基于深度卷積神經網絡的非線性模型修正方法

鄧忠民，張鑫杰

(北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191)

0 引言

近年來，有限元模型修正逐漸得到國內外研究者的廣泛關注[1-3]，其發(fā)展方向逐漸從線性擴展到非線性。非線性模型修正包括兩方面[4]：1)非線性的描述及量化[5]，即如何衡量結構真實響應和仿真預測結果之間的差異；2)如何對待修正的非線性參數(shù)進行識別和更新[6]。常見的幾類傳統(tǒng)非線性模型修正方法包括：誤差法[7]、三段法[8]、神經網絡法等[9]。這些傳統(tǒng)的人工非線性特征提取的過程中，首先需要對非線性成分進行識別和定位[10]，然后利用信號處理方法對非線性信號進行特征提取，將識別出的非線性成分作為修正目標[11]，進而求解出待修正參數(shù)的預測結果。在這一過程中由于非線性特征通常較為復雜，人工非線性提取和量化方法存在著一定的誤差[12]。隨著特征提取技術的不斷發(fā)展，人工特征提取的局限性也日益顯現(xiàn)[13]。

而深度學習理論對于這種復雜信息的特征提取有著傳統(tǒng)人工特征提取方法難以比擬的準確度和特征維度[14]，被廣泛應用于影音圖像領域的識別[15]、分類、回歸等問題。深度卷積神經網絡(DCNN)的出現(xiàn)減少了大量人工特征設計[16]、選擇和提取工程，可以完成更為自動化的特征分析過程[17]。與傳統(tǒng)人工神經網絡不同，深度卷積神經網絡不需要嚴格選擇特征[18]，只需要引導學習來達到期望的目標[19]。本方法利用深度卷積神經網絡替代傳統(tǒng)方法中的非線性特征識別過程，通過非線性激活函數(shù)，完成非線性的逆向傳遞關系，提高非線性問題的表征能力。與傳統(tǒng)的方法相比，這種方法能夠有效減小非線性成分分析和提取中產生的誤差，可以減小由于認知不足導致的非線性識別精度不足和量化準則不合理造成的精度誤差，對數(shù)據(jù)處理方法的依賴程度較低，具有更廣泛的適用性。

1 傳統(tǒng)方法修正流程

對于一個多自由度的非線性結構，有如下的動力學微分方程：

(1)

(2)

式中Kc表示非線性剛度系數(shù)，用于描述非線性恢復力。通常Kc可用如下表達式求解：

Kc=c·K

(3)

其中：c為非線性系數(shù)；K為結構的剛度矩陣。

傳統(tǒng)方法中最重要的兩部分就是非線性識別和目標函數(shù)的構建。傳統(tǒng)方法中主要構建了如下所示的求解目標：

θupdated=argminRc(θ)

(4)

式中Rc(θ)為真實結構響應與模型預測結構響應之間的差距函數(shù)，為最小化尋優(yōu)的目標函數(shù)；θupdated即為最終參數(shù)修正后的結果。Rc(θ)的表達式為

(5)

其中Gresidual為非線性響應的特征提取函數(shù)，用于構建響應實驗測量的真實結構非線性響應和仿真模型非線性響應之間的差距函數(shù)。

2 方法介紹

2.1 方法流程

本文主要的方法流程如下：

1) 數(shù)據(jù)預處理。利用初始有限元模型獲得仿真樣本，將模型的時域響應數(shù)據(jù)處理成時頻圖或不確定性響應圖像。

2) 構建訓練網絡。設計網絡結構，選擇合理的非線性激活函數(shù)，設計損失函數(shù)，利用步驟1)中處理后的數(shù)據(jù)完成網絡訓練。

3) 將實驗測量的真實結構響應按照步驟1)處理成時頻圖或不確定性響應圖像，輸入訓練好的網絡中，網絡的輸出即為待修正參數(shù)的預測結果。

2.2 數(shù)據(jù)預處理

本文采用深度卷積神經網絡進行自動化非線性特征提取，其確定性修正輸入為結構的時頻響應圖，不確定性修正輸入為不確定性加速度時域響應。

在確定性算例中，本文采用短時傅里葉變換(short-time Fourier transform，STFT)來替代普通的傅里葉變換，實現(xiàn)時頻轉換。其示意圖如圖1所示。從圖中可以看出，當對時頻圖進行特征提取時，卷積核滑過時頻圖的時域和頻域維度，對局部響應特征進行提取。隨著網絡層數(shù)的不斷增加，能夠提取到的特征信息維度越來越高，證明本方法能夠提取到更為豐富的非線性信息。求解算法對于真實傳遞過程的表征能力較強。

