巧妙嵌入“黃金” 成就試題“精彩”

王勇 杜曉霞

近期研究全國各地高考模擬試題，發(fā)現(xiàn)一些有關(guān)“黃金”的數(shù)學題目，其中客觀題設(shè)計得小巧玲瓏、韻味十足;主觀題命制得大氣灑脫、氣勢磅礴，令人拍案叫絕！此類試題是考查學生的遷移能力、探究能力及核心素養(yǎng)的極好素材，具有很好的區(qū)分和選拔功能.現(xiàn)歸納整理出來，供參考.

1 黃金分割點

例1 （2020 ·武漢市調(diào)考題）設(shè)點P是線段MN上一點，NP>MP，若NP2=MP·MN，則稱點P是線段MN的黃金分割點.如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，BD>AD，若點D是線段AB的黃金分割點，給出下列說法：

①AC=BD;②S2△CBD=S△ADC·S△ABC;

③sinB=5-12;④tanA=2.

其中正確的有（）.

A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④

解析 若點D是線段AB的黃金分割點，則有BD2=AD·AB，BDAB=ADBD=5-12.對于①，由題可知Rt△ACD∽Rt△ABC，可得AC2=AD·AB，又BD2=AD·AB，所以AC=BD，①正確.

對于②，因為BD2=AD·AB，所以S2△CBD=12·CD·BD2=14CD2·BD2=14CD2·AD·AB=12·CD·AD·12·CD·AB=S△ADC·S△ABC，②正確.

對于③，由①知AC=BD，所以sinB=ACAB=BDAB=5-12，③正確.

對于④， 由①知AC=BD，所以cosA=ADAC=ADBD=5-12， sinA=1-cos2A=1-5-122=5-12，所以tanA=sinAcosA=5+12，④錯誤.故選C.

點評 本題緊扣“黃金分割點”的定義得到比例式，結(jié)合相似三角形、三角形的面積公式、解直角三角形及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得解.

例2 （2020 ·襄陽市模擬題）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使其中較長的一段AC是全長AB與另一段CB的比例中項，即滿足ACAB=BCAC=5-12.后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點.如圖2，在△ABC中，若點P，Q為線段BC的兩個黃金分割點， 設(shè)AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，則x1x2+y1y2=（）.

A. 5+12 B. 2

C. 5D. 5+1

解析 由題意可知PCBC=BPPC=5-12，BQBC=CQBQ=5-12，

所以BP=5-12PC，PC=5-12BC，CQ=5-12QB，BQ=5-12BC，

則AP=AB+BP=AB+5-12×5-12BC

=AB+3-52（AC-AB）=5-12AB+3-52AC，

同理，AQ=3-52AB+5-12AC，

而AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，

所以x1=5-12，y1=3-52，x2=3-52，y2=5-12，

故x1x2+y1y2=5-13-5+3-55-1=5，故選C.

點評本題以黃金分割數(shù)及黃金分割點為載體命制，主要考查平面向量的線性運算，對運算求解能力要求較高.

2 水平黃金點

例3 （2020 ·太原市模擬題）點M在曲線G：y=3lnx上，過M作x軸的垂線l，設(shè)l與曲線y=1x交于點N，若OP=OM+ON3（O為坐標原點），且點P的縱坐標為0，則稱點M為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的“水平黃金點”的個數(shù)為（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 設(shè)M（t，3lnt），則Nt，1t，所以O(shè)P=OM+ON3=2t3，lnt+13t，依題意可得lnt+13t=0.設(shè)g（t）=lnt+13t，則g′（t）=1t-13t2=3t-13t2，當013時，g′（t）>0，g（t）單調(diào)遞增.所以g（t）min=g13=1-ln3<0，又g1e2=-2+e23>0，g（1）=13>0，所以方程g（t）=lnt+13t=0有兩個不同的根，所以曲線G上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選C.

點評 本題設(shè)出點M，N的坐標，由題設(shè)條件得點P的坐標，由“水平黃金點”的定義得到方程lnt+13t=0.構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+13t，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性和最小值，結(jié)合零點存在性定理即可得解.3 黃金分割數(shù)

例4 （2020 ·隨州市模擬題）據(jù)傳公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)約為0.618，該數(shù)也可以表示為2sin18°.若m=2sin18°，m2+n=4，則1-2cos227°mn=.（用數(shù)字作答）

解析 1-2cos227°mn=1-2cos227°2sin18°4-4sin218°

=-cos54°2sin18°·2cos18°=-cos54°2sin36°=-cos54°2cos54°=-12.

