基于新課程理念的概念課教學
——以“充分條件、必要條件、充要條件”為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學 (215021) 梅滋亞

2013年，教育部啟動了普通高中課程修訂工作．“研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質(zhì)量標準”，成為課程標準修訂的重要要求．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)解讀》(下稱《課標解讀》)希望教科書的編寫和教師的教學，能夠把數(shù)學內(nèi)容教學與相應(yīng)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)有機結(jié)合，在關(guān)注學生掌握知識與技能的同時，關(guān)注學生相應(yīng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成[1]．筆者嘗試以此為指導，以2019版蘇教版(下稱新教材)《普通高中教科書·數(shù)學》(必修第一冊)第2.2節(jié)“充分條件、必要條件、充要條件”為例進行設(shè)計和分析，把其中的一些想法整理成文，供同行參考．

1 教學目標及重難點

教學目標：(1)通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件、必要條件和充要條件的意義；理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系、數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系；(2)結(jié)合具體命題，學會判斷充分條件、必要條件、充要條件；(3)在師生、生生間交流和思考中感悟、提升數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)．

教學重點：在具體的問題情境中抽象、概括出充分條件和必要條件的概念．

教學難點：對必要條件概念的理解．

2 教學過程設(shè)計

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

一般地，當命題“若p，則q”為真命題時，我們就說“由p可以推出q成立”，記作“p?q”，讀作“p推出q”；如果命題“若p，則q”為假命題，就說“由p不能推出q成立”，記作“p?q”，讀作“p不能推出q”．

問題情境觀察下列命題，脫離具體背景，大家能否抽象概括出這些命題的條件和結(jié)論之間有何共同特點？

(1)x=y?x2=y2；

(2)x>1?x2>1；

(3)△ABC≌△A′B′C′?S△ABC=S△A′B′C′．

師生活動：在教師的啟發(fā)和引導下，讓學生經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)和提出過程，初步感受命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．同學們可以暢所欲言，談?wù)勛约旱目捶?，比如：這三個命題的條件都能推出結(jié)論成立；這三個命題的條件都只是結(jié)論成立的一種情況；這三個命題的結(jié)論都是條件成立的前提等等．討論之后，激發(fā)同學們學習本節(jié)課的興趣，促進學生主動參與，教師引出本節(jié)課要研究的主題：如果“p?q”，那么p，q之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：相對于義務(wù)教育階段的數(shù)學知識，高中階段的數(shù)學知識較為抽象．抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段[2]．前面集合的學習就是在現(xiàn)實情境或數(shù)學情境中，概括出數(shù)學對象的一般特征，進而抽象出數(shù)學概念．設(shè)置同學們所熟悉的三個數(shù)學命題，分別與等式、不等式、三角形問題相關(guān)，脫離具體背景，抽象、歸納出它們之間的關(guān)系，在體會和感悟的過程中慢慢培養(yǎng)數(shù)學抽象的能力．

2.2 新知探求，建構(gòu)數(shù)學

問題1 分析(1)(2)(3)，命題中的條件是否可以“充分保證”結(jié)論成立？

師生活動：同學們自主探究后交流，上述命題中的條件都可以“充分保證”結(jié)論成立．教師點評：“p?q”的含義是：一旦p成立，q一定也成立，即p對q的成立是充分的．類似于這樣的關(guān)系，可表述如下：如果“p?q”，那么稱p是q的充分條件(板書)．

問題2 分析(1)(2)(3)，命題中的結(jié)論如果不成立，條件還成立嗎？結(jié)論是條件成立“必不可少”的條件嗎？

師生活動：這個問題比上個問題稍難理解，讓同學們思考后交流討論，上述命題中的結(jié)論如果不成立，條件一定不成立，也就是說結(jié)論都是條件成立“必不可少”的條件．教師引導、點評：“p?q”也可以這樣理解：如果q不成立，那么p一定不成立，即q對p的成立是必要的．板書“必要條件”的概念，并強調(diào)充分條件和必要條件的關(guān)系是同時存在的．

設(shè)計意圖：通過以上兩個問題的分析，從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，同學們可以很自然地自己總結(jié)出概念，理解定義的必要性和合理性．其實，這里面所蘊含的邏輯關(guān)系，在平時的學習中都在用，這里只是通過教師的引導和同學們的感受，把這種關(guān)系抽象出來，從數(shù)學的角度給出了定義．

