分段Weibull時間函數(shù)開采沉陷動態(tài)預(yù)計研究

張永勝，胡海峰，蔡音飛，賀福帥

(太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，太原 030024)

地下開采是一個復(fù)雜的動態(tài)平衡過程，對其進行動態(tài)預(yù)測不僅可以實時掌握各個點的變形程度及位置，還可為構(gòu)(建)筑物的保護提供可靠的數(shù)據(jù)支撐。目前我國使用的預(yù)測方法主要是概率積分法，但是概率積分法適用于靜態(tài)預(yù)計及地表移動變形穩(wěn)定后的沉陷監(jiān)測，無法動態(tài)化的表述變形過程。

動態(tài)預(yù)計的函數(shù)主要有：Knothe時間函數(shù)、Weibull時間函數(shù)、雙曲線時間函數(shù)、Gompertz時間函數(shù)、Logistic時間函數(shù)、正態(tài)分布時間函數(shù)等。我國主要采用Knothe時間函數(shù)，而研究發(fā)現(xiàn)其不太符合實際地表下沉[1-2]；常占強等[3]提出了分段Knothe時間函數(shù)，提高了預(yù)測精度；張兵等[4-5]對分段Knothe時間函數(shù)進行了優(yōu)化，解決了關(guān)鍵點理論誤差以及終點無法收斂于1的問題，進一步提高了精度；劉玉成等[6-7]針對Knothe時間函數(shù)存在的不足，提出了冪指數(shù)Knothe時間函數(shù)模型；為了解決分段Knothe函數(shù)的時間影響系數(shù)c等參數(shù)為固定值的問題，郭旭煒等[8]對其進行改進，提出了一種新的分段Knothe時間函數(shù)；劉玉成等[9]將Weibull時間函數(shù)與概率積分法結(jié)合，證明Weibull時間函數(shù)可以較好地表述測點下沉過程；王小華等[10]將Weibull時間函數(shù)與負指數(shù)法進行結(jié)合，推導(dǎo)出了地表下沉、傾斜、曲率、水平移動、水平變形等公式，并通過實例進行驗證，結(jié)果表明兩者具有很好的一致性。在日常實際應(yīng)用中，筆者發(fā)現(xiàn)Weibull時間函數(shù)在動態(tài)預(yù)計過程中存在一些不足：曲線初始期與實際下沉軌跡不一致；關(guān)鍵節(jié)點函數(shù)值與理論值不符。本文使用分段函數(shù)思想對該函數(shù)優(yōu)化，構(gòu)建了一種精度更高、更符合實際的分段Weibull時間函數(shù)，以山西某礦3214工作面實測數(shù)據(jù)為例對優(yōu)化后的分段Weibull時間函數(shù)進行了精度驗證，并與Weibull時間函數(shù)、Knothe時間函數(shù)和優(yōu)化后的分段Knothe時間函數(shù)[4]進行了對比分析。

1 Weibull時間函數(shù)及其分析

1.1 Weibull時間函數(shù)

地下開采引起的地表點移動變形是一個復(fù)雜的四維變化過程，在Knothe時間函數(shù)的基礎(chǔ)上，對t增加一個冪指數(shù)k能夠更好地描述此過程，也就是文獻[10]中提到的Weibull時間函數(shù)，函數(shù)模型如下：

Wt=Wm(1-e-ctk) .

(1)

式中：Wm為沉陷點穩(wěn)定后的最大沉降量，mm；t為沉陷時間；c、k都是與采空區(qū)上覆巖層地質(zhì)條件有關(guān)的參數(shù)。

對式(1)求導(dǎo)可得沉陷點下沉速度的函數(shù)模型為：

vt=Wmcktk-1e-ctk.

(2)

對式(2)求導(dǎo)可得沉陷點加速度的函數(shù)模型為：

at=Wmcke-ctk[(k-1)tk-2-ckt2(k-1)] .

