基于二階滑模控制的定頻Buck數(shù)字電源設(shè)計(jì)

侯元祥 巫慶輝 蔡健哲

（渤海大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 錦州 121000）

0 引言

隨著電源領(lǐng)域及微機(jī)控制技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)字電源受到了越來越多人的關(guān)注，數(shù)字控制具有靈活、基準(zhǔn)調(diào)節(jié)簡單、精度高等優(yōu)勢，正逐漸取代傳統(tǒng)模擬控制[1]。數(shù)字電源的工作點(diǎn)不定，對輸出的瞬態(tài)響應(yīng)要求比較高，常規(guī)線性控制器是基于小信號(hào)模型設(shè)計(jì)的，被控變換器只有在特定條件下才能工作在最優(yōu)狀態(tài)，因而對于工作范圍較寬的數(shù)字電源，無法利用傳統(tǒng)的局部線性化方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。滑?？刂仆ǔ＞哂谐錾拇笮盘?hào)處理能力，將其應(yīng)用在DC-DC變換器中，可以使電力電子變換器在更大的工作范圍內(nèi)具備較高的性能[2-3]。

滑?？刂圃贒C-DC變換器中的首次應(yīng)用出現(xiàn)于1983年Bilalovic等人發(fā)表的文獻(xiàn)[4]中，作者論證了在降壓變換器（Buck）中使用滑?？刂频目尚行?，隨后的30多年，該領(lǐng)域得到了長足發(fā)展。目前該領(lǐng)域主要可分為兩個(gè)大方向：可變頻率控制與固定頻率等效脈沖寬度調(diào)制（pulse width modulation,PWM）控制。

理想滑模控制器需要工作在無窮大頻率處，因而可變頻率滑模控制器更加易于實(shí)現(xiàn)，其中具有代表性的方法有滯環(huán)滑?？刂破鱗5]、電壓電流混合滑?？刂破鱗6-7]、分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鱗8]等，但由于開關(guān)頻率不固定，變換器中儲(chǔ)能電感與濾波電容的參數(shù)選取比較困難，且很難解決印制電路板（printed circuit board, PCB）設(shè)計(jì)中的電磁干擾、高次諧波吸收問題。

為了解決上述問題，有學(xué)者提出了定頻滑?？刂破鳎渲邪ㄗ赃m應(yīng)滯環(huán)滑?？刂破鱗9]、PWM等效滑?？刂破鱗10-11]、定頻模糊邏輯滑模控制器[12]等。此類控制器嚴(yán)格意義上屬于間接滑模控制器，滑?？刂坡勺罱K會(huì)等效為功率器件的占空比。該方法解決了開關(guān)頻率不固定的問題，但等效控制概念的引入降低了滑模控制器魯棒性和調(diào)節(jié)性能。文獻(xiàn)[13-15]提出了具有積分項(xiàng)及二重積分項(xiàng)的滑模控制器，進(jìn)一步提高了間接滑?？刂破鞯姆€(wěn)態(tài)性能，并給出了在Buck變換器中的仿真結(jié)果。

為了進(jìn)一步提高控制器動(dòng)態(tài)性能、減小系統(tǒng)超調(diào)，本文基于定頻積分滑?？刂破鞯脑?，增加誤差的二階導(dǎo)數(shù)作為附加滑模面，構(gòu)成二階滑?？刂破?。此外，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，受輸出電壓紋波及采樣電路的噪聲影響，采用差分求取導(dǎo)數(shù)信息的方法極易受高頻噪聲干擾，致使導(dǎo)數(shù)信號(hào)的信噪比較低，因此本文利用高階跟蹤微分器（tracking differentiator,TD）來獲得輸出電壓的各階導(dǎo)數(shù)。

1 同步Buck電路數(shù)學(xué)模型的建立

同步Buck電路拓?fù)淙鐖D1所示，采用兩個(gè)電力電子器件Q1、Q2作為開關(guān)，工作時(shí)兩個(gè)開關(guān)管處于互補(bǔ)狀態(tài)，相比于傳統(tǒng)Buck電路，同步Buck電路無續(xù)流二極管，可以提高效率，此外利用金屬氧化物半導(dǎo)體場效應(yīng)晶體管（metal oxide semiconductor field effect transistor, MOSFET）雙向?qū)ǖ奶匦裕紹uck電路在全狀態(tài)下均工作于電感電流連續(xù)模式（continous conduction mode, CCM），對于控制器的設(shè)計(jì)更加有利。