為了更好地理解充分條件和必要條件的概念，下面再從反面思考兩個問題．我們知道：

(4)x2=y2?x=y；

(5)x2>1?x>1；

(6)S△ABC=S△A′B′C′?△ABC≌△A′B′C′．

問題3 分析(4)(5)(6)，命題中的條件是否可以“充分保證”結(jié)論成立？

師生活動：同學們討論交流，上述命題中的條件不能“充分保證”結(jié)論成立，比如命題(4)中，x2=y2不能保證x=y，還有可能x=-y．教師點評：如果p?q，那么p不是q的充分條件．

問題4 分析(4)(5)(6)，命題中的結(jié)論如果不成立，條件還成立嗎？結(jié)論是條件成立“必不可少”的條件嗎？

師生活動：同學們獨立思考后分組討論，教師恰當引導，上述命題中的結(jié)論不是條件成立“必不可少”的條件，比如命題(4)中，x=y就不是x2=y2成立“必不可少”的條件，因為x=-y也有x2=y2成立．教師點評：如果p?q，那么q不是p的必要條件．

設(shè)計意圖：有關(guān)邏輯的內(nèi)容，本身就比較復(fù)雜，因此為了凸顯要表達的數(shù)學概念，選用簡潔的數(shù)學背景．在以上兩個問題中，通過分析三個命題，體會不充分條件和不必要條件的含義．

至此為止，教師可以完成如下板書內(nèi)容的講解：

p?qp?qp是q的充分條件p不是q的充分條件q是p的必要條件q不是p的必要條件

理解了充分條件和必要條件概念的內(nèi)涵之后，同學們還要掌握快速判斷充要性的方法：若前面可以推出后面，則前面是后面的充分條件，同時稱后面是前面的必要條件；若前面不能推出后面，則前面不是后面的充分條件，同時稱后面不是前面的必要條件．對于充分條件和必要條件的學習應(yīng)該再通過討論一些數(shù)學命題逐步體會，通過實際例子來學習和理解，教材也循序漸進地給出了如下例題．

2.3 數(shù)學運用，深化理解

例1 下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？

(1)p：x=2，q：x2-x-2=0；

(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；

(4)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是平行四邊形．

例2 下列所給的各組p，q中，p是q的必要條件的有哪些？

(1)p：|x|=1，q：x=1；

(2)p：兩個直角三角形全等，q：兩個直角三角形的斜邊相等；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；

(4)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是平行四邊形．

設(shè)計意圖：通過例1和例2，進一步理解充分條件和必要條件概念的內(nèi)涵，讓學生體會分析問題、解決問題的過程．值得注意的是：要判斷p是否為q的充分條件，只需判斷p能否推出q?要判斷p是否為q的必要條件，只需判斷q能否推出p?舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．觀察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以發(fā)現(xiàn)，其中既有p?q，也有q?p．教師板書充分且必要條件的概念，并介紹形式邏輯里最常用的推理規(guī)則：傳遞性．

例3 指出下列命題中，p是q的什么條件？

(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應(yīng)角相等；

(2)p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；

(3)p：a2=b2，q：a=b；

(4)p：x>y，q：x2>y2．

設(shè)計意圖：例3是例1和例2的綜合應(yīng)用，通過例3，深化對充分條件和必要條件概念的理解．新教材并沒有像2004版蘇教版(下稱舊教材)中直接給出充分不必要條件、必要不充分條件和既不充分又不必要條件的概念，而是出現(xiàn)在本例題中．筆者認為，新教材的設(shè)置更加合理，因為四大充要關(guān)系其實就是核心概念“充分條件”和“必要條件”的綜合應(yīng)用．新教材表述也不太一樣，比如：新教材中對本例題(1)的表述是：p是q的充分條件，但p不是q的必要條件．

思考1：例1(4)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的對角線互相平分”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，你能再給出其它充分條件嗎？

思考2：例2(4)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“四邊形的對角線互相平分”．這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，你能再給出其它必要條件嗎？

思考3：容易發(fā)現(xiàn)，“四邊形的對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件．因此“對角線互相平分的四邊形”也可以作為“平行四邊形”的定義．大家還能舉出其它例子嗎？

設(shè)計意圖：為學生提供用邏輯用語梳理初中典型命題的機會，理解充分條件和必要條件的不唯一性；理解數(shù)學中的每一條判定定理都具有“充分性”；每一條性質(zhì)定理都具有“必要性”，而數(shù)學定義具有“充要性”．讓學生體會用新語言表述舊知識的簡潔性、嚴謹性和統(tǒng)一性，數(shù)學學科中大量的命題都是用它們來表述的，在后續(xù)的學習中要習慣并自覺地運用這些語言表達和交流，逐步提升數(shù)學素養(yǎng)．