(3)

令式(3)等于0，解出

(4)

結(jié)合式(1)-式(4)，做出Weibull時間函數(shù)模型的下沉、下沉速度以及下沉加速度的曲線圖，如圖1所示。

圖1 Weibull函數(shù)下沉、下沉速度和下沉加速度曲線圖Fig.1 Weibull function subsidence, subsidence velocity, and subsidence acceleration curve

由圖1可知，Weibull函數(shù)模型在t=0時刻，沉陷值、下沉速度、加速度都為0；在(0，t0)時間段，沉陷值和下沉速度持續(xù)增加，加速度為大于0的正數(shù)；在(t0，∞)時間段，沉陷值繼續(xù)增加，下沉速度減小至0，加速度為小于0的負數(shù)；在t=∞時刻，沉陷值達到最大，下沉速度、加速度都為0.沉陷點的下沉速度由0→vmax→0變化，加速度由0→+amax→0→-amax→0變化，與實際變化過程相符，且大致呈S型分布，證明能夠用于沉陷區(qū)的動態(tài)預(yù)測。

1.2 Weibull時間函數(shù)在動態(tài)預(yù)測中的局限性

利用Weibull時間函數(shù)對山西某礦3214工作面實測下沉曲線進行擬合，Weibull函數(shù)擬合出的沉陷點下沉過程與實測曲線相差較大，與實際不符，如圖2所示。表明Weibull時間函數(shù)模型無法準(zhǔn)確表述地表下沉的變化情況。分析其原因如下：

1) 從圖2來看，這個函數(shù)的主要問題是初始期沒有斜率變大的階段，這就導(dǎo)致地表沉陷點的預(yù)測值提升過快，而實際上當(dāng)?shù)叵麻_采產(chǎn)生的影響波及到地表點之后，地表點的沉陷值是緩慢增加的，在圖像上則表現(xiàn)為初始斜率較小且斜率逐漸增長，經(jīng)過一段時間，地表點的下沉速度(圖像斜率)達到最大，再往后逐漸減小到0，直至地表趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

2) Weibull時間函數(shù)在下沉開始和下沉結(jié)束時刻的函數(shù)值等于0和1，符合實際情況，但在其他關(guān)鍵點(如下沉速度最大時刻)處的函數(shù)值與理論值不符。

圖2 Weibull函數(shù)預(yù)測下沉與實測下沉對比圖Fig.2 Comparison diagram of Weibull function’s predicted subsidence and measured subsidence

2 分段Weibull時間函數(shù)

2.1 動態(tài)預(yù)計分段Weibull時間函數(shù)的建立

針對上述Weibull時間函數(shù)的局限性，筆者利用常占強等[3]提出的分段函數(shù)思想，將沉陷點的下沉過程分為加速下沉和減速下沉兩個階段，假設(shè)其在時序上和數(shù)值上是相等的，以沉陷點的最大下沉速度時刻τ(以d為單位)為分界點，對這兩個階段分別建模，并結(jié)合偏差改正、生長函數(shù)模型等手段消除理論誤差，提出了一種新的、精度更高的分段Weibull時間函數(shù)：

(5)

式中：t為沉陷時間；τ為沉陷點最大下沉速度時刻；T為沉陷總時間；c為時間影響系數(shù)；k為冪指數(shù)參數(shù)，與上覆巖層地質(zhì)條件有關(guān)。

對式(5)求一階導(dǎo)可得沉陷點下沉速度的函數(shù)模型為：

(6)

化簡得：

(7)

對式(5)求二階導(dǎo)可得沉陷點加速度的函數(shù)模型為：

(8)

化簡得：

(9)

根據(jù)上述函數(shù)模型，令Wm=1，繪制出在τ=200 d時分段Weibull時間函數(shù)下沉曲線、下沉速度曲線、下沉加速度曲線如圖3、4所示。圖3中下沉曲線表明，曲線初始期斜率逐漸增加，衰退期斜率逐漸減小，沉陷值處于0～1之間，斜率最大處即最大下沉速度時刻函數(shù)值為0.5Wm，形態(tài)與理想時間函數(shù)基本一致；下沉速度曲線圖中，下沉速度經(jīng)歷了0→vmax→0變化過程，且在活躍期速度增加迅速；從圖4下沉加速度曲線可以看出，下沉加速度趨勢符合實際情況，在t=0到t=τ時間段，從0增加到+amax，在t=τ到t=T時間段，從-amax減小到0，但分布情況與實際不符，初始期和衰退期加速度為0的過程較長，加速度變化較快，縮減了變形時間，表明其地表點移動具有突發(fā)性。綜上所述，分段Weibull時間函數(shù)模型符合理想時間函數(shù)具有的特征，能夠真實客觀地反映地形切割強烈的黃土丘陵地區(qū)地表點的下沉過程。

