提高儲(chǔ)層平均毛管力曲線計(jì)算精度的分形方法

李 競(jìng)，朱國(guó)金，劉 晨，王興龍，王 龍.

(1.海洋石油高效開(kāi)發(fā)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100028；2.中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028；3. 中國(guó)海洋石油國(guó)際有限公司，北京 100028)

0 引言

儲(chǔ)層巖石的微觀孔隙結(jié)構(gòu)極端復(fù)雜，很難精確描述。孔隙度、滲透率、RQI等從不同角度定量表征孔隙結(jié)構(gòu)，毛管壓力曲線和J函數(shù)曲線定量反應(yīng)流體在多孔介質(zhì)滲流過(guò)程中的壓力和飽和度變化關(guān)系。用毛管壓力函數(shù)(或J函數(shù))分別擬合同一類儲(chǔ)層的單個(gè)巖心的毛管壓力曲線(J函數(shù)曲線)，對(duì)擬合參數(shù)做平均，再代回函數(shù)式就可求出代表該類儲(chǔ)層微觀孔隙結(jié)構(gòu)平均化性質(zhì)的平均毛管壓力曲線(平均J函數(shù)曲線)，以用于油藏?cái)?shù)值模擬，其中，平均曲線的計(jì)算精度取決于每個(gè)巖心的曲線擬合精度。

目前廣泛應(yīng)用于常規(guī)孔隙分選較好儲(chǔ)層的無(wú)因次毛管壓力即J函數(shù)冪率回歸式是經(jīng)驗(yàn)公式，國(guó)外稱之為Brook Coery經(jīng)驗(yàn)回歸式[1-4]，相關(guān)參數(shù)未明確指明與巖心孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，對(duì)大量孔隙分選差的儲(chǔ)層，還存在實(shí)測(cè)毛管力曲線擬合精度偏低的問(wèn)題。基于分形理論和毛管束滲流模型，李克文推導(dǎo)出現(xiàn)有冪函數(shù)的表達(dá)式并將參數(shù)與分形維數(shù)建立了關(guān)系[4]，指出了冪函數(shù)的適用條件是分形維數(shù)D<3和殘余潤(rùn)濕相飽和度邊界條件下毛管壓力Pc趨于正無(wú)窮大，此外還推導(dǎo)出廣適分形毛管力函數(shù)[1]，但在該函數(shù)中，潤(rùn)濕相飽和度進(jìn)行了歸一化，即代表可采儲(chǔ)量采出程度，這導(dǎo)致殘余潤(rùn)濕相飽和度邊界點(diǎn)處，超出負(fù)指數(shù)冪函數(shù)自身的定義域而無(wú)法計(jì)算。賀承祖[5]通過(guò)將達(dá)西定律和泊稷葉定律聯(lián)立，也推導(dǎo)出冪函數(shù)回歸式，區(qū)別是潤(rùn)濕相飽和度不進(jìn)行歸一化，即代表累計(jì)產(chǎn)油量，殘余潤(rùn)濕相飽和度邊界點(diǎn)處不存在數(shù)學(xué)問(wèn)題。目前毛管壓力函數(shù)中是否對(duì)潤(rùn)濕相飽和度進(jìn)行歸一化，尚存在爭(zhēng)議，但前人研究表明，儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)至少在一定孔喉半徑范圍內(nèi)，確實(shí)具有分形特征[5]，可以用分形方法對(duì)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行解釋和改進(jìn)。

該文通過(guò)考慮孔隙分選差儲(chǔ)層在小孔喉方向集中程度更高，推導(dǎo)出無(wú)因次毛管壓力J函數(shù)的分形回歸式，是對(duì)李克文廣適毛管力回歸式的推廣和修正(潤(rùn)濕相飽和度不做歸一化處理)。伊拉克低滲灰?guī)r儲(chǔ)層的實(shí)測(cè)J函數(shù)數(shù)據(jù)證實(shí)，該方法能有效提高擬合精度。對(duì)于孔隙分選較好的儲(chǔ)層(例如渤海高滲砂巖氣層)，可繼續(xù)使用現(xiàn)有分形冪率型回歸函數(shù)，而分形參數(shù)則指出了回歸結(jié)果與分形維數(shù)、最大、最小毛管壓力的關(guān)系。分形毛管壓力(J函數(shù))式的提出，從多孔介質(zhì)滲流角度，進(jìn)一步深化了復(fù)雜的微觀孔隙結(jié)構(gòu)定量表征，針對(duì)分選較差的儲(chǔ)層，分形式可反算出精度較冪率型更高的毛管壓力曲線，有效提高該類儲(chǔ)層平均毛管壓力曲線的計(jì)算精度。

