廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)降型及其采樣離散Nie-Tan算法*

陳 陽，王 濤

(遼寧工業(yè)大學理學院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

由于區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)[1 - 4]的計算復雜度相對較低，已成為當前應用最廣泛的一類二型模糊邏輯系統(tǒng)。自從廣義二型模糊集的α-平面(或z切片)表達理論[5,6]被提出，廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的計算量減少了，學術界對于區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的眾多關注逐漸轉(zhuǎn)向了廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)[7 - 10]。區(qū)間二型模糊集的次隸屬度值恒等于1，而廣義二型模糊集的次隸屬度值介于0和1 之間，即廣義二型模糊集以非均勻方式度量隸屬函數(shù)不確定性。因此，廣義二型模糊集可看成是比區(qū)間二型模糊集更高階的不確定模型。隨著設計自由度增加，基于廣義二型模糊集的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)設計在處理某些不確定性問題時具有更大的潛力。

一般來說，二型模糊邏輯系統(tǒng)由模糊器、推理機、規(guī)則庫、降型器和解模糊器5個模塊組成。首先，二型模糊輸入集在推理機的指導下被轉(zhuǎn)變成二型模糊輸出集。接著，降型核心模塊把二型模糊集轉(zhuǎn)化成一型模糊集。最后解模糊化把一型模糊集映射成明確輸出。當前，計算密集的KM(Karnik-Mendel)類算法[11 - 15]仍是最流行的降型算法。為了改進計算效率，一些非迭代類算法被陸續(xù)提出，如NT(Nie-Tan)算法[16]、BMM(Begian-Melek-Mendel)算法[17]、NB(Nagar-Bardini)算法[18,19]、CJ(Coupland-John)算法[20]和GCCD(Greenfield-Chiclana Collapsing Defuzzifier)算法[21]]等。其中NT算法具有簡單的閉環(huán)形式，且連續(xù)NT算法CNT(Continuous NT)在最新的研究中被證明為準確的計算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的方法。

本文以CNT算法為計算基準，提出基于采樣的離散NT算法來實現(xiàn)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型和解模糊化。證明了當適當選取質(zhì)心輸出廣義二型模糊集的主變量采樣點個數(shù)時，離散NT算法的計算結果可以精確地逼近CNT算法的計算結果。 本文的余下部分組織如下：第2節(jié)簡要介紹廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)；第3節(jié)給出NT和CNT算法，以及如何用它們來實現(xiàn)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型和解模糊化；第4節(jié)采用數(shù)值仿真例子比較和分析采樣離散NT算法的表現(xiàn)；最后給出結論與展望。

2 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

從推理結構的角度看，廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)一般可分為Mamdani型[4,8,13]和TSK(Takagi-Sugeno-Kang)型[1,9]。本文只關注Mamdani型的質(zhì)心降型研究。不失一般性，考慮一個有n個輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和1個輸出y∈Y的Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)，該系統(tǒng)由M條模糊規(guī)則描述，且其中第s條規(guī)則形式為：

(1)

(2)

對于每條模糊規(guī)則，在指定α水平下的激發(fā)區(qū)間為：

(3)

其中,T表示取小或乘積t-范[6],p為前件個數(shù)。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

最后聚合所有的α-平面YC,α來構成一型模糊集YC,即:

(9)

3 NT和CNT算法

(10)

聚合所有的YNT,α得出一型模糊集YNT,即:

(11)

在實際計算中,假設有效α-平面的個數(shù)為m,即把α值均勻分解成α1,α2,…,αm,那么廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出為:

(12)

最新的研究證明了CNT算法[16]是計算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的準確方法。這里給出解釋并將其推廣成計算廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心。

定理1[16]當采樣點個數(shù)趨于無窮時，隨機采樣方法可準確地完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。

(13)

其中，yj是y的離散切片。

所以，

(14)

(15)

所以，

(16)

(17)

□

(18)

(19)

(20)

其中ωi是一個均勻分布在[0，1]上的隨機數(shù),所以可得：

(21)

(22)

當前流行的解模糊化一型模糊集方法是計算其質(zhì)心，即：

(23)

既然yj是任意一塊垂直切片，式(22)對所有的y都成立,因此可得:

(24)

□

(25)

廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的降型集和解模糊化值可分別由式(11)和式(12)計算得出。

最后對于CNT和采樣離散NT算法實現(xiàn)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型作出如下總結：

(1) 離散NT算法是基于采樣點的求和運算完成質(zhì)心降型，而CNT算法以求積分運算完成質(zhì)心降型。從理論上說，當采樣點個數(shù)N→∞時，NT算法的計算結果會趨于CNT算法的計算結果。

(2) 隨著采樣點個數(shù)的增加,NT算法可能會取得更準確的計算結果。

(3) 離散NT算法是以求和運算完成數(shù)值計算的,而CNT算法是以求積分運算象征性地完成計算。

4 仿真實驗

本節(jié)給出3個計算機仿真示例。通過模糊推理，設廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心輸出二型模糊集的足跡不確定性FOU(Footprint Of Uncertainty)和相關次隸屬函數(shù)(或稱垂直切片)為已知量。這里取二型學術研究中常見的3個廣義二型模糊集。在例1中，F(xiàn)OU是由分段線性函數(shù)[13 - 16]限定，相關垂直切片為梯形隸屬函數(shù)。在例2中,FOU是由線性函數(shù)和高斯函數(shù)混合[17-21]限定,相關次隸屬函數(shù)仍為梯形函數(shù)。在例3中，F(xiàn)OU由高斯函數(shù)[13 - 16]限定，相關垂直切片為三角形隸屬函數(shù)。實驗中α被均勻分解成Δ個有效值，即α=0,1/Δ,…,(Δ-1)/Δ,1。取Δ以1為步長從1到100變化。