圖1 同步Buck電路拓?fù)?/p>

采用狀態(tài)空間平均法進(jìn)行建模，引入開關(guān)變量u，當(dāng)Q1打開、Q2關(guān)閉時(shí)，u=1，反之則u=0。取x1為電感電流，x2為電容電壓，得到Buck電路的系統(tǒng)狀態(tài)方程[7]為

式中：Vin為電源電壓；L為Buck電路儲(chǔ)能電感；C為儲(chǔ)能電容；RL為負(fù)載電阻。該系統(tǒng)屬于典型的時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)受負(fù)載電阻及開關(guān)狀態(tài)影響。

2 定頻積分滑模在Buck電路中的應(yīng)用

嚴(yán)格意義上的滑模變結(jié)構(gòu)控制器需要工作于開關(guān)頻率無窮大的狀態(tài)，為了固定開關(guān)頻率，通常利用等效控制原理，對滑?？刂坡蛇M(jìn)行間接變換，使之適用于傳統(tǒng)的定頻PWM控制。此時(shí)控制器屬于準(zhǔn)滑模控制，為了保證等效控制律的性能，通常額外增加積分環(huán)節(jié)[12-13]，即滑模面由誤差、誤差一階導(dǎo)數(shù)、誤差積分項(xiàng)組成，則有

式中：x1為電壓誤差；x2為電壓誤差變化率；x3為電壓誤差的積分；Vout為Buck電路輸出電壓，忽略電容C的內(nèi)阻，則此處Vout=VC，將式（1）代入式（2），得到Buck電路的狀態(tài)空間方程為

整理成標(biāo)準(zhǔn)形式為

滑模面瞬時(shí)狀態(tài)軌跡可描述為

式中，J=[a1a2a3]，a1、a2、a3均為滑動(dòng)系數(shù)。

為了得到等效控制律，需要將式（3）對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)設(shè)為0，利用不變性條件[10]求出等效控制信號(hào)ueq，它是離散開關(guān)變量u的等效平均值，同時(shí)等同于功率器件PWM的占空比，令JAx+JBueq+D=0，得到等效控制函數(shù)為

表述為控制框圖形式如圖2所示。

圖2 Buck電路一階滑?？刂瓶驁D

圖2中，β1、β2為分壓網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償系數(shù)，可以看出，等效后的滑?？刂坡?，與傳統(tǒng)的比例微分（PD）控制器類似，但是多了輸入電壓Vin與輸出電壓Vout分量，這些分量的出現(xiàn)歸因于附加積分滑模面的作用及反饋的非線性，因此，相比于傳統(tǒng)的線性控制器，滑?？刂破骺梢栽谳^寬的工作范圍內(nèi)仍然保持控制器的魯棒性。

2.1 改進(jìn)后的二階積分滑?？刂破?/h3>

數(shù)控電源通常不具備真正的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，其輸出電壓及負(fù)載范圍跨度非常大，經(jīng)過仿真分析發(fā)現(xiàn)，在某些工作狀態(tài)下，傳統(tǒng)的滑?？刂坡稍趹?yīng)用過程中存在超調(diào)、誤差收斂慢的現(xiàn)象，由于增加控制器的階數(shù)通?？梢愿纳葡到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，所以本文對傳統(tǒng)的滑?？刂破鬟M(jìn)行了改進(jìn)，增加了誤差的二階導(dǎo)數(shù)作為附加滑模面，改進(jìn)后的二階滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)為

將式（1）代入式（7），得到狀態(tài)空間方程為

利用不變性條件得到改進(jìn)后的滑模控制器等效控制函數(shù)為

相比于傳統(tǒng)的一階滑?？刂破?，二階滑?？刂破髌涞刃Э刂坡芍泻休敵鲭妷旱亩A導(dǎo)數(shù)，從經(jīng)典控制理論來看，引入高階導(dǎo)數(shù)，會(huì)在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中形成零點(diǎn)，間接增加了系統(tǒng)的等效阻尼比，可以抑制超調(diào)以改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。