1 J函數(shù)分形回歸式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

無(wú)因次毛管壓力即J函數(shù)冪率回歸經(jīng)驗(yàn)公式，國(guó)外稱之為Brook Coery經(jīng)驗(yàn)回歸式[1-4]。

(1)

式中:J(Sw)為無(wú)因次毛管壓力函數(shù)，無(wú)因次；A0，B0為經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)，無(wú)因次；Sw為潤(rùn)濕相飽和度，小數(shù)。

根據(jù)分形幾何理論[1]和不等徑等長(zhǎng)平直毛管束滲流模型[6]，自相似的單元體可以無(wú)限填充符合分形結(jié)構(gòu)的儲(chǔ)層微觀孔隙空間，該自相似體可為半徑為變量r，長(zhǎng)度為常量L的平直毛細(xì)管[1]。壓汞過(guò)程中，某個(gè)汞飽和度增加區(qū)間，汞新填充的一簇毛細(xì)管的數(shù)量N(r)與其半徑r之間存在冪函數(shù)關(guān)系[7]:

N(r) =ar-D

(2)

式中:N(r)為某時(shí)刻汞新填充的半徑為r的毛細(xì)管數(shù)量，根；r為某時(shí)刻被汞新填充的毛細(xì)管的半徑，μm；D為分形維數(shù)，無(wú)因次；a為比例常數(shù)，無(wú)因次。

考慮孔隙分布的連續(xù)性，則壓汞巖心的總孔隙體積為:

(3)

式中:V(r)為巖心總孔隙體積，μm3；L為巖心長(zhǎng)度，μm；rmin為孔隙中最細(xì)毛細(xì)管對(duì)應(yīng)的半徑，μm；rmax為孔隙中最粗毛細(xì)管對(duì)應(yīng)的半徑，μm。

由式(3)易得某時(shí)刻未被汞充填的即半徑小于r的孔隙累積體積[5]為：

(4)

同理可得已被汞充填的即半徑大于等于r的孔隙累積體積為:

(5)

該時(shí)刻潤(rùn)濕相飽和度，即空氣相飽和度為:

(6)

毛管壓力與孔隙半徑的關(guān)系式為:

(7)

式中:σ為汞-空氣界面張力，N/m，一般取0.48 N/m；θ為汞-空氣潤(rùn)濕角，(°)，一般取140°；Pc為毛細(xì)管壓力，MPa。

式(7)代入式(6)，可得:

(8)

若用SHg= 1 -SAir替換為含汞飽和度，則式(8)變?yōu)槭?9):

(9)

式(8)、式(9)中:Pmax為最小毛管半徑對(duì)應(yīng)的最大毛管壓力，Pe為排驅(qū)壓力，即最大毛管半徑對(duì)應(yīng)的最小毛管壓力。

(10)

(11)

式(10)或式(11)即賀承祖壓汞分形函數(shù)[5]，與Brooks Corey函數(shù)[1]相比，飽和度未做標(biāo)準(zhǔn)化處理，由于分形維數(shù)D<3，則歸一化飽和度為0的點(diǎn)，超出冪函數(shù)冪指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)的定義域而無(wú)法計(jì)算，故賀承祖壓汞分形函數(shù)式(10)或式(11)更合理。

(12)

由式(9)可得:

(13)

式(12)或式(13)為壓汞分形函數(shù)回歸式在3

根據(jù)不等徑等長(zhǎng)毛管束滲流模型和泊稷葉定律，在Δp的壓差下，黏度為μ的汞通過(guò)單根毛細(xì)管的流量為:

(14)

式中:qHg為半徑為r的單根毛細(xì)管中汞的流量，mm3/s；r為單根毛細(xì)管半徑，μm；Δp為驅(qū)替壓差，MPa；μ為汞相黏度，mPa·s；L為毛細(xì)管長(zhǎng)度或巖心長(zhǎng)度，μm。

將單根毛管體積V(r) =πr2L代入式(14)，得:

(15)

從rmin至rmax加和得到多孔介質(zhì)總流量為:

(16)

將汞累計(jì)充填的毛細(xì)管體積用巖心含空氣飽和度表示為:

(17)

式(17)中:V(r)為單根毛細(xì)管體積，μm3；A為巖心截面積，μm2；L為巖心長(zhǎng)度，μm；φ為巖心孔隙度，小數(shù)；SAir為巖心含空氣飽和度，小數(shù)。

將式(17)代入式(16)，得:

(18)

聯(lián)立達(dá)西定律:

(19)

