撓性航天器的二階滑模姿態(tài)機動控制

吳希巖，管 萍，戈新生

(北京信息科技大學 自動化學院，北京，100192)

0 引言

撓性航天器在大角度姿態(tài)機動中，除了將受到各種環(huán)境干擾外，太陽能電池板的驅動、航天器液體燃料晃動，以及機械臂的空間作業(yè)操作，同樣會激勵撓性結構產(chǎn)生振動并引發(fā)系統(tǒng)結構參數(shù)的變化，而姿態(tài)運動與撓性振動之間的相互作用會嚴重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。撓性航天器的高精度姿態(tài)控制以及有效的振動抑制是目前業(yè)界面臨的難點問題[1]。

近幾年來，很多有效的控制方法被應用到撓性航天器中。文獻[2]設計了自抗擾控制律，對于帶有撓性附件的深空探測航天器取得了較好的姿態(tài)控制效果。文獻[3]針對欠驅動航天器設計了奇異避免的反步控制器，具有較好的控制性能。文獻[4]提出了一種基于輸出反饋的魯棒極點配置設計方法，使撓性航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性。然而上述方法均未考慮轉動慣量不確定性對撓性航天器系統(tǒng)的影響。為了減少撓性附件振動、外界干擾力矩以及轉動慣量不確定性在運行過程中對撓性航天器姿態(tài)的影響，姿態(tài)控制器應具有較強的魯棒性。

滑?？刂茖ο到y(tǒng)不確定性具有較強的魯棒性和抗干擾能力，被廣泛應用于撓性航天器控制中[5]。文獻[6]針對撓性航天器執(zhí)行器故障的姿態(tài)控制問題，采用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模中的符號函數(shù)，從而減小抖振對姿態(tài)性能的影響，實現(xiàn)姿態(tài)的高精度控制，然而此方法會使滑?？刂频聂敯粜杂兴档?。文獻[7]設計了終端滑?？刂破鳎棺藨B(tài)角誤差和角速度誤差可以在有限時間內收斂到零，能有效抑制抖振，但控制參數(shù)選取不佳時會出現(xiàn)奇異性問題。高階滑?？梢暂^好地減小抖振現(xiàn)象的發(fā)生。文獻[8]針對航天器姿態(tài)控制問題，采用高階滑?？刂品椒ǎ憫俣瓤?，較好地完成了姿態(tài)跟蹤任務，但高階滑模需要高階導數(shù)信息，這會提高計算難度。二階滑模具有高階滑模的優(yōu)點，并且計算復雜程度相對較低。因此將二階滑模應用于撓性航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)設計中，不僅可實現(xiàn)姿態(tài)角指令的快速跟蹤，也可有效減少撓性附件、外界干擾力矩以及轉動慣量不確定性對撓性航天器姿態(tài)的影響。

本文針對撓性航天器姿態(tài)機動控制，設計了一種二階滑?？刂破?。該控制器不僅具有傳統(tǒng)滑?？刂启敯粜詮?、參數(shù)變化不敏感等優(yōu)點，又能在有效消除抖振的同時對姿態(tài)角指令實現(xiàn)有限時間跟蹤，使姿態(tài)角能夠在存在擾動時快速跟蹤。

1 撓性航天器的數(shù)學模型

撓性航天器由剛體和撓性附件組成，姿態(tài)可由運動學方程和動力學方程進行描述。

1.1 姿態(tài)運動學

姿態(tài)參數(shù)采用既無奇異性又無冗余度的修正的羅德里格斯參數(shù)MRPs(modified Rodrigues parameters，MRPs)表示。設有參考坐標R系，剛體相對R系做定點轉動，定點為O。在剛體上取一點A，自轉動點O至該點引位置向量OA，初始時刻位置向量處于OA=r，經(jīng)過時間t后位置向量處于OA′ =r′。根據(jù)歐拉定理，僅考慮剛體在0時刻和t時刻的角位置時，剛體從A位置轉到A′位置的轉動可等效成繞歐拉轉軸p轉過歐拉轉角θ一次完成，如圖1所示。

圖1 剛體等效旋轉示意圖

則MRPs定義為

(1)

式中：σ為航天器相對慣性坐標系的MRPs姿態(tài)描述，σ=[σ1σ2σ3]T。

姿態(tài)運動學方程為

(2)

