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    “隱零點(diǎn)”問題三探

    2021-05-18 02:57:14浙江省紹興稽山中學(xué)312000
    關(guān)鍵詞:基本思路零點(diǎn)最值

    浙江省紹興稽山中學(xué) (312000) 韓 琦

    1.一探基本思路

    例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+2),證明f(x)> 0.

    從上可以看出,處理“隱零點(diǎn)”問題思路是:

    (1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程f′(x0)=0,并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;

    (2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù),進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式;

    (3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形,整體帶入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明.

    2.二探深化思想

    分析:對(duì)含參的函數(shù)f(x,a),(a為參數(shù))“隱零點(diǎn)”問題, 同基本思路,不妨設(shè)方程f′(x,a)=0的根為x0,但要注意確定這個(gè)x0的合適范圍,這個(gè)也往往和a的范圍有關(guān).事實(shí)上,把“隱零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為“顯零點(diǎn)”問題也是很好的方法.

    3.三探變異思維

    例3 (2013全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ-21-2)已知f(x)=ex-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)> 0.

    解:(1)略;(2)當(dāng)m≤2時(shí),x∈(-m,+∞) ,ln(x+m)≤ln(x+2),從而ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),故只需證明h(x)=ex-ln(x+2)>0 即可.

    參照例1解答過程,即可得證.

    評(píng)注:本例就是把問題通過放縮等數(shù)學(xué)方法演變成“隱零點(diǎn)”問題,然后求解.

    評(píng)注:本題的難點(diǎn)在于找到零點(diǎn)x0與a的聯(lián)系.利用解決“隱零點(diǎn)”問題的思路,可以較好地把問題化難為易,化繁為簡(jiǎn).

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