得到絕對(duì)滲透率的表達(dá)式，并考慮孔隙的連續(xù)分布，得到:

(20)

J函數(shù)定義為無(wú)因次毛管力，并消除孔隙度和滲透率的影響:

(21)

式中:σ為界面張力，N/m；θ為潤(rùn)濕角，(°)；Pc為毛細(xì)管壓力，MPa；k為絕對(duì)滲透率，μm2；φ為孔隙度，小數(shù)。

對(duì)于常規(guī)中、高孔滲且孔隙分選好的儲(chǔ)層，將式(7)、式(10)、式(20)代入式(21)，可得:

(22)

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，暫不糾結(jié)于各參數(shù)內(nèi)在的相關(guān)性，式(22)簡(jiǎn)化為:

(23)

式中:A0為分形維數(shù)相關(guān)擬合參數(shù)，無(wú)因次，A0>0；B0為分形維數(shù)相關(guān)擬合參數(shù)，無(wú)因次，B0>0；SAir為含空氣飽和度，小數(shù)，0

式(23)即目前廣泛應(yīng)用的J函數(shù)冪率型經(jīng)驗(yàn)回歸式[6]，通過(guò)推導(dǎo)，揭示出其應(yīng)用條件是分形維數(shù)D<3和殘余空氣飽和度下rmin→0，該式將經(jīng)驗(yàn)參數(shù)A0，B0與分形維數(shù)建立了關(guān)系。

對(duì)差分選的低孔、低滲儲(chǔ)層，將式(8)、式(12)、式(20)代入式(21)得:

(24)

而若代入式(12)而非式(13)，將得到:

(25)

式(24)和式(25)可分別簡(jiǎn)化為:

(26)

(27)

式中:A1，A2為分形維數(shù)、最大、最小毛管壓力相關(guān)擬合參數(shù)，無(wú)因次，A1>0，A2>0；B1，B2為最大、最小毛管壓力相關(guān)擬合參數(shù)，無(wú)因次，00，C2>0；SAir為含空氣飽和度，0

式(26)或式(27)即J函數(shù)分形回歸式在30，故該式的應(yīng)用條件是30。

另外需要指出的是，與流體性質(zhì)相關(guān)的潤(rùn)濕角、界面張力，在推導(dǎo)過(guò)程中均被消去，即J函數(shù)分形回歸式(23)、式(27)不僅適用于壓汞過(guò)程，也適用于任意兩相流體的驅(qū)替過(guò)程，式(23)等同于式(1)，下文統(tǒng)稱式(23)、式(1)為分形冪率式。

2 分形J函數(shù)回歸式提高差孔隙分選儲(chǔ)層的回歸精度

通過(guò)以上對(duì)儲(chǔ)層巖心J函數(shù)分形數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，明確了冪率型J函數(shù)回歸式的分形物理意義和變化范圍，其能在孔隙分選好的中高滲儲(chǔ)層中廣泛應(yīng)用的原因是該類儲(chǔ)層分形維數(shù)D<3，rmin?rmax，孔隙半徑主要集中在大于rmin的范圍，壓汞至殘余空氣飽和度時(shí)，rmin→0；其在孔隙分選較差的低滲儲(chǔ)層中回歸精度偏低的原因是該類儲(chǔ)層分形維數(shù)30，新分形式(26)或式(27)的形式發(fā)生變化。

圖1～圖3為某碳酸鹽巖油藏低滲灰?guī)r儲(chǔ)層實(shí)測(cè)J函數(shù)數(shù)據(jù)，由于雙對(duì)數(shù)圖上的線性特征，可知分形冪率式(23)的回歸精度無(wú)法進(jìn)一步提高，而新分形式(26)或式(27)則可明顯提高，使用式(26)計(jì)算的分形維數(shù)結(jié)果均大于3、小于5。以伊拉克AG油田低滲灰?guī)r油層(圖3)為例，回歸參數(shù)C1=7.152 0，由式(26)，分形維數(shù)D=3+1/C1=3.139 8。由表1知，表征回歸精度的確定性系數(shù)R2提高0.157 1～0.248 2，平均提高0.20，均達(dá)到0.99，詳見(jiàn)表1。

圖1 伊拉克BU油田低滲灰?guī)r油層J函數(shù)擬合Fig.1 J function matching for low permeability limestone oil layer in BU oilfield，Iraq

圖2 伊拉克FQ油田低滲灰?guī)r油層J函數(shù)擬合Fig.2 J function matching for low permeability limestone oil layer in FQ oilfield， Iraq

圖3 伊拉克AG油田低滲灰?guī)r油層J函數(shù)回歸Fig.3 J function matching for lowpermea bility limestone oil layer in AG oilfield， Iraq

