妙用數(shù)形結(jié)合 讓初中生數(shù)學(xué)解題思路更清晰

張新溪

（福建省詔安縣官陂中學(xué)，福建詔安 363509）

引 言

數(shù)形結(jié)合是一種比較有效的解題方式，也是當(dāng)下初中生應(yīng)該具備的一種思維能力。具備良好的數(shù)形結(jié)合思維后，學(xué)生就能借助“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”，將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，從而有效解決問題。因此，本文將重點(diǎn)分析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)形結(jié)合解題思想。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用意義

（一）促使學(xué)生解題思路更為優(yōu)化

教師將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，有利于幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，使其懂得運(yùn)用圖形的直觀性去理解題目中涉及的數(shù)量，優(yōu)化解題思路，從而提升學(xué)生的解題效率。

（二）有助于鍛煉學(xué)生的邏輯和空間思維

學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題思想分析和探究實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，可以逐漸培養(yǎng)自己的邏輯和空間想象思維。比如，在分析數(shù)量與圖形相結(jié)合的問題時(shí)，學(xué)生既要分析其中的數(shù)量關(guān)系，又要探究圖形的規(guī)律，而在將二者有機(jī)結(jié)合的過程中，他們的邏輯和空間思維也能得到很好的鍛煉，這對提升學(xué)生的邏輯思維和空間想象思維都有一定的促進(jìn)作用[1]。

（三）能有效激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的興趣

數(shù)形結(jié)合既有數(shù)量關(guān)系又有圖形分析，能夠豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容。而且在分析數(shù)量與圖形關(guān)系時(shí)，學(xué)生能夠感覺到數(shù)學(xué)知識的神奇，并且也會從分析中體會到數(shù)學(xué)圖形的美。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

（一）將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解答中

初中數(shù)學(xué)涉及很多知識點(diǎn)，因而數(shù)學(xué)問題也千變?nèi)f化。其中，函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)重要類型，也是許多學(xué)生比較頭疼和害怕的數(shù)學(xué)問題。從以往數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解題情況來看，有些學(xué)生拿到數(shù)學(xué)題目之后，往往不知從何入手。究其原因，主要還是學(xué)生缺乏良好的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路，無法找到解題的突破口。那么，在講解數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找函數(shù)問題中的數(shù)量與圖形關(guān)系，從而將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，進(jìn)而幫助學(xué)生順利解答問題。下面以一道初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題為例進(jìn)行說明。

例題：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求證α+β=45°.

案例分析：在講解這道初中數(shù)學(xué)正切函數(shù)問題時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合思想，用題目中的數(shù)量關(guān)系來構(gòu)造滿足條件的角α、β，并思考如何將其中的數(shù)量關(guān)系與實(shí)際構(gòu)造出來的圖形相結(jié)合，從而促使學(xué)生逐步養(yǎng)成良好的數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維運(yùn)用能力。其中，教師可以先讓學(xué)生根據(jù)題目已知條件，將角α、β畫出來，如圖1所示。

圖1

那么，當(dāng)下學(xué)生需要求證的是α+β=45°，所以，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生想辦法對上述角α、β進(jìn)行構(gòu)造，即構(gòu)造角α+β，從而將題目中的數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形構(gòu)造問題，進(jìn)而將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為形象的圖形解析，最終促使學(xué)生得出函數(shù)問題的答案。

案例結(jié)果：根據(jù)角α+β，學(xué)生可以畫出如圖2所示的圖形。

圖2

那么在上述圖形中，學(xué)生通過連接BC，就可以得出ΔABD≌ΔCBE，即ΔABC是等腰三角形，所以α+β=45°。通過借助直觀圖形的分析，學(xué)生可以快速得出實(shí)際問題的答案，有效提升解題效率。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想不僅能提升學(xué)生的實(shí)際解題能力，還能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

（二）將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)幾何問題的解答中

在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，許多學(xué)生只會利用以數(shù)代形的方式來解答數(shù)學(xué)問題，而忽略了以形代數(shù)的數(shù)學(xué)解題思維，這是學(xué)生未能形成良好的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。所以，學(xué)生只有既掌握以數(shù)代形，又理解以形代數(shù)的過程，才能真正形成良好的數(shù)形結(jié)合思想。在初中數(shù)學(xué)幾何問題中，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來引導(dǎo)學(xué)生思考和解決幾何問題。而數(shù)形結(jié)合思想可以使部分平面幾何問題簡單化，同時(shí)有助于學(xué)生產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，從而將抽象的幾何問題進(jìn)行一一拆解，促使學(xué)生盡快找到幾何問題的解題思路。下面以初中數(shù)學(xué)中的一道幾何題為例進(jìn)行說明。

例題：如圖3所示，從邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一個(gè)長方形，請根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，驗(yàn)證a2-b2=(a+b)(a-b).

圖3

案例分析：根據(jù)題目意思，教師可以將陰影部分面積等于邊長為a的正方形面積與邊長為b的正方形面積的差表示為a2-b2，那么陰影部分是長方形，其中長為a+b，寬為a-b，其面積為(a+b)(a-b)，所以就有a2-b2=(a+b)(a-b).

案例結(jié)果：將題目中的幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，能實(shí)現(xiàn)以形代數(shù)，這能促使學(xué)生懂得靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對實(shí)際問題進(jìn)行解答，而不僅局限于以數(shù)代形的思維。

（三）將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)不等式問題的解答中

不等式也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)考點(diǎn)。在解答中，教師同樣可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，解答實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。以初中數(shù)學(xué)不等式問題為例，首先，學(xué)生需要明確討論的對象及討論對象的取值范圍；其次，選擇正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，并進(jìn)行合理分類；再次，逐類討論問題，并提出解決的方案；最后，將討論的結(jié)果進(jìn)行歸納并得出結(jié)論。

案例分析：根據(jù)例題內(nèi)容，教師可以讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，將其中的不等式數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)在形象的數(shù)軸上，如圖4所示。

圖4

案例結(jié)果：教師通過引導(dǎo)學(xué)生利用直觀的數(shù)軸來解答實(shí)際的不等式問題，能夠讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想。這樣，學(xué)生就能快速地求出答案，并體會到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的益處。

結(jié) 語

綜上所述，對于初中生而言，數(shù)形結(jié)合思想的形成需要經(jīng)歷長期的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)積累。所以，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中的數(shù)量與圖形關(guān)系，從而促使學(xué)生主動(dòng)利用數(shù)形結(jié)合思想來解答實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而讓學(xué)生真正體會到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的益處，并不斷提升自身的數(shù)學(xué)解題能力和技巧。