一種帶形狀參數(shù)的奇異混合擬Bézier曲線*

張貴倉，拓明秀，蘇金鳳，孟建軍,韓根亮

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué)機電技術(shù)研究所，甘肅 蘭州 730070；3.甘肅省傳感器與傳感技術(shù)重點實驗室，甘肅 蘭州 730030)

1 引言

Bézier和B樣條方法是計算機輔助幾何設(shè)計CAGD(Computer Aided Geometric Design)的2種主流方法，因具有幾何不變性、保凸性等實用性質(zhì)而被廣泛地應(yīng)用于曲線曲面設(shè)計。然而傳統(tǒng)的Bézier和B樣條曲線曲面已很難滿足快速發(fā)展的幾何工業(yè)的多元需求。隨之，許多有理化形式的Bézier曲線被提出，但該類曲線存在漸進的問題，并且權(quán)因子使用不當(dāng)容易破壞幾何形狀[1,2]。為解決此類問題，學(xué)者們提出了許多帶有形狀參數(shù)的類Bernstein基和B樣條基[3 - 11]。

文獻[12]將參數(shù)引入控制頂點構(gòu)造出了一組帶形狀參數(shù)的擬Bézier曲線，并從光順性的角度出發(fā)在能量優(yōu)化的理論基礎(chǔ)上對形狀參數(shù)的取值給出了實用性建議。文獻[13]在代數(shù)多項式空間中構(gòu)造了一組類Bernstein基函數(shù)，其對應(yīng)生成的曲線具有幾何不變性和保凸性等性質(zhì)。文獻[14]基于文獻[13]中的基函數(shù)提出了帶多個形狀參數(shù)的擬三次Bézier曲面。文獻[15]在三角多項式空間中構(gòu)造了一類帶形狀參數(shù)的Bernstein-Bézier曲面片。文獻[16]將文獻[3]中的基函數(shù)擴展到三角域上得到了三角域上帶3個形狀參數(shù)的基函數(shù)，并給出了形狀可調(diào)性的三角域曲面。文獻[17]利用奇異混合技術(shù)構(gòu)造了一種簡單直觀的線性奇異混合樣條曲線，但未全面討論曲線的連續(xù)性及參數(shù)對曲線的影響。文獻[18]將奇異混合技術(shù)加入三次λμ-α-DP曲線得到了具有幾何連續(xù)性的線性奇異混合的三次λμ-α-DP曲線，但該曲線存在不能精確表示橢圓等二次曲線的缺點。

傳統(tǒng)Bézier曲線具有單位性、對稱性等優(yōu)良性質(zhì)，但往往不能精確表示橢圓弧等二次曲線。為了解決傳統(tǒng)曲線出現(xiàn)的問題，本文將奇異混合函數(shù)和三角多項式空間中的擬三次三角Bézier基函數(shù)相結(jié)合，得到了一種帶有形狀參數(shù)的奇異混合擬Bézier曲線。新構(gòu)造的曲線具有規(guī)范性、凸包性和幾何不變性等重要性質(zhì)的同時還具有靈活的形狀可調(diào)性，且滿足一定條件時2段奇異混合擬Bézier曲線能夠達到G1及G2連續(xù)。新曲線能夠克服傳統(tǒng)的Bézier方法未能準(zhǔn)確表示除拋物線外的圓錐曲線這一缺點。此外，基于傳統(tǒng)的NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)曲線表示形式能夠與傳統(tǒng)Bézier曲線進行轉(zhuǎn)化，本文方法與NURBS表示也具有較好的兼容性[19]。

2 奇異混合函數(shù)的構(gòu)造

2.1 奇異混合函數(shù)的定義

定義1設(shè)f(t)是定義在函數(shù)自變量t∈[0,1]上的一個連續(xù)函數(shù)，如果f(t)滿足如下條件:

f(0)=1,f(1)=0,

f(k)(0)=f(k)(1)=0,k=1,2,…,n

(1)

