型的定義

中心化ARMA模型的形式為

(1)

其中:{xt}表示船的姿態(tài)時(shí)間序列數(shù)據(jù)；{εt}為白噪聲序列，實(shí)驗(yàn)中為模擬船姿態(tài)的真實(shí)值與ARMA模型預(yù)測(cè)值之差，αi(i= 1,2,…,p)和βi(i= 1,2,…,q)為模型參數(shù)；p為AR模型部分的階數(shù)；q為MA模型部分的階數(shù)[7-8]。通常p和q都應(yīng)當(dāng)選取大于等于1的整數(shù)，但是若使q取0，則意味著去除MA模型部分的作用，ARMA模型將變?yōu)榧傾R模型，也可看做ARMA模型的一種特殊形式。

1.2 模型的定階與樣本數(shù)的選擇

對(duì)于給定的數(shù)量為N的樣本，ARMA模型確定階數(shù)p和q的方法有殘差平方和準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則等。

殘差平方和:

(2)

AIC準(zhǔn)則函數(shù):

(3)

BIC準(zhǔn)則函數(shù):

(4)

(5)

1.3 模型的參數(shù)估計(jì)

ARMA模型的參數(shù)估計(jì)方法常用的有最小二乘估計(jì)法、矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法，其中矩估計(jì)法由于沒有充分利用樣本信息，所以估計(jì)精度一般不高，極大似然估計(jì)法求解過程比較復(fù)雜，相對(duì)而言最小二乘估計(jì)法的算法實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，估計(jì)精度也較高，故本實(shí)驗(yàn)采用的是最小二乘估計(jì)法[11]。設(shè)有樣本序列x0,x1,x2,…,xn和誤差序列ε0,ε1,ε2,…,εn，則ARMA模型的矩陣形式為：

(6)

其中

模型的殘差平方和為：

(7)

使S(p,q)取最小值求α和β的過程，即α和β的最小二乘估計(jì)法，則所求參數(shù)為:

(8)

1.4 模型的預(yù)測(cè)

對(duì)于樣本序列x0,x1,x2,…,xn和誤差序列ε0,ε1,ε2,…,εn，根據(jù)所求參數(shù)α和β，則下一時(shí)刻樣本序列的預(yù)測(cè)值為

(9)

2 基于ARMA模型的穩(wěn)定平臺(tái)PID控制器設(shè)計(jì)

基于ARMA模型的離散式PID控制器表達(dá)式為:

(10)

其中:k為樣本序號(hào)；T為樣本間隔時(shí)間；e(k)為k時(shí)刻的偏差信號(hào)；Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分參數(shù)值[12]。改進(jìn)的穩(wěn)定平臺(tái)PID控制器的原理如圖1所示。

圖1 基于ARMA模型的PID控制器原理框圖

穩(wěn)定平臺(tái)上安裝了兩個(gè)陀螺儀模塊，一個(gè)用來測(cè)量穩(wěn)定平臺(tái)支架也是船的姿態(tài)信息，另一個(gè)用來測(cè)量穩(wěn)定平臺(tái)承載面的姿態(tài)信息同時(shí)也是負(fù)載的姿態(tài)信息。對(duì)于單個(gè)自由度，圖中穩(wěn)定平臺(tái)承載面姿態(tài)角的期望值r(k)為零，e(k)為PID控制器的誤差輸入，u(k)為控制量輸出，y(k)為負(fù)載的傾斜角。該控制器在傳統(tǒng)PID控制器的基礎(chǔ)上增加了ARMA模型預(yù)測(cè)算法，其輸入為船的傾斜角θ(k)，模型將記錄此數(shù)據(jù)以便得到一定數(shù)量的歷史數(shù)據(jù)，然后由該數(shù)據(jù)進(jìn)行單步預(yù)測(cè)得到下一時(shí)刻傾斜角的預(yù)測(cè)值θ′(k+1)。再減去θ(k)得到船下一時(shí)刻將對(duì)負(fù)載造成的傾斜角變化，然后加上y(k)得到下一時(shí)刻負(fù)載的預(yù)測(cè)傾斜角y′(k)，最后再與設(shè)定的期望值r(k)做差求出e(k)，即e(k) =r(k)-[θ′(k+1)-θ(k) +y(k)]。這樣施加到PID控制器的輸入實(shí)際上含有超前信息，通過參數(shù)調(diào)整可以使PID控制器的輸出消除下一時(shí)刻將要產(chǎn)生的誤差，在理想情況下能夠?qū)崿F(xiàn)控制對(duì)象的實(shí)際值y(k)與期望值r(k)時(shí)刻保持相等。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證加入ARMA模型是否能夠改善系統(tǒng)時(shí)滯并提高穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度，針對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)的某一個(gè)自由度設(shè)計(jì)了兩組對(duì)照試驗(yàn)，第一組實(shí)驗(yàn)沒有ARMA模型的作用，PID控制中的y′(k)完全來自實(shí)測(cè)，即等于y(k)，第二組有ARMA模型的參與，y′(k)等于θ′(k+1) -θ(k) +y(k)，實(shí)驗(yàn)的原理框圖如圖2所示，圖3為穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)物。穩(wěn)定平臺(tái)固定在運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)上面受到姿態(tài)干擾，陀螺儀報(bào)告姿態(tài)信息的頻率為10 Hz，即數(shù)據(jù)序列的時(shí)間間隔為100 ms。在對(duì)照實(shí)驗(yàn)之前，首先需要通過分析數(shù)據(jù)來確定ARMA模型的階數(shù)p和q以及樣本數(shù)N。PID控制器的性能一般可以通過階躍響應(yīng)曲線或者正弦干擾響應(yīng)曲線來反映[13]，對(duì)照實(shí)驗(yàn)中先通過觀察正弦干擾時(shí)的穩(wěn)定誤差曲線來調(diào)整PID的參數(shù)，并對(duì)時(shí)滯現(xiàn)象和ARMA模型的作用進(jìn)行分析，最后通過模擬的船搖運(yùn)動(dòng)干擾實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證穩(wěn)定平臺(tái)的實(shí)際穩(wěn)定效果。