圖1 時頻圖轉化及特征提取示例

2.3 激活函數(shù)的必要性

在卷積神經網絡中，特征提取過程及參數(shù)傳遞過程中卷積、池化及全連接操作均為線性鏈接，如果只有這些結構，那么網絡只能將輸入進行線性組合再進行輸出，只能完成線性傳遞關系的表征。

如果不采用非線性激活函數(shù)或采用線性激活函數(shù)，網絡隱藏層輸出為：

z(1)=fl(a(1))

(6)

z(2)=fl(a(2))

(7)

式中fl為激活函數(shù)，其表達式如下：

(8)

式中wl為線性激活函數(shù)。以線性激活函數(shù)為例：

(9)

(10)

進而得出：

(11)

本文采用ReLU函數(shù)作為非線性激活函數(shù)。ReLU函數(shù)及其導數(shù)的表達式如下：

(12)

其在x∈[-5，5]內的函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 ReLU 函數(shù)示意圖

ReLU函數(shù)能夠快速收斂，還能有效緩解梯度消失的問題，同時能夠給神經網絡提供稀疏表達能力。并且，ReLU函數(shù)計算過程中僅需要一個門限值，其計算速度明顯快于Sigmoid函數(shù)和tanh函數(shù)等非線性激活函數(shù)。

3 算例1

3.1 算例描述

本算例采用了文獻[20]中的非線性振動模型算例。其系統(tǒng)方程為

(13)

利用多尺度法可以求解出結構的時域響應一階近似解的表達式為

(14)

式中：a0和β0分別為初始振幅和初始相位，取值分別為100 mm和0；識別時間段為0～1 s；待修正參數(shù)為ω0、δ和ε。

本文中，將文獻[20]中的非線性參數(shù)識別方法命名為M1方法，將本文提出的基于深度卷積神經網絡的方法命名為Nnet。M1法利用小波變換對非線性時域響應進行分析，為解決邊端效應又采用BP神經網絡對非線性模型參數(shù)進行預測延拓。Nnet法利用結構的時域響應，對待修正參數(shù)的數(shù)值進行預測求解。首先，生成訓練樣本配對，將時域響應通過STFT轉化為頻譜圖。然后利用訓練數(shù)據(jù)對網絡進行訓練，最終將真實的響應頻譜圖輸入訓練好的網絡，即可得到參數(shù)修正結果。

3.2 修正結果

本文對兩種方法的非線性參數(shù)識別結果進行了比較，結果如表1所示。

表1 非線性參數(shù)識別結果

從表中可知，兩種方法求解的ω0誤差均小于1%，而M1方法求解的δ和ε誤差較大，Nnet方法求解出的結果誤差均小于0.1%。文獻方法求解出的參數(shù)平均誤差約為4.02%，而本文提出的方法求解的參數(shù)平均誤差為0.07%，與文獻方法相比有明顯提升。證明本方法的參數(shù)修正精度更高，更接近真實參數(shù)值。

將修正后的非線性參數(shù)代入結構的振動方程中，可以求解出修正后模型的響應預測結果。如圖3所示為修正后的結構時頻圖對比，可以看出結構的時頻響應圖譜特征非常隱晦，通過人工特征提取的方法很難對其進行很好地分析。如果特征設計過于簡單，將會導致大量的隱藏特征信息喪失，造成精度下降。因此，利用深度卷積神經網絡進行特征提取能夠有效避免特征設計不合理帶來的誤差，提高對于復雜特征分析的準確度。通過觀察圖3可以看出，在0.6～0.8 s內，400～500 Hz部分的頻譜圖中，Nnet的修正結果與真實結果更為吻合。

圖3 修正后模型時頻圖

如圖4所示為時域位移響應曲線。從圖中可以看出，Nnet修正后的模型響應振幅與真實的時域響應相比更為接近，證明修正后的模型更加接近實際結構。同時，可以發(fā)現(xiàn)，雖然M1方法求解的δ和ε誤差較大，但其修正后結果的時域響應與實際結構的時域響應差別仍在可接受范圍內。說明δ和ε的變化對結構響應的影響能力有限，靈敏度較小，而ω0的變化對結構響應影響較大。