那么可以稱f(t)是n階奇異混合函數(shù)。

稱滿足式(1)且次數(shù)最小的多項式為最小奇異混合函數(shù)。

2.2 一般奇異混合函數(shù)的建立

根據(jù)定義1可知，n階奇異混合函數(shù)至少要滿足2n+2個條件，因此要求一個n階奇異混合函數(shù)可以按照如下方法進行。

設(shè)S為某函數(shù)空間的一個子空間，并有:

S=span{φ0(t),φ1(t),…,φ2n+1(t)},

φk(t)∈Cn[0,1]

其中φ0(t),φ1(t),…,φ2n+1(t)在[0,1]線性無關(guān)，則可設(shè)奇異混合函數(shù)為:

其中，ak(0≤k≤2n+1)為式(6)中線性方程組的系數(shù)，φk(t)(0≤k≤2n+1)代表線性方程組的未知量。

由定義1可得:

(2)

(3)

(4)

(5)

若令:

φk,j=φk,k=1,2,…,2n+1;j=0,1

則由式(2)～式(5)組成的方程組可以寫成如下形式:

(6)

求解式(6)就可得到所需的奇異混合函數(shù)。

3 奇異混合擬Bézier曲線的定義

文獻[20]證明了當(dāng)系數(shù)λ,μ∈(-2,1],t∈[0,π/2]時，基函數(shù):

(7)

為擬三次三角多項式空間Pλ,μ=Span{1,sin2t,(1-sint)2(1-λsint),(1-cost)2(1-μcost)}中的最優(yōu)規(guī)范全正基，稱式(7)所給出的基函數(shù)為三次三角Bézier基函數(shù)。若令t∈[0,1]，式(7)中的基函數(shù)可以改寫為:

(8)

基于該基函數(shù)對曲線曲面形狀控制的有效性，利用奇異混合函數(shù)和權(quán)的思想構(gòu)造出一種奇異混合擬Bézier曲線。

Q(t)=α(t)P(t)+(1-α(t))L(t),0≤t≤1

由定義2易知奇異混合擬Bézier曲線Q(t)含有4個參數(shù)α1,α2,λ,μ，通過改變它們的值就可以調(diào)節(jié)曲線的形狀。為方便討論稱α1,α2為混合參數(shù)，λ,μ為形狀參數(shù)。

4 奇異混合擬Bézier曲線基函數(shù)

4.1 奇異混合Bézier曲線基函數(shù)的表示

根據(jù)定義2所給的曲線表達式，可將三次奇異混合擬Bézier曲線進一步表示為:

Q(t)=α(t)P(t)+(1-α(t))L(t)=

T3,1(t)P1+T3,2(t)P2+T3,3(t)P3)+

若記

(9)

(10)

(11)

(12)

則

(13)

由式(3)知{Di(t,α1,α2,λ,μ)|i=0,1,2,3}具有權(quán)性。

引理1最小奇異混合函數(shù)在1/2處是一個不動點，即:

f(1/2)=1/2

定理1設(shè)f(t)為n(n>0)階最小奇異混合函數(shù)，則{Di(t,α1,α2,λ,μ)|t∈[0,1],i=0,1,2,3}線性無關(guān)的充分必要條件是:

證明充分性。

設(shè)ξ0,ξ1,ξ2,ξ3為任意實數(shù)，若有:

(14)

根據(jù)最小奇異函數(shù)在端點及1/2處的性質(zhì)，則有:

α1ξ0+(1-α1)ξ1=0

(15)

α2ξ3+(1-α2)ξ2=0

(16)

對式(14)求一階導(dǎo)數(shù)，得:

根據(jù)奇異混合函數(shù)的性質(zhì)及它在0與1處的導(dǎo)數(shù)為0，得:

(17)

(18)

必要性。

D0(t,α1,α2,λ,μ)=D1(t,α1,α2,λ,μ)=0

顯然函數(shù)組{Di(t,α1,α2,λ,μ)|i=0,1,2,3}是線性相關(guān)的，因此定理得證。

□

因{Di(t,α1,α2,λ,μ)|i=0,1,2,3}具有權(quán)性及線性無關(guān)性，故可視其為一組基函數(shù)。所以，奇異混合擬Bézier曲線可以由該基表示為:

