基于主應力軌跡線的熔融沉積成型填充路徑優(yōu)化

李帥帥，徐惠良，陳子謙，于 穎，王 玉

（1. 同濟大學機械與能源工程學院，上海201804；2. 同濟大學中德工程學院，上海201804）

隨著增材制造（Additive manufacturing，AM）技術由制造“原型”向制造“零件”轉變，其訴求的重點已經(jīng)由“幾何”轉向“性能”。以熔融沉積制造（Fused deposition modeling，F(xiàn)DM）為代表的擠出式增材制造，其熔融絲材從線到面、從面到體的材料沉積成型的制造過程（1D→2D→3D）造成了線與線之間（層內）以及面與面之間（層間）較差的抗拉與抗剪強度，這種方向上的性能差異（或稱性能的方向依賴性），即所謂的各向異性，對零件機械性能有直接而重要影響［1-3］。研究表明，零件在建造方向相對于水平方向其抗拉性能相差50%左右［4］，層內路徑位置和走向直接影響零件的機械性能，不同路徑有不同的機械性能［5］。一直以來，通過特殊的打印工藝設計減小各向異性［6-7］，或采用正交路徑來達到材料性能的準各向同性［8］等做法雖然對改善零件的機械性能起到一定作用，但并不能從根本上解決FDM與生俱來的各向異性影響。

與試圖減小零件各向異性（認為各向異性是缺點）的做法不同，受復合材料中增強纖維沿載荷路徑布置［9-10］、鍛件設計中其纖維流線與應力保持一致以及植物纖維的生長和其受力方向一致［11］等思想的啟發(fā)，如果能按照零件的受力情況進行路徑優(yōu)化，使零件各向異性與其所承受的載荷工況相匹配，則這種各向異性反倒可能會成為一種相對優(yōu)勢。Gardan等［12］以標準拉伸件為對象，比較根據(jù)應力場設計的路徑與傳統(tǒng)填充路徑所制造樣件的機械性能，發(fā)現(xiàn)沿應力方向設計路徑拉伸強度最大可提高45%。Stauben 等［13］提出零件內部填充樣式應該是其應力分析結果的函數(shù)，填充不應是同構的標準樣式而應是基于應力場設計的異構模式?；谥鲬Ψ较虻腇DM 路徑優(yōu)化，Xia 等［14］根據(jù)有限元分析得到的主應力方向，僅對局部區(qū)域的填充路徑進行了優(yōu)化，獲得了較好的機械性能。Kam等［15］主要研究了基于應力軌跡線生成的格狀結構在曲面殼體打印中的應用，對于實體填充路徑并未深入。

本文基于主應力軌跡線對FDM 填充路徑進行優(yōu)化，首先研究基于有限元分析的主應力軌跡線生成和可視化方法，其次研究基于主應力軌跡線種子線的填充路徑生成算法以及填充路徑轉換G代碼的方法，最后進行力學試驗驗證。

1 主應力軌跡線生成方法

類似于描述磁場分布的磁場線，載荷工況下零件內部同樣會形成力的流線，它往往是從載荷點流向約束點，一定程度上反映了應力場中力的傳遞路徑。力流線有多種可視化形式，不同的可視化形式有不同的計算生成方法［16-17］。對于一個平面設計域，已知載荷和約束條件，就可以得到設計域內任意點的主應力大小和方向，在這個平面內生成一對正交曲線，使得該曲線上任意點的切線方向是該點的主應力方向，這對力流線即為主應力軌跡線［18］。在彈性變形范圍內，主應力軌跡線的分布規(guī)律與載荷的大小、物體材料類型無關，主要受載荷和約束的位置、類型影響［19］。主應力軌跡線生成可采用解析法和數(shù)值法，解析法是通過求解受力結構得到應力分量解析式，然后基于各點應力軌跡方向的方向導數(shù)來生成主應力軌跡線。數(shù)值法是基于有限元分析結果，提取節(jié)點的主應力大小和方向，然后采用插值方法生成主應力軌跡線，具體流程如圖1所示。