表1 J函數(shù)曲線樣品物性參數(shù)和回歸參數(shù)表Table1 Physical properties and J function matching parameters of rock samples

圖4為某高滲砂巖氣層實(shí)測(cè)J函數(shù)數(shù)據(jù)，在雙對(duì)數(shù)圖上呈現(xiàn)線性特征，分形冪率式(23)的精度已足夠高，回歸參數(shù)B0=3.902 0，確定性系數(shù)0.965 8，由式(21)，分形維數(shù)計(jì)算為3-1/3.902 0=2.744 0。

圖4 渤海某油氣田高滲砂巖氣層J函數(shù)回歸Fig.4 J function matching for high permeability sandstone gas layer in Bohai oilfield， China

分形維數(shù)的獲取，除了用分形式(22)或式(25)通過(guò)實(shí)測(cè)J函數(shù)曲線回歸得到外，還可以通過(guò)毛管壓力分形函數(shù)式(9)和式(11)對(duì)毛管壓力曲線回歸得到，此外，還可以用相對(duì)滲透率分形函數(shù)對(duì)相滲曲線回歸得到，有學(xué)者對(duì)實(shí)際巖心薄片進(jìn)行作圖法測(cè)定[8]分形維數(shù)，該文只討論第一種方法。

3 求取平均毛管壓力曲線

對(duì)同一類儲(chǔ)層單個(gè)巖心J函數(shù)擬合指數(shù)求平均，就可求取代表該類儲(chǔ)層平均毛管壓力曲線。圖5～圖7分別是伊拉克BU，F(xiàn)Q，AG油田差分選、低滲灰?guī)r油層單個(gè)樣品由J函數(shù)新分形式(26)和冪率式(23)反求出的毛管壓力曲線對(duì)比，圖8是渤海某油氣田高滲氣層求出的平均毛管壓力曲線，冪率式(23)反求的結(jié)果合理?？梢?jiàn)對(duì)該類儲(chǔ)層， 新分形式(26)反求出的毛管壓力曲線精度更高，冪率分形式(23)精度明顯損失較多。

圖5 伊拉克BU油田低滲灰?guī)r油層反求毛管壓力Fig.5 Average capillary pressure curve of low permeability limestone oil layer in BU oilfield， Iraq

圖6 伊拉克FQ油田低滲灰?guī)r油層反求毛管壓力Fig.6 Average capillary pressure curve of low per permeability limestone oil layer in FQ oilfield， Iraq

圖7 伊拉克AG油田低滲灰?guī)r油層反求毛管壓力Fig.7 Average capillary pressure curve of low permeability limestone oil layer in AG oilfield， Iraq

圖8 渤海某油氣田高滲氣層平均毛管壓力曲線Fig.8 Average capillary pressure curve of high permeability sandstone gas layer in Bohai oil field，China

從圖5～圖8可以看出，無(wú)論是J函數(shù)新分形式(26)還是冪率式(23)，在大孔隙段擬合效果均不太理想，這是由于毛管壓力測(cè)試過(guò)程中的麻皮效應(yīng)導(dǎo)致[6]，即壓汞初期測(cè)試點(diǎn)反應(yīng)巖樣表面凹凸不平的孔，未反應(yīng)孔隙結(jié)構(gòu)的分形特征。

4 結(jié)論

1)基于分形理論，推導(dǎo)出現(xiàn)有J函數(shù)冪率式的經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系，該式的適用條件是分形維數(shù)小于3和殘余潤(rùn)濕相飽和度下最小毛細(xì)管半徑趨于0，解釋了其廣泛適用于中高滲巖心的原因；

2)基于分形理論，推導(dǎo)出適用于差孔隙分選儲(chǔ)層的J函數(shù)分形表達(dá)式，其適用條件是分形維數(shù)大于3并小于5，殘余潤(rùn)濕相飽和度下最小毛細(xì)管半徑大于0，對(duì)應(yīng)該類儲(chǔ)層的孔喉分布特征，通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)證實(shí)分形表達(dá)式和參數(shù)范圍控制可以有效提高該類巖心或儲(chǔ)層的J函數(shù)回歸精度，確定性系數(shù)R2平均可提高0.20，達(dá)到0.99；

3)針對(duì)孔隙分選差的儲(chǔ)層，J函數(shù)分形式的新分形式反求出的單個(gè)樣品毛管壓力曲線精度較冪率型損失小，從而能夠有效提高該類儲(chǔ)層多個(gè)巖心樣品的平均毛管壓力曲線的計(jì)算精度。