4.2 奇異混合擬Bézier基函數(shù)的性質(zhì)

奇異混合擬Bézier基函數(shù)具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1規(guī)范性：

性質(zhì)2非負(fù)性：對于0≤α1,α2≤1，λ,μ∈(-2,1]，則有Di(t,α1,α2,λ,μ)≥0。

性質(zhì)3端點性質(zhì)：

D0(0,α1,α2,λ,μ)=α1

D0(1,α1,α2,λ,μ)=0

D1(0,α1,α2,λ,μ)=1-α1

D1(1,α1,α2,λ,μ)=0

D2(0,α1,α2,λ,μ)=0

D2(1,α1,α2,λ,μ)=1-α2

D3(0,α1,α2,λ,μ)=0

D3(1,α1,α2,λ,μ)=α2

性質(zhì)4對稱性：

D0(t,α1,α2,λ,μ)=D3(1-t,α2,α1,μ,λ)

D1(t,α1,α2,λ,μ)=D2(1-t,α2,α1,μ,λ)

性質(zhì)5退化性：若α1=α2=1，則奇異混合擬Bézier基函數(shù)退化為三次T-Bézier基函數(shù)；若α1=α2=1且λ=1,μ=1，則奇異混合擬Bézier基函數(shù)退化為三次類Bézier基函數(shù)。

4.3 奇異混合函數(shù)及參數(shù)對奇異混合擬Bézier基函數(shù)的影響

由式(9)～式(12)能夠看出，奇異混合擬Bézier基函數(shù)不僅與參數(shù)α1,α2,λ,μ有關(guān)，而且與奇異混合函數(shù)也有關(guān)。下面分析奇異混合函數(shù)及參數(shù)對奇異混合擬Bézier基函數(shù)的影響。

當(dāng)α1=α2=1時，奇異混合擬Bézier基函數(shù)即為式(11)所給最優(yōu)規(guī)范全正基，此時奇異混合函數(shù)對奇異混合擬Bézier基函數(shù)沒有影響。而由式(9)～式(12)不難發(fā)現(xiàn)，參數(shù)λ影響基函數(shù)D0,D1，參數(shù)μ影響基函數(shù)D2,D3，圖1b和圖1c分別給出了參數(shù)λ和μ的值依次增大對基函數(shù)D0,D1和基函數(shù)D2,D3的影響。當(dāng)α1≠α2≠1時，參數(shù)λ和μ對基函數(shù)D0,D1,D2,D3的影響均與圖1b和圖1c類似，因此在下面的討論中將視參數(shù)λ和μ為定值。

當(dāng)α1=α2=0時，有：

D0(t,α1,α2,λ,μ)=D3(t,α2,α1,λ,μ)=0

此時的4個基函數(shù)是線性相關(guān)的，從某種程度上來說不能嚴(yán)格稱之為基函數(shù)，這里不加以嚴(yán)格區(qū)分。圖1d給出了這種情況的基函數(shù)圖像。

Figure 1 Influence of parameters on singular blending quasi-Bézier basis function圖1 參數(shù)對奇異混合擬Bézier基函數(shù)的影響

當(dāng)α1,α2在0～1變化時，不同的奇異混合函數(shù)對基函數(shù)的影響并不明顯。式(19)和式(20)是利用2.2節(jié)的方法構(gòu)造的二次及五次最小多項式奇異混合函數(shù)：

f(t)=1-10t3+15t4-6t5

(19)

f(t)=(1-t)11+11t(1-t)10+

55t2(1-t)9+165t3(1-t)8+

330t4(1-t)7+462t5(1-t)6

(20)

圖2給出了α1,α2取值不同的情況下最小多項式奇異混合函數(shù)對奇異混合擬Bézier基的影響，其中圖2a，圖2c和圖2b，圖2d分別代表二次及五次最小多項式奇異混合函數(shù)對基函數(shù)的影響。