圖3 修正后下沉、下沉速度曲線Fig.3 Corrected subsidence and subsidence velocity curves

圖4 修正后下沉加速度曲線Fig.4 Corrected subsidence acceleration curve

2.2 最大下沉速度時刻τ

最大下沉速度時刻τ是指以首次觀測時刻或工作面開始回采時刻為起點，沉陷范圍內(nèi)地表點達到最大下沉速度時所經(jīng)歷的時間差。

以每一期沉陷值與其最大值的比值(即下沉系數(shù))為縱坐標(biāo)，沉陷時間為橫坐標(biāo)，繪制下沉系數(shù)關(guān)于沉陷時間的函數(shù)曲線。依據(jù)分段思想，沉陷值在τ時刻即下沉速度最大時刻沉陷值為0.5Wm，由此可確定函數(shù)圖像上縱坐標(biāo)為0.5所對應(yīng)的橫坐標(biāo)值即為τ.圖5中，以山西某礦33K2工作面A18號點為例，依據(jù)上述方法求取的τ值為113 d，但由于該礦區(qū)屬于山西丘陵黃土地區(qū)，實際上下沉速度最大時刻τ為118 d，兩者略有差別，使用兩個τ值分別進行預(yù)測，計算它們的相對誤差，發(fā)現(xiàn)只有0.45%的偏差，對預(yù)測結(jié)果影響較小，表明使用上述方法求取τ值符合沉陷區(qū)動態(tài)預(yù)計的精度要求。

圖5 τ的確定Fig.5 Determination of τ

求出本文研究礦區(qū)3214，3215等5個工作面各個地表點對應(yīng)的τ值，分析發(fā)現(xiàn)其與距開切眼距離x(即采動程度)存在多項式關(guān)系，對τ和x進行回歸分析，得到相關(guān)性較好的回歸方程：

τ=3.022 7×10-4×x2+0.178 7x+110.628 9 .

(10)

利用上述回歸方程，即可預(yù)測出地表任意點最大下沉速度時刻τ值。

圖6 τ關(guān)于x的回歸方程Fig.6 Regression equation of τ with respect to x

2.3 參數(shù)確定

研究表明，在深厚比較大(一般大于30)的情況下，地下開采引起的地表動態(tài)移動變形具有明顯的連續(xù)性，且開采沉陷預(yù)計模型參數(shù)與地質(zhì)采礦條件有著密不可分的關(guān)系[11-14]，具有各向異性，因此在時間影響系數(shù)c和冪指數(shù)參數(shù)k兩個參數(shù)調(diào)控下，動態(tài)預(yù)計模型的精度會更高。

2.3.1時間影響系數(shù)c

上覆巖塊硬度越大，深厚比越小，巖塊的碎漲系數(shù)越小，相應(yīng)的時間影響系數(shù)c也就越?。环粗酱?。開采動態(tài)預(yù)計模型具有相似推廣性，因此在相同地質(zhì)條件下，時間影響系數(shù)c可用經(jīng)驗類比法確定，也可用以下公式計算[15-16]：

(11)

(12)

式中：P為覆巖參數(shù)；H為開采深度，m；h為松散層厚度，m；γ為覆巖平均容重，kg/m3；E為覆巖平均彈性模量，MPa；σt為覆巖平均抗拉強度，MPa；υ為覆巖平均泊松比。

2.3.2冪指數(shù)參數(shù)k

假定Wm為單位值，令τ=200 d，繪制不同k對應(yīng)的下沉曲線見圖7.由圖7可知，在時間影響系數(shù)c取定值的情況下，參數(shù)k控制預(yù)計點的變形路徑，與起止大小無關(guān)，顯然，這樣更能客觀地描述開采動態(tài)過程。依據(jù)經(jīng)驗類比或上述公式確定好時間影響系數(shù)c后，用最小二乘法擬合冪指數(shù)參數(shù)k，如果存在足夠的實測數(shù)據(jù)，也可通過類比確定k值。

圖7 參數(shù)k對下沉曲線的影響Fig.7 Influence of parameter k on the subsidence curve

3 實例驗證

山西某礦3214工作面地面位于丘陵地帶，地形復(fù)雜，切割強烈，大部分被黃土覆蓋，且黃土沖溝發(fā)育，基巖在較大的黃土沖溝中出露，測區(qū)范圍內(nèi)北高南低最大高差達120 m，東西方向地勢平緩，3214工作面走向長1 214 m，傾向長156 m，煤層平均厚度1.98 m，平均傾角5.5 °，平均開采深度535.5 m，開采速度為2.5 m/d，開采方法為走向長壁后退式采煤方法。