點評 本題將m=2sin18°及n=4-m2=4-4sin218°代入所求式子中，再利用二倍角公式及誘導公式即可得解.

4 黃金三角形

例5 （2020 ·福州市質(zhì)檢題）頂角為36°的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，黃金三角形看起來既標準又美觀.如圖3所示，△ABC是黃金三角形，AB=AC，作∠ABC的角平分線交AC于點D，易知△BCD也是黃金三角形.若BC=1，則AB=;借助黃金三角形可計算sin234°=.（本題第一空2分，第二空3分）

解析已知∠A=36°，AB=AC，∠ABC=∠C=72°，BD為∠ABC的角平分線，所以∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=72°，所以△ABC∽△BCD，得ABBC=BCCD.

又AD=BD=BC=1，設(shè)AB=AC=x，則CD=x-1，所以x1=1x-1，解得x=5+12（負值舍去），即AB=5+12.

因為sin234°=sin180°+54°=-sin54°=-cos36°，

在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得cos36°=AB2+AC2-BC22AB·AC=5+122+5+122-122×5+12×5+12=5+14，所以sin234°=-5+14.

點評 本題第一個空根據(jù)三角形相似結(jié)合題設(shè)條件易得結(jié)果;第二個空根據(jù)誘導公式及余弦定理得解.本題是“雙空題”，順應(yīng)新高考的命題創(chuàng)新趨勢.

5 黃金五角星

例6 （2020·福建省質(zhì)檢題）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，也稱“黃金五角星”.在如圖4所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q為頂點的多邊形為正五邊形，且PTAT=5-12.下列關(guān)系中正確的是（）.

A. BP-TS=5+12RS

B. CQ+TP=5+12TS

C. ES-AP=5-12BQ

D. AT+BQ=5-12CR

解析 由題意，知BP-TS=TE-TS=SE，RSSE=PTAT=5-12，

所以SE=5+12RS，即BP-TS=5+12RS，故A正確;

CQ+TP=PA-PT=TA=5+12ST，故B錯誤;

ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB，故C錯誤;

AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，若AT+BQ=5-12CR成立，則SD=0，不合題意，故D錯誤.故選A.點評 本題緊扣正五角星的結(jié)構(gòu)特征和PTAT=5-12，利用平面向量的線性運算即可得解.

6 黃金矩形

例7 （2020·長沙市四校聯(lián)考題）長久以來，人們一直認為黃金分割比例是最能引起美感的比例，如果一個矩形的寬與長的比例是黃金分割比例5-125-12≈0.618，則這樣的矩形稱為黃金矩形，黃金矩形有一個特點：如果在黃金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黃金矩形（如圖5），已知圖中最小正方形的邊長為1，則矩形ABCD的長約為（）.

A.10.09B.11.85C.9.85D.11.09

解析 根據(jù)題意，如圖6，若圖中最小正方形HPNM的邊長為1，即HP=1，則矩形HPLJ中，LP=JH=15-12=5+12，則在矩形HJIF中，HF=JH5-12=5+122，同理可得FC=5+123，DC=5+124，

BC=5+125=6+25×6+25×5+132=56+245×5+132

=805+17632.因為5-12≈0.618，所以5≈2.236，所以BC≈80×2.236+17632=11.09.故選D.

點評 本題緊扣“黃金矩形”的定義并結(jié)合圖形求解，對運算求解能力要求較高.考查考生的閱讀理解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學運算.

7 黃金折扇

例8 （2020 ·長春市模擬題）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.如圖7，一般情況下，折扇可以看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當S1與S2的比值為5-12時，圖7扇面看上去形狀較為美觀，有人稱之為“黃金折扇”，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）.

A. 3-5πB. 5-1π

C. 5+1πD. 5-2π

解析 設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l1，圓心角的弧度數(shù)為α，圓面中剩余部分的弧長為l2.由扇形的面積公式和弧長公式，可得S1S2=12l1R12l2R=l1l2=αR（2π-α）R=α2π-α=5-12，解得α=3-5π.故選A.