其中I3為3×3單位矩陣；σ×表示斜對稱矩陣：

(3)

定義期望姿態(tài)角σd= [σd 1σd 2σd 3]T，期望角速度ωd= [ωd 1ωd 2ωd 3]T，誤差姿態(tài)角σe= [σe 1σe 2σe 3]T,誤差角速度ωe= [ωe 1ωe 2ωe 3]T[9]：

σe=σ?σ-1d=

(4)

ωe=ω-ωr

(5)

式中：ωr=R(σe)ωd；R(σe)為坐標轉換矩陣：

則

(6)

誤差運動學方程為

(7)

1.2 姿態(tài)動力學

撓性航天器動力學方程為[10]：

(8)

(9)

式中：J為航天器的轉動慣量矩陣；δ∈RN×3為航天器剛體與柔性附件的耦合矩陣；η∈RN×1為柔性附件的模態(tài)坐標向量；u∈R3為控制輸入力矩；d∈R3為包括重力梯度、太陽輻射、地球磁場等各種環(huán)境干擾力矩；C=2ξΩ為阻尼矩陣；K=Ω2為剛度矩陣；ξ和Ω分別為振動模態(tài)的阻尼比和自然頻率。

將式(9)代入式(8)中可得：

(10)

將式(5)代入式(10)得到角速度誤差方程：

(11)

本文的控制目標為：針對式(10)所示的撓性航天器系統(tǒng)，設計姿態(tài)控制器u，在有限時間內，既能實現(xiàn)對姿態(tài)角期望指令的精確跟蹤，又可有效減少撓性附件振動對姿態(tài)機動控制系統(tǒng)的影響，對外界擾動和轉動慣量不確定性具有較強的魯棒性。

2 二階滑?？刂坡稍O計

選取滑模面：

sω=ωe+ασe

(12)

對其求導，得到：

(13)

將式(11)與式(7)代入式(13)，得到：

(14)

選取二階滑模趨近律為

(15)

式中：sω=[sω1sω2sω3]T；ea=[ea1ea2ea3]T；ea為系統(tǒng)的增廣狀態(tài)；m≥2,k1和k2為控制增益。將式(14)代入式(15)，得到如下控制律：

(16)

基于以上分析，本文的主要控制思想是：利用姿態(tài)角誤差和角速度誤差構造滑模面，選取二階滑模趨近律，將誤差運動學方程和誤差動力學方程代入，得到二階滑?？刂坡蓇。利用二階滑?？刂破?式(16))使姿態(tài)角快速穩(wěn)定地達到期望姿態(tài)且有效減少撓性附件振動對姿態(tài)角的影響。閉環(huán)控制結構如圖2所示。

定理1對于撓性航天器系統(tǒng)(式(10))，在二階滑模控制律式(16)的作用下，如果m≥2,并且選取合適的控制增益k1、k2，那么在有限時間內可以使姿態(tài)角誤差σe與角速度誤差ωe收斂到零。

證明將式(16)代入式(11)，得到角速度誤差系統(tǒng)：

(17)

將式(17)代入式(13)，得到

(18)

令

(19)

式中i=1,2,3。于是有

(20)

(21)

整理上述表達式得到

(22)

可將式(22)轉化為

(23)

將式(23)寫成如下形式：

(24)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(25)

(26)

(27)

式中：λmin{P}為P的最小特征值；λmax{P}為P的最大特征值。

對式(25)兩端求導，得到

(28)

其中

(29)

式中：λmin{Q}為Q的最小特征值；λmax{Q}為Q的最大特征值。則

(30)

由式(27)和(30)可得

(31)

式(31)可轉換為

(32)

求解式(32)得到

(33)

則

(34)

3 仿真研究

將本文提出的二階滑模控制律應用于撓性航天器中。為驗證二階滑模控制律的有效性，進行仿真驗證與分析。選取文獻[12]的撓性航天器模型參數(shù)：

標稱轉動慣量J0為

轉動慣量的不確定性ΔJ為

撓性航天器的中心剛體和撓性附件間的耦合矩陣為

δ=

針對四階模態(tài)，自然頻率為Ω1=0.768 1，Ω2=1.103 8 rad/s，Ω3=1.873 3 rad/s，Ω4=2.549 6 rad/s，阻尼為ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013,ξ4=0.025。