3.1 單點實例驗證

為驗證優(yōu)化后Weibull時間函數(shù)模型的適用性，以3214工作面走向觀測線上的最大下沉點C39號點為研究對象，利用上述4種時間函數(shù)對其隨時間變化情況分別進行動態(tài)預(yù)計，預(yù)計時通過回歸方程求得C39號點對應(yīng)的最大下沉速度時刻τ=230 d，模型參數(shù)的選取采用最小二乘擬合法，確定出分段Weibull時間函數(shù)的參數(shù)c=0.000 4，k=1.67，Weibull時間函數(shù)的參數(shù)c=0.000 4，k=1.67，Knothe時間函數(shù)的參數(shù)c=0.02.預(yù)計結(jié)果如圖8所示。

圖8 最大下沉點C39號點預(yù)測對比Fig.8 Prediction comparison of the maximum subsidence point C39

從圖8可以看出，分段Weibull時間函數(shù)預(yù)測的下沉曲線與實測下沉曲線最為接近，優(yōu)化后的分段Knothe時間函數(shù)次之，未優(yōu)化的Weibull時間函數(shù)和Knothe時間函數(shù)擬合度最差，為了定量分析4種函數(shù)模型預(yù)測的準(zhǔn)確性，利用式(13)、(14)計算均方誤差m和相對誤差f，將其作為精度評定的指標(biāo)，見表1.

(13)

(14)

式中：d為地面點預(yù)測沉陷值與實測沉陷值之差；n為觀測次數(shù)；Wm為沉陷點穩(wěn)定后的最大沉降量，mm.

表1 不同時間函數(shù)精度對比Table 1 Accuracy comparison of different time functions

通過表1可知，采用分段Knothe時間函數(shù)、Weibull、Knothe時間函數(shù)進行預(yù)測的相對誤差分別為4.95%、42.57%、52.51%，而采用分段Weibull時間函數(shù)進行預(yù)測，相對誤差為1.48%，由此可見，使用分段Weibull時間函數(shù)進行動態(tài)預(yù)計具有更高的適用性。

3.2 主斷面實例驗證

為了進一步驗證優(yōu)化后Weibull時間函數(shù)模型的可靠性，采用分段Weibull時間函數(shù)對3214工作面走向主斷面進行預(yù)計，對比分析實際測量值與預(yù)計結(jié)果，如圖9所示。為確定預(yù)計精度，分別計算11期測量值和預(yù)測值之間的均方誤差和相對誤差，結(jié)果見表2.對走向主斷面而言，最大均方誤差為7.61 mm，最大相對誤差為5.25%，表明預(yù)計曲線與實測曲線高度一致，且最終預(yù)計值與實測最大下沉值相差很小，更直接地證實了本文所提出的分段Weibull時間函數(shù)模型的可靠性。

圖9 走向主斷面動態(tài)預(yù)計對比Fig.9 Dynamic comparison of strike main section

表2 走向主斷面精度分析Table 2 Accuracy analysis of strike main section

4 結(jié)論

本文在Weibull時間函數(shù)的基礎(chǔ)上，建立了分段Weibull時間函數(shù)模型，結(jié)合工程實例驗證了本模型的可靠性，并得出以下結(jié)論：

1) Weibull時間函數(shù)預(yù)測開采沉陷，其下沉值、下沉速度、下沉加速度等物理量的變化比較符合實際動態(tài)下沉過程，但是存在一定的局限性：下沉曲線在初始期斜率變化太快，在最大下沉速度時刻處的函數(shù)值不為0.5.

2) 提出分段Weibull時間函數(shù)，優(yōu)化后函數(shù)的下沉、下沉速度和下沉加速度曲線形態(tài)符合理想時間函數(shù)特征，利用圖解法求取最大下沉速度時刻τ，建立了τ與距開切眼距離x的回歸方程，并對巖性參數(shù)c和k的確定方法進行了探討。

3) 利用優(yōu)化后的Weibull時間函數(shù)對山西某礦3214工作面的最大下沉點進行預(yù)測，將預(yù)測結(jié)果與Weibull、Knothe、優(yōu)化后分段Knothe時間函數(shù)的預(yù)測值及實測值進行對比，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后Weibull時間函數(shù)的預(yù)測精度分別提高了41.09%、51.03%和3.47%；對比分析了3214工作面走向主斷面的11次預(yù)測結(jié)果和實測值，最大相對誤差為5.25%，表明本文函數(shù)模型能夠很好地預(yù)測地表動態(tài)下沉，進一步證明了分段Weibull時間函數(shù)模型的適用性和可靠性。