點評 本題是利用數(shù)學文化“折扇”為背景命制的與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，把雅致秀氣的折扇與扇形的面積相交匯，體現(xiàn)了美育的素養(yǎng)導向.求解的突破口是熟記扇形的面積公式，把半徑相同的兩扇形的面積比轉(zhuǎn)化為兩扇形的圓心角的比，再利用它們的圓心角的和為2π，即可得小扇形的圓心角的弧度數(shù).

8 黃金螺旋線

例9 （2019·山西省五市聯(lián)考題） 若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=1，an+2=an+an+1，則稱數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列，圖8斐波那契螺旋線是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例，故而斐波那契螺旋線也稱“黃金螺旋線”.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形中畫出若干個圓心角為90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線，如圖8所示的7個正方形的邊長分別為a1，a2，…，a7，在長方形ABCD內(nèi)任取一點，則該點不在任何一個扇形內(nèi)的概率為（）.

A. 1-103π156B. 1-π4C.1-17π26D. 1-68π273

解析 由題意可得數(shù)列{an}的前8項依次為1，1，2，3，5，8，13，21，所以長方形ABCD的面積為13×21=273，6個扇形的面積之和為π4（12+22+32+52+82+132）=68π，所以在長方形ABCD內(nèi)任取一點，該點不在任何一個扇形內(nèi)的概率P=1-68π273.故選D.

點評 本題根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義和斐波那契螺旋線的構(gòu)成，先算出長方形ABCD的面積和6個扇形的面積之和，注意到當計算事件A的概率P（A）比較困難時，可先計算事件A的對立事件A的概率P（A），再利用公式P（A）=1-P（A）即可得解.

9 黃金橢圓

例10 （2020 ·青島市模擬題）（多選題）我們通常稱離心率為5-12的橢圓為“黃金橢圓”.如圖9，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A1，A2，B1，B2為頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，P為橢圓上一點，則下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（）.

A.A1F1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A2成等比數(shù)列

B. ∠F1B1A2=90°

C. PF1⊥x軸，且PO∥A2B1

D.四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F1，F(xiàn)2

解析 因為C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），所以A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，-b），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

對于A，若A1F1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A2成等比數(shù)列，

則A1F1·F2A2=F1F22，所以（a-c）2=（2c）2，所以a-c=2c，所以e=13，不滿足題意，故A錯誤.

對于B，若∠F1B1A2=90°，則A2F12=B1F12+B1A22，所以（a+c）2=a2+a2+b2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍去），故B正確.

對于C，若PF1⊥x軸，且PO∥A2B1，則P-c，b2a，且kPO=kA2B1，即b2a-c=b-a，所以b=c.因為a2=b2+c2，所以e=ca=c2c=22，不滿足題意，故C錯誤.

對于D，四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F1，F(xiàn)2，即四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓的半徑為c， 所以ab=ca2+b2，所以c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，解得e2=3+52（舍去）或e2=3-52，所以e=5-12 ，故D正確.

故選BD.

點評 本題對每個選項都可以算出橢圓的離心率，只有當離心率為5-12時的橢圓才是“黃金橢圓”.本題是“多選題”，是新高考的標志性題型，敬請考生強化訓練，增強適應(yīng)性，坦然迎接新題型的挑戰(zhàn).

10 黃金雙曲線

例11 （2020 ·廣州市模擬題）我們把離心率為e=5+12的雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）稱為黃金雙曲線.

如圖10，已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，c=a2+b2），給出以下結(jié)論：圖10

①雙曲線x2-2y25+1=1是黃金雙曲線;

②若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線;

③若F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，A1，A2分別為左、右頂點，B1（0，b），B2（0，-b），且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線;

④若直線MN過雙曲線的右焦點F2，且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線.

其中正確結(jié)論的序號為.（將所有正確結(jié)論的序號都填上）

解析 對于①，a2=1，b2=5+12，則c2=a2+b2=3+52，e2=c2a2=3+52=5+122，所以e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故①正確.

對于②，b2=c2-a2=ac，整理得e2-e-1=0，解得e=5+12（負值舍去），所以雙曲線是黃金雙曲線，故②正確.

對于③，F(xiàn)1B12=c2+b2，B1A22=b2+a2，F(xiàn)1A22=a+c2，在Rt△F1B1A2中，F(xiàn)1B12+B1A22=F1A22，即c2+b2+b2+a2=（a+c）2，整理得b2=ac，由②可知e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故③正確.