圖4 修正后模型位移時域響應

為了進一步證明修正后模型的精度，本文還利用訓練數(shù)據(jù)外的系統(tǒng)瞬時振幅對修正后的模型進行確認，如圖5所示?？梢钥闯?，Nnet修正后的模型瞬時振幅與實際結構的吻合度很高，這進一步證明了方法的優(yōu)越性。

圖5 修正后模型瞬時振幅

4 算例2

4.1 算例描述

不確定性算例采用文獻[21]中的雙層鋼架結構進行驗證，如圖6所示。該結構中的豎直支柱桿件只有彎曲剛度，并無質量。水平桿有質量和水平方向位移。水平桿質量m1=3.7 kg，m2=1.5 kg，不確定性參數(shù)為K1和K2，其運動微分方程如下：

(15)

其中

Kc=c·K·104

(16)

圖6 鋼架結構

本文中，模型修正的目標為結構的位移時域響應數(shù)據(jù)。將不確定性的位移時域響應數(shù)據(jù)按圖7所示的方法進行序列化排序，后轉化為響應圖像后，輸入設計好的Nnet網絡中進行訓練。

圖7 不確定性非線性響應預處理

4.2 修正結果

訓練過程中的參數(shù)分布結果如圖8所示?？梢钥闯觯S著訓練的進行，參數(shù)的分布預測值越來越接近于真實結果，最終收斂于真實參數(shù)分布附近。因此，將200代左右的訓練結果作為最終訓練完成的網絡，將真實結構的不確定性數(shù)據(jù)輸入到訓練好的網絡中，則可以得到修正后的參數(shù)分布結果和概率密度估計結果，如圖9和圖10所示。由參數(shù)分布散點圖可知，本方法能夠對不確定性參數(shù)的分布狀態(tài)進行直接預估，而且與實際參數(shù)分布非常接近。從參數(shù)的概率密度估計也可以看出修正后的概率分布結果與真實結構吻合度較高。為了方便說明，本文還統(tǒng)計了修正參數(shù)的分布均值和方差，二者的修正誤差結果如表2所示。從表中可以看出，Nnet方法修正后的結構參數(shù)與真實結構參數(shù)的均值和方差均小于1%，證明該方法有較好的修正效果。

圖8 迭代收斂過程

圖9 修正后參數(shù)分布

圖10 參數(shù)概率密度估計

表2 不確定性參數(shù)修正結果

除了觀察參數(shù)修正結果本身，還需要對修正后模型的響應預測進行評估分析。因此將修正后的不確定參數(shù)分布樣本逐一輸入到待修正模型中，依次得到對應的不確定性響應分析結果。為了方便觀察，圖11中展示了0～1 s內每個時間點上不確定性響應的均值，可以看出修正后模型的響應預測均值與真實結構的響應均值吻合度較高，證明修正后模型響應分布的中心與實驗測量結果的重合度較高。計算實驗測量響應均值與模型預測響應均值的FRAC值為0.999 8，進一步證明了均值預估精度較高。

圖11 修正后模型0～1 s位移響應均值

圖12中展示了響應分布的上下界，響應上下界可以反映出響應的變化范圍。由圖可知，0～0.5 s內修正模型的不確定性響應分布范圍與真實結構的分布范圍非常接近，曲線重合度較高。而0.5～1 s范圍內的分布結果有少量偏差。為了驗證其準確性，計算實驗測量響應上界與模型預測響應上界之間的FRAC值為0.993 4，響應下界的FRAC值為0.982 6，在可接受的精度范圍內。這說明在0～1 s內，修正后模型的響應預測結果與實驗測量結果的分布情況重合度較高。證明在修正數(shù)據(jù)范圍內的模型響應計算結果能夠對真實結構的響應結果進行預測，修正后的模型能夠較準確地表征。

圖12 修正后模型0～1 s位移響應上下界

5 結束語

本文提出了基于深度學習的非線性結構模型修正方法，分別對確定性問題和不確定性問題進行了研究。通過與傳統(tǒng)非線性修正方法相比，可以看出本方法能夠完成對于結構時頻響應的自動化特征分析和提取，減少了人工非線性特征識別、量化以及誤差目標函數(shù)構建過程中造成的精度損失。通過卷積神經網絡，可以構建一個由結構時頻數(shù)據(jù)到待修正參數(shù)的高精度非線性逆向映射，利用網絡前傳即可獲得參數(shù)修正結果。修正結果證明，基于深度卷積神經網絡的非線性模型修正方法能夠獲得更高的參數(shù)修正精度，修正后模型的響應預測結果和真實結構的實驗測量響應更為接近，修正后模型更加接近于真實結構。