圖1 基于有限元分析的主應力軌跡線生成方法Fig.1 Principal stress lines generation method based on finite element analysis

1.1 基于有限元分析的主應力軌跡線生成方法

基于有限元分析結果可以獲得單元節(jié)點處的應力大小及方向，但基于此獲得的結果是離散的，因此需要建立起離散節(jié)點信息的相互關系，進而構建其對應的連續(xù)應力場。常用的數(shù)學計算方法有插值法和積分法兩種，一般對于三角形單元節(jié)點來說，可以利用插值法進行求解。對于三角形單元節(jié)點P1，P2和P3以及其對應的應力D1，D2和D3，可求出節(jié)點P1，P2和P3所在單元內的點P處的應力D，計算如下：

笛卡爾坐標系下，三角形ABC的面積為

點坐標(x，y)可以表示為

對于重心P 點處方向向量的插值求解，如圖2b所示，已知位于三角形ABC 三個頂點處的方向向量，可以求得P點(x，y)處的方向向量為(Vx，Vy)為

通過上述重心坐標的插值求解法，即可以求解出任意三角單元中的重心坐標，同時可以根據(jù)頂點的方向向量插值求得該點處方向向量。其中，當系數(shù)(α，β，γ)均大于0 且小于1 時，P 點位于三角形ABC 內部；當系數(shù)(α，β，γ)中任意一個等于1 時，P點位于三角形ABC 的一條邊上；除此之外的情況下，P 點位于三角形ABC 外部。該方法適用于平面內的應力場插值，依次利用三個節(jié)點或種子點信息，遍歷可構建連續(xù)的應力場，進而然后選擇起點生成單元連續(xù)應力軌跡線片段，最后把各應力軌跡線片段拼接起來生成主應力軌跡線。

圖2 三角形重心坐標插值法Fig.2 Triangle barycenter coordinate interpolation method

1.2 基于Grasshopper的主應力軌跡線可視化

Grasshopper 是基于Rhino 軟件的可編程插件，與Rhino 建模軟件結合可以便捷實現(xiàn)模型的可視化編程以及交互式設計。因此，基于有限元分析的主應力軌跡線生成方法在Grasshopper 平臺上進行了實現(xiàn)。如圖3a所示，以一個簡支梁的主應力軌跡線生成為例，首先，在Rhino 建模軟件中建立簡支梁的平面模型，將從有限元分析結果中提取的主應力大小和方向導入Python 語言編的連續(xù)應力場構建模塊；其次基于Populate Geometry 模塊在設計域內生成一定數(shù)量的隨機種子點，如圖3b所示），生成種子點的數(shù)量決定了插值生成的主應力軌跡線的密度；最后，插值生成正交的主應力軌跡線，如圖3c所示。其中，將最大主應力方向計算生成的曲線稱為主應力軌跡線σ1，將最小主應力方向計算生成的曲線稱為主應力軌跡線σ2，分別如圖3d和3e所示。

2 基于主應力軌跡線的FDM 填充路徑優(yōu)化

FDM 零件的層內各向異性主要體現(xiàn)在絲材之間熔接線處較差的抗拉與抗剪強度，這種各向異性是FDM工藝帶來的與生俱來的特性，層內路徑的位置與走向直接影響零件的機械性能，不同的路徑帶來不同的性能表現(xiàn)。在傳統(tǒng)切片軟件中，打印路徑的生成主要基于零件的幾何信息，大多采用均勻同構樣式，并未考慮零件實際工況下的載荷信息。而基于主應力軌跡線的FDM 填充路徑優(yōu)化是在分析零件設計域內主應力軌跡線的分布特征的基礎上，自定義規(guī)劃FDM層內填充路徑，實現(xiàn)填充路徑與主應力軌跡線相協(xié)調，進而使力盡可能沿著絲的軸向傳遞，以最大限度減小各向異性對零件力學性能的負面影響。

圖3 簡支梁的主應力軌跡線生成Fig.3 The principal stress lines generation of the simply supported beam