對于④，易知F2（c，0），把x=c代入雙曲線的方程得c2a2-y2b2=1，解得y=±b2a，則NF2=b2a.因為∠MON=90°，所以由對稱關(guān)系知△MON為等腰直角三角形，所以∠ONF2=45°，所以△ONF2為等腰直角三角形，所以c=b2a，即b2=ac，由②可知e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故④正確.綜上，正確結(jié)論的序號為①②③④.

點評 本題對所給的四個結(jié)論，逐一計算雙曲線的離心率，只有當離心率為5+12時的雙曲線才是“黃金雙曲線”.考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學運算.

11 黃金拋物線

例12 （2020 ·湖北省七市聯(lián)考題）如圖11，由部分拋物線：y2=mx+1（m>0，x≥0）和半圓x2+y2=r2（x≤0）所組成的曲線稱為“黃金拋物線”，若“黃金拋物線”經(jīng)過點（3，2）和-12，32.

（1）求“黃金拋物線”的方程;

（2）設(shè)P（0，1）和Q（0，-1），過點P作直線l與“黃金拋物線”相交于A，P，B三點，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

解析 （1）因為 “黃金拋物線” 過點（3，2）和-12，32，所以r2=-122+322=1，22=3m+1，所以m=1.

所以“黃金拋物線”的方程為y2=x+1（x≥0）和x2+y2=1（x≤0）.

（2）假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0，

設(shè)直線l：y=kx+1（k≠0），聯(lián)立y=kx+1，y2=x+1，消去y，得k2x2+（2k-1）x=0，

所以xB=1-2kk2，yB=1-kk，即B1-2kk2，1-kk，所以kBQ=k1-2k，

由y=kx+1，x2+y2=1，消去y，得（k2+1）x2+2kx=0，

所以xA=-2kk2+1，yA=1-k2k2+1，即A-2kk2+1，1-k2k2+1，

所以kAQ=-1k，

因為QP平分∠AQB，所以kAQ+kBQ=0，

所以k1-2k-1k=0，解得k=-1±2，

由圖形可得k=-1-2應(yīng)舍去，所以k=2-1，

所以存在直線l：y=（2-1）x+1，使得QP平分∠AQB.

點評 本題第（1）問根據(jù)“黃金拋物線”經(jīng)過點（3，2）和-12，32易得結(jié)果;第（2）問是探究性問題，可先假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，經(jīng)分析得出kAQ+kBQ=0是破解問題的關(guān)鍵，結(jié)合圖形可求出直線l的斜率為2-1，進而可知存在直線l：y=2-1x+1，使得QP平分∠AQB.

12 黃金棱柱

例13 （2020 ·南寧市模擬題）如圖12所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中點.

（1）求證：平面A1EC⊥平面AA1C1C;

（2）若我們把平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為60°時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由;

（3）設(shè)AB=a，求三棱錐AA1EC的體積VAA1EC.

解析 （1）如圖13所示，連接AC1與A1C交于點F，連接EF，由題設(shè)可得EC=EA1，則EF⊥A1C，同理EC1=EA，則EF⊥AC1，又A1C∩AC1=F，所以EF⊥平面AA1C1C，而EF平面A1EC，故平面A1EC⊥平面AA1C1C.（2）延長CE交C1B1的延長線于點H，連接A1H，則A1H是平面A1EC與平面A1B1C1的公共棱.

由平面幾何知識易知C1B1=B1H=A1B1，則∠C1A1H=90°，即A1C1⊥A1H.

又CC1⊥平面A1B1C1，易證A1H⊥A1C.

所以∠CA1C1為平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角的平面角.

若此正三棱柱為“黃金棱柱”，則∠CA1C1=60°，應(yīng)有CC1=3A1C1，即AA1=3AB，這與條件AB=AA1矛盾，所以此三棱柱不是“黃金棱柱”.

（3）VAA1EC=VEA1AC=13·EF·12AA1·AC=16×32a×a×a=312a3.

點評 本題第（1）問通過添加輔助線，由面面垂直的判定定理即可得證;第（2）問先找到平面A1EC與平面A1B1C1的公共棱，進而找到這兩個平面所成二面角的平面角，利用反證法得證;第（3）問利用等體積法求解.