2.2 滑模控制器存在條件與穩(wěn)定性分析

為了保證滑?？刂破鞣€(wěn)定，滑模系數(shù)必須滿足滑模運(yùn)動(dòng)的存在條件，即局部可達(dá)性條件，如式（10）所示。

式（10）可以表示為

將式（8）代入式（11）進(jìn)行求解，用u=1替換，u=0替換，得到滑模控制器的存在條件為

為了保證滑模運(yùn)動(dòng)的存在，滑動(dòng)系數(shù)a1、a2、a3、a4應(yīng)滿足式（12）。

在滿足滑模運(yùn)動(dòng)的存在條件后，為了保證控制器穩(wěn)定，需要根據(jù)期望的動(dòng)態(tài)性能來設(shè)計(jì)滑模系數(shù)，令滑模軌跡S=0，即

對式（13）兩邊取微分，可得到滑模軌跡方程為

式（14）為標(biāo)準(zhǔn)的三階系統(tǒng)，可根據(jù)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念或借助線性系統(tǒng)分析工具進(jìn)行分析與參數(shù)整定，進(jìn)而獲得期望的滑模軌跡動(dòng)態(tài)性能，在此本文不做深入探討。

2.3 線性跟蹤微分器在滑模控制中的應(yīng)用

由上述分析可知，二階滑模控制的實(shí)現(xiàn)主要在于如何準(zhǔn)確獲得輸出電壓Vout的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由于Buck電路本身存在輸出電壓紋波，電壓采樣過程又極易受放大器噪聲及量化噪聲影響，傳統(tǒng)采用差分代替微分的方法得到的導(dǎo)數(shù)信息中含有大量噪聲，因此本文將跟蹤微分器應(yīng)用到二階滑?？刂破髦?。

線性跟蹤微分器的一般形式為[16-17]

式中：v、y為線性跟蹤微分器的輸入、輸出；s為微分算子；r為跟蹤微分器的速度因子，決定了跟蹤微分器的帶寬，取n=3時(shí)，可得到3階跟蹤微分器。將其寫為狀態(tài)變量表示為

設(shè)采樣步長為h，將其離散化為

式中，f為中間變量。當(dāng)r取值合適時(shí)，可近似有

即通過式（18）可以得到輸入信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)。

圖3為三階線性跟蹤微分器的仿真效果，輸入信號(hào)為v(t)=sint的正弦信號(hào)，為了驗(yàn)證跟蹤微分器的噪聲抑制能力，原始信號(hào)加入幅值為0.004的白噪聲，采樣間隔h=0.001s，速度因子r=20。

圖3 三階線性跟蹤微分器仿真效果

圖3可以看出，跟蹤微分器能較好地得到原始信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)，滯后現(xiàn)象并不明顯，且原始信號(hào)中的高頻噪聲沒有被放大，相比于傳統(tǒng)差分形式的微分器，線性跟蹤微分器具有更強(qiáng)的噪聲抑制能力，特別適用于從被噪聲污染的原信號(hào)中提取微分信號(hào)。

3 樣機(jī)搭建及結(jié)果分析

基于前文所述，改進(jìn)后的Buck電路二階滑?？刂破骺驁D如圖4所示。

為了驗(yàn)證本文所提算法的可行性，搭建了Buck電路樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖5所示。

其中開關(guān)管容量為500V、20A，型號(hào)為IRFP460，主控芯片采用STM32G474單片機(jī)，該單片機(jī)具有170MHz的主頻、硬件數(shù)學(xué)加速器、高分辨率PWM及16位模數(shù)轉(zhuǎn)換器，適用于高精度數(shù)字電源控制。實(shí)驗(yàn)采用艾德克斯1 500W電子負(fù)載并利用其同步觸發(fā)功能進(jìn)行階躍帶載測試，利用USB總線將實(shí)驗(yàn)結(jié)果上傳至PC進(jìn)行數(shù)據(jù)繪制與分析，此外為了減小輸入電壓波動(dòng)對控制器性能的影響，前端采用功率因數(shù)校正電路（power factor correction, PFC）進(jìn)行穩(wěn)壓。Buck電路設(shè)計(jì)參數(shù)見表1。