2.1 基于主應力軌跡線的FDM 填充路徑生成方法

為了解決傳統(tǒng)FDM 切片軟件無法實現(xiàn)自定義填充路徑的問題，提出了基于種子主應力軌跡線的FDM 填充路徑生成方法。該方法流程如圖4 所示，首先選取若干條生成的主應力軌跡線為種子線，再以種子線為邊界輪廓將模型設計區(qū)域內劃分為若干子區(qū)域；其次遍歷各個子區(qū)域，以各個子區(qū)域對應的邊界種子線為準，根據(jù)設定的填充密度（即設定打印路徑之間的最小距離d）在子區(qū)域內生成偏置線作為打印路徑，以此完成所有子區(qū)域的填充路徑的生成；最后，將區(qū)域內的路徑首尾相連成連續(xù)路徑，以減少打印過程中的空行程，提高打印效率。

根據(jù)上述基于種子線的區(qū)域路徑生成算法流程，以簡支梁的主應力軌跡線σ1為例，詳細闡述填充路徑生成過程，如圖5所示。首先，當定義打印件為100%填充的情況下，種子線的選取需要根據(jù)生成的主應力軌跡線的分布和走向，優(yōu)先確定主應力軌跡線密集處的填充，以主應力軌跡線之間最小間距為選擇原則，該間距的設定以所使用的FDM打印機擠出頭噴嘴直徑為準，如當打印機擠出頭的噴嘴直徑為0.4mm 時，則選擇的種子線之間最小間距為0.4mm，圖5a 所示即為從簡支梁的主應力軌跡線σ1中選擇的種子線，其中每條種子線在中間部分的最小間距均為0.4mm，種子線將設計域劃分為了若干子區(qū)域。其次，在各個子區(qū)域中生成打印路徑，以相鄰的兩條種子線為偏置輪廓線，以擠出頭噴嘴的直徑0.4mm 為偏置距離，向區(qū)域內由下至上、由左至右遍歷所有兩兩種子線間的區(qū)域，直至路徑填充所有子區(qū)域，生成的簡支梁的路徑如圖5b 所示。最后，將種子線及子區(qū)域內生成的路徑首尾相連，最大程度上保證設計域內路徑連續(xù)，完成了基于簡支梁主應力軌跡線σ1的FDM層內填充路徑優(yōu)化。

圖4 基于種子線的區(qū)域路徑生成算法流程Fig.4 The algorithm flow of region toolpath genera?tion based on seed lines

2.2 基于Grasshopper的FDM工藝平臺

雖然已經(jīng)生成了基于主應力軌跡線的FDM 打印路徑，但是由于傳統(tǒng)的切片軟件內無法實現(xiàn)自定義路徑到G代碼轉換。因此，需要開發(fā)一個FDM工藝平臺將這些自定義路徑轉化為打印機可識別的G代碼，實現(xiàn)自定義路徑的打印。本文基于內嵌于建模軟件Rhino的Grasshopper實現(xiàn)了打印路徑上的點的提取及參數(shù)化編輯，進而實現(xiàn)了自定義路徑生成代碼，基于Rhino/Grasshopper 的FDM 工藝平臺的設計流程如圖6a所示。

圖5 簡支梁的填充路徑生成Fig.5 The region toolpath generation of the simply supported beam

（1） 基于Grasshopper樹形數(shù)據(jù)結構的FDM填充路徑順序規(guī)劃

在Grasshopper 中，數(shù)據(jù)以樹形結構存儲，即數(shù)據(jù)在Grasshopper中以一定的層級關系存儲，并且這種層級關系是可以根據(jù)需求調整的。在FDM 設計域內的填充路徑可分為三大類：幾何邊框，連續(xù)的種子主應力軌跡線以及被種子線所劃分子區(qū)域內的填充路徑，需要先定義這三類填充路徑的打印先后順序，這也決定著后續(xù)點數(shù)據(jù)處于樹形結構中的順序。因此，采用單層數(shù)據(jù)結構中的一個分支存儲一條連續(xù)路徑線的各點坐標，所有連續(xù)路徑線在單層數(shù)據(jù)結構中的分支順序，即可規(guī)劃路徑的打印順序。