圖1和表1給出了所定義的FOU,圖2和表2給出了所定義的次隸屬函數(shù)。

Figure 1 Graphs of FOU圖1 FOU圖

Table 1 Membership function expressions for FOU

Figure 2 Shape of vertical slices圖2 垂直切片形狀

Table 2 Expressions for secondary membership functions

Figure 3 Centroid type-reduced sets computed by CNT algorithm圖3 CNT算法計算出的質(zhì)心降型集

Figure 4 Defuzzified values computed by CNT algorithm圖4 CNT算法計算出的解模糊化值

實驗中研究離散NT算法與基準的CNT算法之間的關系，當取前者的主變量采樣個數(shù)為20，50，100，200和2 000時，CNT算法和離散NT算法計算出的質(zhì)心降型集絕對誤差如圖5所示。

CNT算法和NT算法計算出的解模糊化值絕對誤差在圖6中給出。

Figure 5 Absolute errors of cancroids type-reduced sets between CNT and NT algorithms圖5 CNT和NT算法計算出的質(zhì)心降型集絕對誤差

Figure 6 Absolute errors of defuzzified values between CNT and NT algorithms圖6 CNT和NT算法計算出的解模糊化值絕對誤差

接著定量研究絕對誤差的平均值，這里取計算精度為10-4。當有效α-平面?zhèn)€數(shù)Δ=100時，表3給出了基準CNT算法和離散NT算法計算出的質(zhì)心降型集絕對誤差平均值。

當Δ=1∶1∶100時，CNT算法和離散NT算法計算出的降型集絕對誤差在表4中給出。

接下來研究CNT算法和采樣離散NT算法的具體計算時間。仿真平臺為有E5300@2.60 GHz，2.00 GB內(nèi)存的雙核戴爾臺式機，操作系統(tǒng)為Windows XP。所有算法均由Matlab 2013a編程。計算質(zhì)心降型集和解模糊化時的時間如表5和表6所示。

Table 3 Averages of absolute errors of centroid type-reduced sets表3 質(zhì)心降型集絕對誤差平均數(shù)

Table 4 Averages of absolute errors of defuzzified values表4 解模糊化值絕對誤差平均數(shù)

觀察圖5、圖6和表3～表6，可以得出以下結論：

(1) 隨著主變量采樣點個數(shù)增加，無論是計算廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型集或還是解模糊化值，離散NT算法的結果都會越來越接近基準CNT算法的結果。

(2) 在例1中，只需取采樣點個數(shù)為100和20,離散NT算法的計算結果就同CNT算法一樣(見圖5a和圖6a)；而在例2和例3中，需要增加采樣點個數(shù)到2 000才能使離散NT算法的計算結果與CNT算法的結果相同 (見圖5b、圖5c、圖6b和圖6c)。

Table 5 Computation time of centroid type-reduced sets表5 質(zhì)心降型集計算時間 s

Table 6 Computation time of defuzzified values表6 解模糊化值計算時間 s

(3) 當考慮計算質(zhì)心降型集和解模糊化值絕對誤差平均數(shù)時，則需要把采樣點個數(shù)增加到35 000才能使這3個例子下的離散NT算法計算時精確逼近CNT算法。

(4) 對于質(zhì)心降型集和解模糊化值的具體計算時間，本文所提出的采樣離散NT算法的計算用時遠遠少于CNT算法的。其中采樣數(shù)最多的離散NT算法所需計算時間最長。盡管如此，計算用時最長的離散NT算法僅僅需要1.617 1%的CNT算法的計算時間。

(5) 綜合以上4條分析，可知采樣離散NT算法是優(yōu)秀的CNT算法的估計方法。此外，采樣離散NT算法的計算效率遠高于CNT算法的。

5 結束語

本文揭示了離散NT算法和連續(xù)NT(CNT)算法的內(nèi)在聯(lián)系，證明了CNT算法可實現(xiàn)準確的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。對于3個具有不同F(xiàn)OU的系統(tǒng)輸出廣義二型模糊集，仿真實驗表明，當適當選取推理輸出廣義二型模糊集主變量采樣點個數(shù)時，離散NT算法得出的質(zhì)心降型集和解模糊化值結果可精確地逼近CNT算法，且前者計算效率遠高于后者。

在后續(xù)工作中，將研究離散降型算法和連續(xù)降型算法的關系、采樣離散非迭代算法及合理初始化改進Karnik-Mendel迭代算法以實現(xiàn)二型模糊邏輯系統(tǒng)中心集降型。此外，還將深入研究基于優(yōu)化算法的Begian-Melek-Mendel、Nie-Tan和Nagar-Bardini等框架結構下二型模糊邏輯系統(tǒng)的設計與應用。