Figure 2 Influence of singular blending function on singular blending quasi-Bézier basis function圖2 奇異混合函數(shù)對奇異混合擬Bézier基函數(shù)的影響

下面討論奇異混合函數(shù)和λ,μ不變時，參數(shù)α1,α2對基函數(shù)的影響(這里采用式(19)所示的二階最小奇異混合函數(shù)，并且λ=μ=1)。

Figure 3 Influence of blending parameters α1,α2 on singular blending quasi-Bézier basis function圖3 混合參數(shù)α1,α2對奇異混合擬Bézier基函數(shù)的影響

由圖3a～圖3d反映出當(dāng)α1和α2逼近于1時，奇異混合擬Bézier基函數(shù)近似為三次三角Bézier基函數(shù)，當(dāng)α1或α2向0逼近時，奇異混合擬Bézier基函數(shù)的D0或D3被嚴(yán)重壓縮。由圖3e和圖3f能夠看出,當(dāng)α1和α2超出0～1時，奇異混合擬Bézier基函數(shù)的變化幅度較大。

5 奇異混合擬Bézier曲線的性質(zhì)

根據(jù)奇異混合擬Bézier基函數(shù)的性質(zhì)，可得奇異混合擬Bézier曲線具有如下性質(zhì):

性質(zhì)6端點性質(zhì)：

R(0)=α1P0+(1-α1)P1

R(1)=α2P3+(1-α2)P2,

(21)

性質(zhì)7幾何不變性和仿射不變性：由于奇異混合擬Bézier基函數(shù)具有規(guī)范性，則奇異混合擬Bézier曲線的形狀只取決于控制頂點，而與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

性質(zhì)9凸包性：當(dāng)α1,α2∈[0,1]時，由奇異混合擬Bézier基函數(shù)的規(guī)范性和非負(fù)性能夠得到曲線具有凸包性。

性質(zhì)10逼近性：α1,α2趨于0時，奇異混合擬Bézier曲線向控制多邊形第2條邊逼近。

性質(zhì)11退化性：當(dāng)α1=α2=1時，奇異混合擬Bézier曲線形式同三次T-Bézier曲線；當(dāng)α1=α2=1且λ=μ=1時，奇異混合擬Bézier曲線將退化為三次類Bézier曲線。

性質(zhì)12非凸包性：當(dāng)α1,α2?[0,1]時，奇異混合擬Bézier曲線超出控制頂點形成的凸包。

6 參數(shù)對奇異混合擬Bézier曲線形狀的影響

6.1 形狀參數(shù)λ,μ對曲線形狀的影響

令α1=α2=1，在圖4中λ,μ的取值增大時奇異混合擬Bézier曲線向控制頂點P1或P2趨近。λ不變μ的值越大奇異混合擬Bézier曲線越靠近控制頂點P1。μ不變λ的值越大奇異混合擬Bézier曲線向控制頂點P2趨近的程度越大。圖4～圖9中直角坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)表示控制頂點Pi(i=0,1,2,3)的橫縱坐標(biāo)。

Figure 4 Influence of shape parameters λ,μ on the shape of singular blending quasi-Bézier curves圖4 形狀參數(shù)λ,μ對奇異混合擬Bézier曲線形狀的影響

6.2 混合參數(shù)α1,α2對曲線形狀的影響

為了更清楚地了解混合參數(shù)α1,α2對曲線形狀的影響，令λ=μ=0.5。

Figure 5 Influence of parameters α1,α2 on the shape of the curve圖5 參數(shù)α1,α2對曲線形狀的影響

如圖5a～圖5e所示，當(dāng)參數(shù)α1和α2在[0,1]變化時，奇異混合擬Bézier曲線完全在控制多邊形所形成的凸包內(nèi)變化。當(dāng)α1趨于1時，曲線的始點趨于P0，當(dāng)α1趨于0時，曲線的始點趨于P1。因此，當(dāng)參數(shù)從0變化到1時曲線的始點在P0P1上從P1變化到P0。而當(dāng)參數(shù)α2從0到1變化時，曲線的終點在P2P3上從P2變化到P3。如圖5f～圖5h所示，由于參數(shù)α1,α2超出[0,1]，曲線被拉出控制網(wǎng)格的凸包。分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)α1,α2使得曲線擁有較好張力的同時具有良好的形狀可調(diào)性。