（2） 基于Grasshopper 樹形數(shù)據(jù)結構的G 代碼輸出

內嵌于Grasshopper平臺的Python編譯環(huán)境，提供了Branch函數(shù)來引用位于樹形結構中的任意點坐標值。對于單層樹形結構，引用方法為Branch［i］［j］［k］。其中，i對應路徑，即所在分支；j表示為所在第i分支的第j個點數(shù)據(jù)；k即對應點的x/y/z坐標值，k=0時代表對應x坐標值，以此類推。因此，基于傳統(tǒng)的FDM打印G代碼的邏輯結構，將位于樹形結構中的點數(shù)據(jù)按順序輸出。如圖6b 所示為開發(fā)的G代碼生成模塊，該模塊可設置首層打印高度，層高、擠出倍率、總打印高度等FDM 工藝參數(shù)，突破了傳統(tǒng)FDM切片軟件不可自定義層內填充路徑的限制，能夠便捷讀取基于主應力軌跡線的層內填充路徑，并以G 代碼的邏輯輸出所需要的打印文件。然而，該模塊目前只適用于各層截面形狀不變的打印模型，對于各層變截面模型并不適用。

圖6 基于Grasshopper的FDM工藝平臺設計與實現(xiàn)Fig.6 FDM process platform design and implementation based on Grasshopper

3 基于主應力軌跡線的FDM 打印路徑優(yōu)化試驗驗證

3.1 試驗方案設計

試驗選用拉伸試樣和三點彎曲試樣作為研究對象，對比傳統(tǒng)的層內填充路徑和基于主應力軌跡線的層內填充路徑的試樣所表現(xiàn)出來的力學性能。根據(jù)塑料拉伸性能的測定標準GB/T 1040-2006 及塑料彎曲性能的測定標準GB/T 9341-2008 設計試驗樣件的幾何尺寸。但是對于標準拉伸試樣，由于受力情況及幾何較為簡單，其在傳統(tǒng)FDM工藝下沿試件拉伸方向（即0°方向）填充路徑與其內部的主應力軌跡線分布已成映射關系，因此，試樣將在標準幾何尺寸的基礎上，在中間加一個小孔，使其內部主應力軌跡線分布更加復雜，增加試驗的對比性。對于拉伸和三點彎曲試樣，分別設計了0°方向填充、90°方向填充以及基于主應力軌跡線填充的三種路徑樣式。其中，傳統(tǒng)填充路徑0°方向和90°方向的試樣的G 代碼由傳統(tǒng)切片軟件Simplify3D 生成，而基于主應力軌跡線的填充路徑得G代碼由2.2小節(jié)中開發(fā)的FDM工藝平臺生成。圖7a和圖7b分別為設計得拉伸試樣和三點彎曲試樣的幾何尺寸及填充路徑。

圖7 拉伸試樣和三點彎曲試樣的幾何尺寸及填充路徑設計Fig.7 Geometry and toolpath design for tensile specimens and three-point bending specimens

拉伸和彎曲試樣打印采用的是框架式FDM 打印機，材料采用的是同批次直徑為1.75mm，密度為1.25±0.05g cm-3熱塑性高分子材料聚乳酸PLA 絲材。樣件制備過程中FDM工藝參數(shù)如下：噴嘴溫度200℃，平臺溫度60℃，擠出頭直徑0.4mm，打印速度60mm s-1，打印層高0.2mm，填充密度100%。分別制備了0°方向填充、90°方向填充以及基于主應力軌跡線的填充的拉伸試樣和三點彎曲試樣，每一種填充試樣制備了5個，如圖8所示。其中，0°方向、90°方向以及基于主應力軌跡線填充路徑的每個拉伸樣件打印完成所耗時間分別為：50min，51min和53min；0°方向、90°方向以及基于主應力軌跡線填充路徑的每個彎曲樣件打印完成所耗時間分別為：1h52min，1h54min和1h59min。

