例談三角函數(shù)中參數(shù)ω、φ的取值范圍的求解

謝建寧

摘?要：三角函數(shù)是高考考查的必考點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，其中函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B中參數(shù)ω、φ的取值范圍問題，此類題型常在小題中呈現(xiàn)，有一定難度.本文擬通過若干典型事例來探求、歸納求解此類問題的常規(guī)方法.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);參數(shù)ω;參數(shù)φ;取值范圍

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0042-04

在高三復(fù)習(xí)中，各級(jí)各類模擬試題中經(jīng)常出現(xiàn)一類求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的參數(shù)ω、φ的取值范圍問題，主要考查三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，以及考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).此類問題對(duì)許多學(xué)生是一難點(diǎn)，學(xué)生往往無從入手，或者因不明算理而陷入繁瑣的運(yùn)算當(dāng)中，花費(fèi)大量時(shí)間卻不得正解. 本文擬通過歸類解析的形式說明這類問題的解法，以期幫助讀者理解、掌握其內(nèi)在規(guī)律、特點(diǎn).

一、和單調(diào)性有關(guān)的題型

例1?已知ω>0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+π3）在（π2，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）.

A.[13，56]?B.[13，76]

C.[14，56]D.[14，76]

解法一?依題可知f（x）的最小正周期T≥2（π-π2）=π，即2πω≥π，從而0<ω≤2.

∵x∈π2，π，

∴ωx+π3∈ωπ2+π3，ωπ+π3.

∵y=sinx（x∈R）的單調(diào)遞減區(qū)間為π2+2kπ，3π2+2kπ（k∈Z），

由ωπ2+π3，ωπ+π3π2，3π2，

得到ωπ2+π3≥π2，ωπ+π3≤3π2.

解得13≤ω≤76.

故選B.

解法二?依題可知f（x）的最小正周期T≥π，即2πω≥π，從而0<ω≤2.

令π2+2kπ≤ωx+π3≤3π2+2kπ，解得π6ω+2kπω≤x≤7π6ω+2kπω，k∈Z.

∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+π3）（ω>0）在（π2，π）上單調(diào)遞減，

∴π6ω+2kπω≤π2，7π6ω+2kπω≥π，解得13+4k≤ω≤76+2k，k∈Z.由于0<ω≤2，∴令k=0，可得13≤ω≤76.

故選B.

點(diǎn)評(píng)?解法一把ωx+π3看作一整體，則ωx+π3∈ωπ2+π3，ωπ+π3.因?yàn)閥=sinx在（0，+SymboleB@

）的單調(diào)遞減區(qū)間有π2，3π2，5π2，7π2，…但由于0<ω≤2，則只能有

ωπ2+π3，ωπ+π3π2，3π2，從而求得ω的范圍;解法二先求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間π6ω+2kπω，7π6ω+2kπω（k∈Z），再由π2，ππ6ω+2kπω，7π6ω+2kπω，即求得ω的范圍.兩種解題思路都是利用區(qū)間的包含關(guān)系來建立不等式，從而求得參數(shù)的范圍.

反思?三角函數(shù)是周期性函數(shù)，有無數(shù)個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，如何選擇恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間來套給定區(qū)間是解決問題的關(guān)鍵，需要從題中挖掘相關(guān)條件，比如：ω的大致范圍等.

例2?已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的一條對(duì)稱軸與相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心的距離為π4，將其向右平移π6后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間[3π4，π]上單調(diào)遞增，則φ的取值范圍為（）.

A.π6，π2?B.π3，5π6

C.π3，2π3D.π4，3π4

解?由題意得T4=π4，所以T=π，因此ω=2ππ=2，所以fx=

sin2x+φ.

從而gx=sin2x-π6+φ=sin2x+φ-π3，由-π2+2kπ≤2x+φ-π3≤π2+2kπ，k∈Z，

得-π12-φ2+kπ≤x≤5π12-φ2+kπ，k∈Z.

要使gx的圖象在區(qū)間3π4，π上單調(diào)遞增，

則有3π4，π-π12-φ2+kπ，5π12-φ2+kπ，

即有-π12-φ2+kπ≤3π4，5π12-φ2+kπ≥πk∈Z，

解得-5π3+2kπ≤φ≤-7π6+2kπ，k∈Z.

由于0<φ<π，令k=1，可得π3≤φ≤5π6.

故選B.

例3?已知函數(shù)f（x）=sin2ωx-23cos2ωx+1（ω>0）在區(qū)間[π，2π]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（）.

A.（512，1124]B.（0，512]∪[1124，12）

C.（0，12）D.（0，524]∪[512，1124]

分析?函數(shù)f（x）在區(qū)間[π，2π]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f（x）在區(qū)間[π，2π]內(nèi)單調(diào).

解?函數(shù)fx=sin2ωx-23cos2ωx+1ω>0=sin2ωx-23·1+cos2ωx2+1=sin2ωx-3cos2ωx+1-3

=2sin（2ωx-π3）+1-3.

∵f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有極值點(diǎn)，

∴2kπ-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+π2，

或2kπ+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+3π2，k∈Z.

解得k-112≤ω≤k2+524，或k+512≤ω≤k2+1124.

又∵f（x）的最小正周期T≥2（2π-π）=2π，從而0<ω≤1.