圖4 改進(jìn)Buck電路二階滑模控制器框圖

圖5 Buck電路樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

表1 Buck電路設(shè)計(jì)參數(shù)

為了綜合考察電源的各項(xiàng)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)過程覆蓋整個(gè)電源的功率范圍，包括空載與滿載，期望輸出電壓及負(fù)載電流擾動(dòng)情況如圖6所示。

圖6 期望電壓與負(fù)載擾動(dòng)電流波形

實(shí)驗(yàn)中模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣頻率與PWM頻率相同，為50kHz，線性跟蹤微分器速度因子取r=15 000。圖7為分別采用線性跟蹤微分器與傳統(tǒng)的向后差分法得到的輸出電壓導(dǎo)數(shù)信息結(jié)果對比。

從圖7可以看出，由于采樣過程引入了隨機(jī)噪聲，傳統(tǒng)向后差分法得到的導(dǎo)數(shù)信息其信噪比較低，尤其是求取二階導(dǎo)數(shù)信息時(shí)，噪聲被嚴(yán)重放大，而跟蹤微分器對于噪聲抑制的效果較好，求得的導(dǎo)數(shù)信息受數(shù)據(jù)采樣噪聲的影響較小，且滯后現(xiàn)象并不明顯，這對于后續(xù)滑模控制器的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

為了避免系統(tǒng)超調(diào)同時(shí)考慮到硬件上的限制，根據(jù)式（14），按照欠阻尼系統(tǒng)來設(shè)計(jì)滑動(dòng)系數(shù)，為了橫向?qū)Ρ瓤刂破餍阅?，取一階與二階滑?？刂破髦械南禂?shù)KP1、KP2相等，其中KP1=0.019，KP2=?1.3×10?5，改進(jìn)的二階滑?？刂破髌涠A導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)KP3=?1.0×10?9。圖8（a）為仿真過程輸出電壓波形，圖8（b）為電源啟動(dòng)時(shí)0～5ms的局部細(xì)節(jié)，圖8（c）為施加階躍擾動(dòng)時(shí)10～20ms的局部細(xì)節(jié)。

圖7 輸出電壓一階與二階導(dǎo)數(shù)信息

圖8 Buck電路輸出電壓響應(yīng)曲線

動(dòng)態(tài)性能對比見表2和表3。

表2 一階滑?？刂破鲃?dòng)態(tài)性能

由表2和表3可以看出，與傳統(tǒng)一階滑?？刂破飨啾?，改進(jìn)后的二階滑模控制器，在施加50V階躍指令擾動(dòng)時(shí)，輸出電壓超調(diào)現(xiàn)象消失，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，200V階躍指令擾動(dòng)時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間同樣縮短，施加5A負(fù)載電流擾動(dòng)時(shí)，電壓跌落更低，動(dòng)態(tài)效果更好。

綜上所述，本文提出的二階滑?？刂破?，控制性能更加優(yōu)越，跟蹤微分器的引入解決了實(shí)際過程中采樣噪聲對導(dǎo)數(shù)求取過程的影響，使其更具實(shí)際應(yīng)用意義。

4 結(jié)論

本文針對同步Buck型寬工作范圍數(shù)控降壓電源，提出了一種二階滑模控制器，其滑模面由電壓誤差、電壓誤差一階導(dǎo)數(shù)、電壓誤差二階導(dǎo)數(shù)、電壓誤差積分構(gòu)成，并搭建了樣機(jī)進(jìn)行算法驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)一階滑?？刂破飨啾龋A滑?？刂破鲃?dòng)態(tài)性能更好，解決了控制器的快速性與超調(diào)量之間的矛盾。

此外，本文引入了跟蹤微分器的概念，用于獲得輸出電壓的各階導(dǎo)數(shù)信息，節(jié)省了額外的電流傳感器，解決了傳統(tǒng)微分器對于采樣噪聲敏感的問題，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。值得注意的是，滑?？刂萍案櫸⒎制鞅阌陔x散控制，對于數(shù)字控制系統(tǒng)比較友好，對于模擬控制系統(tǒng)則實(shí)現(xiàn)起來較為復(fù)雜。