圖2 實(shí)驗(yàn)原理框圖

圖3 穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)物圖

3.1 ARMA模型階數(shù)與樣本數(shù)N的確定實(shí)驗(yàn)

模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度是影響穩(wěn)定平臺(tái)穩(wěn)定精度的關(guān)鍵因素，實(shí)驗(yàn)采集了3 000個(gè)模擬船搖運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列姿態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)，通過計(jì)算機(jī)模擬穩(wěn)定平臺(tái)中的模型預(yù)測(cè)過程并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。分析流程大概為，首先確定N的值，借助式(5)尋找出使均方誤差最小的p和q，然后讓N以20為一梯度增加，通過相同方法可得到所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(見表1)。容易看出當(dāng)取值為120時(shí)均方誤差出現(xiàn)了極小值，故而選擇ARMA模型的p=4，q=2，N=120。值得注意的是，隨著樣本數(shù)N的增加， 均

表1 ARMA模型階數(shù)與樣本數(shù)N的確定實(shí)驗(yàn)結(jié)果

方誤差的趨勢(shì)并非平穩(wěn)下降，所以樣本數(shù)N=120時(shí)的均方誤差很有可能為局部極小值，當(dāng)然考慮到穩(wěn)定平臺(tái)的硬件性能有限，當(dāng)模型的階數(shù)和樣本數(shù)N較大時(shí)如果單次預(yù)測(cè)的時(shí)間過長(zhǎng)也會(huì)影響穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證當(dāng)前模型階數(shù)和樣本數(shù)N已經(jīng)能夠滿足需求，所以不再尋找其它極小值點(diǎn)。

3.2 正弦干擾實(shí)驗(yàn)

若使運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)做正弦運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定平臺(tái)就會(huì)受到相應(yīng)的正弦姿態(tài)干擾，其干擾曲線如圖4所示。

圖4 正弦干擾曲線

當(dāng)沒有ARMA模型參與時(shí)，嘗試將PID參數(shù)調(diào)整至最優(yōu)得到圖5所示的穩(wěn)定誤差曲線，此時(shí)的Kp=7.00，Ki=0.90，Kd=2.50。可以看出最大穩(wěn)定誤差在正負(fù)0.3左右且存在振蕩現(xiàn)象，說明此時(shí)PID控制器有一定消除誤差的能力，但是穩(wěn)定平臺(tái)仍然不夠平穩(wěn)，這是由于PID控制器閉環(huán)調(diào)節(jié)的本質(zhì)所決定的，即總是在誤差出現(xiàn)之后做出反應(yīng)，通過調(diào)整PID參數(shù)已經(jīng)很難優(yōu)化系統(tǒng)。

(Kp= 7.00，Ki= 0.90，Kd= 2.50)