7 奇異混合擬Bézier曲線曲面設(shè)計

7.1 奇異混合擬Bézier曲線的拼接

在實際造型設(shè)計過程中，單個的奇異混合擬Bézier曲線往往無法準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲線，為保證曲線的光滑性常采用拼接方法。

設(shè)2段奇異混合擬Bézier曲線分別為：

其中,Pi,Qi分別為2段奇異混合擬Bézier曲線的控制頂點。

經(jīng)簡單計算可得:

即R1(1)=R2(0)，則2段奇異混合擬Bézier曲線滿足G0連續(xù)。

R′2(0)=ξR′1(1),ξ>0

(22)

由性質(zhì)6可得:

(23)

(24)

將式(23)和式(24)代入式(22)可得：

(25)

為使2段奇異混合擬Bézier曲線在公共連接點處滿足G2連續(xù)，2條曲線滿足G1連續(xù)的條件外還要滿足：

R″2(0)=ξ2R″1(1)+δR′1(1)

由端點性質(zhì)可得：

(26)

則2段奇異混合擬Bézier曲線能夠達到G2連續(xù)條件為：式(25)和式(26)。圖6和圖7分別給出了奇異混合擬Bézier曲線的G1和G2連續(xù)的圖像。

Figure 6 G1-continuous of singular blending quasi-Bézier curves圖6 奇異混合擬Bézier曲線的G1連續(xù)

Figure 7 G2-continuous of singular blending quasi-Bézier curves圖7 奇異混合擬Bézier曲線的G2連續(xù)

7.2 圓弧、橢圓弧和拋物線弧的精確表示

設(shè)控制多邊形頂點為P0=(0,0),P1=(a,0),P2=P3=(2a,b)，令α1=α2=1,λ=0,μ=0，則:

Figure 8 Accurate representation of a parabolic arc圖8 拋物線弧的精確表示

設(shè)控制多邊形的頂點為Q1=(0,2b),Q2=(a,2b),Q3=(2a,b),Q4=(2a,0)，令α1=1,α2=1，λ=μ=0,則有:

由此可得橢圓方程為：x2/a2+y2/b2=1,當(dāng)a=b時，即為圓的方程。圖9中實線部分是奇異混合擬Bézier曲線對圓弧的精確表示。

Figure 9 Accurate representation of the arc圖9 圓弧的精確表示

7.3 橢球面的精確表示

用張量積的方法可以將奇異混合擬Bézier曲線推廣至四邊域曲面。其表達式為：

V(t,α1,α2,λ,μ,u,v)=

稱為奇異混合擬Bézier曲面。

若給定合適的控制頂點及參數(shù)，則奇異混合擬Bézier曲面能夠精確表示橢球面及球面。給定控制頂點:

參數(shù)α1=α2=1,λ=μ=0時，可得:

當(dāng)a=b=3/(2c)時表示球面，圖10所示為奇異混合擬Bézier曲面表示的球面片。

Figure 10 Spherical patches represented by singular blending quasi-Bézier surfaces圖10 奇異混合擬Bézier曲面表示的球面片

8 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的奇異混合擬Bézier曲線，討論了基函數(shù)及曲線的優(yōu)良性質(zhì)的同時詳細(xì)地分析了奇異混合函數(shù)及參數(shù)對曲線的影響。本文構(gòu)造的新曲線不僅有很強的形狀可調(diào)性，而且還克服了傳統(tǒng)Bézier曲線不能精確表示圓弧、橢圓弧等二次曲線的缺點。分析及實例表明，新曲線具有很強的實用性與有效性。為滿足復(fù)雜曲線曲面造型設(shè)計的多元需求，還需對形狀參數(shù)域曲線的光順性的關(guān)系及曲線曲面的形狀進行更深入的討論(如尖點、拐點、重結(jié)點等)，限于篇幅將另文敘述。