在仿真中，初始角速度的值為ω(0) = [0 0 0]T；期望值為ωd=[0 0 0]T；初始MRPs值為σ(0)=[-0.224 25 0.672 78 -0.448 52]T；期望值為σd=[0 0 0]T；則采用3-1-2歐拉表示的三軸姿態(tài)角初始值為：俯仰角θ(0)=-90°，滾動角γ(0)=39.6°，偏航角ψ(0)=-17.5°。

干擾力矩為

控制律參數(shù)選取如下：

α=0.6，k1=0.3，k2=0.1，m=10，ea初值為零。

為了加以比較，姿態(tài)控制器采用本文所設計的二階滑?？刂破骱蛡鹘y(tǒng)滑?？刂破?文獻[13])，針對撓性航天器分別在標稱轉動慣量和具有轉動慣量不確定性兩種情況下進行仿真研究。

當撓性航天器的轉動慣量為標稱轉動慣量時，仿真結果如圖3～7所示。從圖中可以看出，在傳統(tǒng)滑?？刂葡伦藨B(tài)角的響應時間約為50 s，角速度的響應時間約為55 s，撓性附件振動的前兩階模態(tài)不能快速衰減，振動能量為0.21 N·m；在二階滑模控制下姿態(tài)角的響應時間約為30 s，角速度的響應時間約為30 s，撓性附件振動模態(tài)均能在25 s內快速衰減，振動能量為0.149 N·m。

圖3 MRPs響應曲線

圖4 角速度響應曲線

圖5 撓性模態(tài)響應曲線

圖6 控制力矩響應曲線

圖7 振動能量響應曲線

當撓性航天器具有轉動慣量不確定性(J=J0+ΔJ)時，仿真結果如圖8～12所示。從圖中可以看出，在傳統(tǒng)滑?？刂葡伦藨B(tài)角的響應時間約為55 s，角速度的響應時間約為60 s，撓性附件振動的前兩階模態(tài)不能快速衰減，振動能量為0.22 N·m；在二階滑?？刂葡伦藨B(tài)角的響應時間約為33 s，角速度的響應時間約為35 s，撓性附件振動模態(tài)均能在30 s內快速衰減，振動能量為0.15 N·m。

圖8 MRPs響應曲線

圖9 角速度響應曲線

圖10 撓性模態(tài)響應曲線

圖11 控制力矩響應曲線

圖12 振動能量響應曲線

通過上述仿真分析比較可知，傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)響應時間較慢、控制精度較低，撓性附件振動不能快速衰減，外界擾動和轉動慣量不確定性對姿態(tài)影響較大。由于二階滑?？刂浦械牟贿B續(xù)控制輸入作用于滑模的二階導數(shù)，使系統(tǒng)切換間的抖振得到有效減弱，所以在具有撓性附件振動、外部擾動以及轉動慣量不確定性的情況下，二階滑?？刂葡到y(tǒng)響應時間更快，穩(wěn)態(tài)誤差更小，跟蹤精度更高，并可有效抑制撓性附件振動，對外界擾動具有較強的魯棒性。二階滑模姿態(tài)控制系統(tǒng)在標稱轉動慣量和具有轉動慣量不確定性的兩種情況下，均能得到比傳統(tǒng)滑模作用下更好的控制效果，可有效減少轉動慣量不確定性對撓性航天器姿態(tài)系統(tǒng)的影響，具有良好的控制性能。

4 結束語

本文針對撓性航天器姿態(tài)控制問題，采用無奇異性無冗余度的修正的羅德里格斯參數(shù)表示運動學模型，將二階滑?？刂茟玫綋闲院教炱鞯目刂葡到y(tǒng)中。二階滑模能夠有效抑制抖振，使姿態(tài)角在有限時間內快速跟蹤。仿真結果表明，在存在外界擾動和轉動慣量不確定性的情況下，所提出的撓性航天器二階滑模姿態(tài)控制系統(tǒng)，可使撓性振動快速衰減，并使姿態(tài)角快速而穩(wěn)定地跟蹤期望指令，保證良好的控制精度。該控制方法具有魯棒性較強、易于工程實踐等優(yōu)點。