當(dāng)ARMA參與PID控制器的調(diào)節(jié)過程時(shí)，取歷史數(shù)據(jù)序列的大小為120，階數(shù)p= 4，q= 2，利用ARMA模型對(duì)姿態(tài)干擾進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到圖6所示的預(yù)測(cè)誤差曲線，可以看出最大絕對(duì)值小于0.04°，若以陀螺儀的靜態(tài)穩(wěn)定度0.05°作為參考，說明預(yù)測(cè)誤差已經(jīng)很小，是完全可以接受的。嘗試調(diào)整PID的參數(shù)至最優(yōu)得到如圖7所示的穩(wěn)定誤差曲線，此時(shí)Kp= 3.79，Ki=0.01，Kd= 0.24，可以看出穩(wěn)定誤差大幅度減小，表明該P(yáng)ID控制器能夠很好地消除系統(tǒng)時(shí)滯，穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度也得到提升。此時(shí)去掉ARMA模型的預(yù)測(cè)過程而不改變PID控制器的參數(shù)， 如圖8所示穩(wěn)定誤差大幅度增加且呈現(xiàn)姿態(tài)干擾曲線的導(dǎo)數(shù)趨勢(shì)變化，說明PID調(diào)節(jié)過程剛好延后了一個(gè)時(shí)刻，可見ARMA模型的作用十分明顯。

圖6 正弦干擾時(shí)ARMA模型預(yù)測(cè)誤差曲線

(Kp = 3.79，Ki = 0.01，Kd = 0.24)

(Kp = 3.79，Ki = 0.01，Kd = 0.24)

3.3 船搖運(yùn)動(dòng)干擾實(shí)驗(yàn)

將姿態(tài)干擾換成如圖9所示的模擬船搖運(yùn)動(dòng)，其它條件與正弦實(shí)驗(yàn)相同。使ARMA模型不參與PID控制，并認(rèn)為正弦實(shí)驗(yàn)中調(diào)整好的Kp= 7.00，Ki= 0.90，Kd= 2.50為當(dāng)前系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定誤差曲線如圖10所示。

圖9 船搖運(yùn)動(dòng)干擾曲線

(Kp = 7.00，Ki = 0.90，Kd = 2.50)

當(dāng)ARMA模型參與時(shí)，且PID參數(shù)Kp= 3.79，Ki= 0.01，Kd=0.24，姿態(tài)干擾的預(yù)測(cè)誤差曲線如圖11所示，并得到圖12所示的穩(wěn)定誤差曲線?？梢婎A(yù)測(cè)誤差在正負(fù)0.04°之間，仍然是可接受的，當(dāng)有ARMA模型參與時(shí)，穩(wěn)定誤差較圖10相比整體水平大幅減小，這表明當(dāng)干擾為船搖運(yùn)動(dòng)且系統(tǒng)存在較大的時(shí)滯時(shí)，ARMA模型預(yù)測(cè)信息的加入仍然可以有效消除系統(tǒng)時(shí)滯，提高穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度。需要指出的是，一般來講穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定能力都是有限的，而且當(dāng)姿態(tài)干擾曲線變化較平緩時(shí)ARMA模型的預(yù)測(cè)才會(huì)較為準(zhǔn)確，所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)干擾在可接受程度內(nèi)，該控制算法才更有意義。

圖11 船搖運(yùn)動(dòng)干擾時(shí)ARMA模型預(yù)測(cè)誤差曲線

(Kp = 3.79，Ki = 0.01，Kd = 0.24)

4 結(jié)論

傳統(tǒng)穩(wěn)定平臺(tái)存在固有時(shí)滯問題，其PID控制器總是在誤差產(chǎn)生之后才做出調(diào)節(jié)，特別是在陀螺儀姿態(tài)數(shù)據(jù)報(bào)告頻率較低、實(shí)時(shí)性差的情況下滯后將尤為突出，嚴(yán)重影響穩(wěn)定精度。根據(jù)船搖運(yùn)動(dòng)可預(yù)報(bào)的特點(diǎn)，對(duì)此提出將ARMA模型加入到PID控制器中，通過預(yù)測(cè)得到下一時(shí)刻將要產(chǎn)生的誤差并施加到PID控制器中，實(shí)現(xiàn)了提前調(diào)節(jié)。通過分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出以下結(jié)論：

(1)使用最小二乘法估計(jì)ARMA模型的參數(shù)可以使船的姿態(tài)預(yù)報(bào)具有很高的準(zhǔn)確度，而且計(jì)算量小，能夠滿足實(shí)時(shí)參數(shù)估計(jì)的需求，同時(shí)也說明利用預(yù)測(cè)值的均方誤差最小的原則確定模型階數(shù)和單次預(yù)測(cè)所使用樣本數(shù)的方法是可靠的。

(2)當(dāng)采用傳統(tǒng)PID控制器時(shí)，系統(tǒng)時(shí)滯確實(shí)是制約穩(wěn)定平臺(tái)穩(wěn)定精度提高的因素，無論姿態(tài)干擾是正弦運(yùn)動(dòng)還是船搖運(yùn)動(dòng)ARMA模型參與PID控制的作用都十分明顯，它能夠很好地消除系統(tǒng)時(shí)滯，大幅提高穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度。