令k=0，可得ω∈（0，524]∪[512，1124]，故選D.

點(diǎn)評(píng)?例3有條件可知f（x）在給定區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)，可以是單調(diào)遞增，也可以是單調(diào)遞減.

二、和最值有關(guān)的題型

例4?函數(shù)f（x）=2sin（ωx+π3）（ω>0）的圖象在0，1恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（）.

A.2π，4πB.2π，9π2

C.13π6，25π6D.2π，25π6

解?令ωx+π3=π2+2kπ ， 解得x=（12k+1）π6ω.

當(dāng)k=0時(shí)，x1=π6ω∈0，1得ω≥π6;

當(dāng)k=1時(shí)，x2=13π6ω∈0，1得ω≥136π;

當(dāng)k=2時(shí)，x3=25π6ω∈1，+SymboleB@

得ω<256π.

于是136π≤ω<256π.

故選C.

例5?設(shè)函數(shù)f（x）=2sinωx在[-π3，π4]上的最小值為-2，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為.

解?若ω>0，則由x∈-π3，π4，得到-ωπ3≤ωx≤ωπ4.

因?yàn)閒（x）在[-π3，π4]上的最小值為-2，

所以-ωπ3≤-π2，即ω≥32.

若ω<0，則由x∈-π3，π4，得到ωπ4≤ωx≤-ωπ3.因?yàn)閒（x）在[-π3，π4]上的最小值為-2，

所以ωπ4≤-π2，即ω≤-2.

綜上所述，符合條件的ω的取值范圍是-SymboleB@

，-2∪32，+SymboleB@

.

點(diǎn)評(píng)?此題易忽略對(duì)ω兩種情形的討論.

例6?若函數(shù)f（x）=sinωx2sin（ωx2+π2）（ω>0）在[-π3，π2]內(nèi)有且僅有一個(gè)最大值，則ω的取值范圍是（）.

A.（0，5）B.[1，5）C.（0，92）D.[1，92）

解?∵函數(shù)f（x）=sinωx2sin（ωx2+π2）=sinωx2cosωx2=12sinωxω>0，

∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

∵f（x）在-π3，π2 內(nèi)有且僅有一個(gè)最大值，又-π3<π2，根據(jù)對(duì)稱性可知：

在-π3，π2內(nèi)，函數(shù)f（x）可能僅包含一個(gè)極大值點(diǎn)，也可能函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增.

∴ω·π2≥π2，ω·π2<5π2，ω·-π3>-3π2，或ω·π2≤π2，ω·-π3≥-π2.

∴1≤ω<92，或0<ω≤1.

綜上可得，0<ω<92

故選C.

點(diǎn)評(píng)?我們知道，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)必有最大值，所以此題有兩種可能，學(xué)生往往會(huì)忽略第二種可能.

三、和零點(diǎn)或?qū)ΨQ性有關(guān)的題型

例7?已知函數(shù)f（x）=cos（ωx-π3）-12（ω>0）在區(qū)間0，π上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.

解?依題意，令cos（ωx-π3）-12=0，

可得ωx-π3=-π3+2kπ 或 ωx-π3=π3+2kπ（k∈Z），解得x=2kπω 或 x=（23+2k）πω.

當(dāng)k=0時(shí)，得x1=0，x2=2π3ω;

當(dāng)k=1時(shí)，得x3=2πω，x4=8π3ω.

依題可知2πω≤π且8π3ω>π，于是ω的取值范圍是2，83.

例8?（2016天津卷（文8））已知函數(shù)f（x）=sin2ωx2+12sinωx-12（ω>0），若f（x）在區(qū)間π，2π內(nèi)沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）.

A.0，18?B.0，14∪58，1

C.0，58D.0，18∪14，58

解?依題可得f（x）=22sin（ωx-π4）且2πω≥2π，即ω≤1.

令ωx-π4=kπ ，解得x=（14+k）πω.

假設(shè)f（x）在區(qū)間π，2π內(nèi)有零點(diǎn)，

則有π<（14+k）πω<2π，即k2+18<ω<k+14.

當(dāng)k=0時(shí)，得18<ω<14;

當(dāng)k=1時(shí)，得58<ω<54.

因?yàn)閒（x）在區(qū)間π，2π內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.選D.

點(diǎn)評(píng)?此解法先假設(shè)π，2π有零點(diǎn)的ω的范圍，從而得出π，2π沒有零點(diǎn)ω的范圍，正所謂“正難則反”.

例9?已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2），x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（π18，5π36）上單調(diào)，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

解?∵x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，∴2n+14·T=π2，即2n+14·2πω=π2（n∈N），

即ω=2n+1（n∈N）.

∵f（x）在（π18，5π36）上單調(diào)，則5π36-π18=π12≤T2，即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，

當(dāng)ω=11時(shí)，-11π4+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤π2，∴φ=-π4.

此時(shí)f（x）在（π18，5π36）不單調(diào)，不滿足題意.

當(dāng)ω=9時(shí)，-9π4+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤π2，∴φ=π4.

此時(shí)f（x）在（π18，5π36）單調(diào)，滿足題意.

故ω的最大值為9，選B.

參考文獻(xiàn)：

[1]侯作奎.三角函數(shù)f（ωx+φ）中ω，φ的取值范圍問題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（5）：4-6.

[責(zé)任編輯：李?璟]