2.4 回顧反思，提升素養(yǎng)

問題5 通過這節(jié)課的學習，大家有哪些收獲和感悟？

設(shè)計意圖：比獲得知識更重要的是感悟獲得這些知識的方法以及蘊含在其中的數(shù)學素養(yǎng)．觀察實例、抽象概括、實例體會，這個過程可以很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，在思考中積累經(jīng)驗、學會學習．

2.5 課外作業(yè)，鞏固練習

P33：習題2.2第1，2，3題．

3 教學設(shè)計反思

3.1 對情境引入的認識

《課標解讀》指出：基于核心素養(yǎng)的教學，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出．核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，只有通過合適的情境才有利于學生感悟和形成．筆者在思考這節(jié)課的導入部分時，有兩個方案備選：一個是從生活事例出發(fā)，引入充分條件與必要條件的概念；一個是從數(shù)學實例出發(fā)，抽象出充分條件與必要條件的概念．可能從生活的角度出發(fā)，可以使得數(shù)學更加生動、離我們更近，而且能夠很好地活躍課堂氣氛，但是容易產(chǎn)生歧義和誤解．筆者認為，情境導入合理與否的一個標準是它能否很好地服務(wù)數(shù)學課堂、能否給學生提供探索的平臺，讓學生心無旁騖、自然地進行新知探求．所以，再三斟酌，選擇了后者，通過具體數(shù)學命題的考察和分析，讓同學們來領(lǐng)會和理解嚴謹?shù)臄?shù)學概念，潛移默化中提升數(shù)學素養(yǎng)．

3.2 對概念生成的思考

筆者在教學設(shè)計時注重概念的生成．本節(jié)課，最重要的核心概念是“充分條件”和“必要條件”．和舊教材開門見山地給出充分條件和必要條件的概念相比，新教材增加了兩句話做鋪墊，使得概念的出現(xiàn)更加自然，顯然教材編寫組的專家認為對概念的生成部分有必要放慢節(jié)奏，給同學們思考和感悟的空間．所以，筆者通過問題1至問題4的設(shè)置，啟發(fā)學生思考，通過歸納、抽象和概括，自然形成數(shù)學概念，理解定義“充分條件”和“必要條件”這兩個概念的必要性和合理性，注重揭示數(shù)學本質(zhì)，引導學生進行數(shù)學思維．課堂的情境引入部分和例題深化部分關(guān)注學生的認知基礎(chǔ)，引用了大量的同學們初中時所熟知的內(nèi)容，這樣既體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下稱《課標》)對預(yù)備知識的要求：以義務(wù)教育階段數(shù)學課程內(nèi)容為主要載體，也方便了師生的教和學．數(shù)學家迪里滿說：“數(shù)學是語言的語言”．通過這節(jié)課的學習，讓同學們體會到邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達和交流的工具．學習常用邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學概念、合理論證數(shù)學結(jié)論、準確表達數(shù)學內(nèi)容．這些感覺和體會可能還會隨著同學們后續(xù)的學習逐步加深，數(shù)學學習最重要的是理性思維的培養(yǎng)．一次次的概念生成過程體驗，就是一次次的思維鍛煉提升，這也是本節(jié)課的設(shè)計初衷．

3.3 對能力素養(yǎng)的關(guān)注

《課標》指出：碎片化的數(shù)學內(nèi)容，無法把數(shù)學的本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，應(yīng)該把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整體設(shè)計．新教材必修第一冊的前三章承載了《課標》中主題一預(yù)備知識的內(nèi)容．通過對這些知識的學習，要為高中數(shù)學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數(shù)學學習的過渡，在掌握知識的同時重點提升數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)[3]．本節(jié)課作為其中一部分，作用當然不可忽視．以數(shù)學學習中常遇到的表述為背景，按照“問題—分析—抽象—應(yīng)用”的程序設(shè)計教學活動，通過對典型數(shù)學命題的分析，抽象出命題中條件與結(jié)論之間一般化的關(guān)系，形成本節(jié)課的概念，然后通過具體的實例進一步體會．教學設(shè)計中有意識讓學生獨立自主地“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”，經(jīng)歷數(shù)學探究的完整過程，滲透研究數(shù)學問題的一般方法，感悟數(shù)學抽象和邏輯推理能力的提升．問題的設(shè)置由淺入深，將核心素養(yǎng)蘊含于教學內(nèi)容的邏輯體系之中，在關(guān)注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊含的數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學思想，最終實現(xiàn)發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)的目標．