采用MTS萬能試驗機對6組試樣，共30個試樣做拉伸及三點彎曲試驗。根據(jù)塑料拉伸性能的測定標準GB/T 1040-2006 規(guī)定，設定初始標距115mm，設定拉伸試驗速度為2mm min-1，拉伸斷裂后停止試驗。試驗過程中記錄載荷與位移數(shù)據(jù)，計算應力與應變數(shù)據(jù)，選取拉伸試驗過程中，試樣承受的最大拉伸應力作為拉伸強度。根據(jù)塑料彎曲性能測定標準GB/T 9341-2008 規(guī)定，設定三點彎曲試驗速度為5mm min-1，試樣彎曲斷裂后停止試驗，支撐輥子半徑5mm，壓頭輥子半徑5mm，支撐輥子間距離（即試樣試驗跨度L）160mm。試驗過程中記錄載荷與位移的數(shù)據(jù)，計算應力與應變數(shù)據(jù)，選取三點彎曲試驗過程中，樣件所承受的最大彎曲應力作為彎曲強度。

3.2 試驗結果分析

（1） 拉伸試驗結果分析

根據(jù)測試過程中采集的載荷及位移量，對獲取的5 個拉伸試樣的試驗數(shù)據(jù)取平均值并進行處理，得到拉伸試樣的應力-應變曲線圖如圖9a所示，最大載荷、拉伸強度對比圖如圖9b 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，相比90°方向填充試樣，0°方向填充試樣的抗拉強度提高了10.53%，這主要是由于FDM 層內存在各向異性，當絲材的走向與受力方向保持一致時能夠提供最大的強度，而當絲材的走向與受力方向垂直時，絲材與絲材處于受力的薄弱環(huán)節(jié)呈現(xiàn)較差的抗拉抗剪強度，在此試驗中，拉伸試樣0°方向與受力方向相協(xié)調，而90°方向與受力方向垂直。而基于主應力軌跡線的填充路徑的拉伸試樣，其抗拉強度相比0°方向填充樣件提升了8.33%，這是因為在拉伸試樣的中間小孔區(qū)域，基于主應力軌跡線的填充相比0°方向填充是一種非線性填充，與小孔區(qū)域的主應力方向相適應，改善了傳統(tǒng)填充出現(xiàn)的應力集中問題。對比而言，基于主應力軌跡線的填充比90°填充試樣的抗拉強度則提高了19.74%，這主要是由于相比90°填充樣式，基于主應力軌跡線的填充路徑在整個設計域內的絲材走向與主應力方向相協(xié)調，最大程度上發(fā)揮了絲材的抗拉強度。

圖8 打印的拉伸試樣和三點彎曲試樣Fig.8 The printed tensile specimens and three-point-bending specimens

圖9 不同填充路徑的拉伸試樣結果對比Fig.9 Comparative results of tensile specimen with different infill toolpaths

（2） 三點彎曲試驗結果分析

與拉伸試驗的數(shù)據(jù)處理方式相同，對5 個三點彎曲試樣的試驗數(shù)據(jù)取平均值，得到彎曲應力-應變曲線如圖10a所示，三種填充方式下最大載荷及彎曲強度對比圖如圖10b所示。分析彎曲試驗的結果可知，彎曲試樣的0°方向填充相比90°方向填充，彎曲強度提升了8.08%。這是由于三點彎曲試樣的下部的拉應力為導致樣件破壞的主要應力，在此區(qū)域，0°方向填充路徑分布與拉應力方向較為一致，而90°方向填充路徑與拉應力方向垂直，呈現(xiàn)了較差的抗拉性能?；谥鲬壽E線的填充路徑的彎曲試樣，其彎曲強度相比于0°填充提升了11.46%，相比90°填充提升了20.47%，這是因為相比較簡單的拉伸工況，彎曲試樣設計域內的主應力軌跡線分布更加的復雜，基于主應力軌跡線填充路徑優(yōu)化已經(jīng)完全不同于傳統(tǒng)的填充路徑，優(yōu)化后的填充路徑與試樣中主應力方向趨于一致，因此機械性能提升也更為明顯。結果表明，基于主應力軌跡線的FDM填充路徑優(yōu)化能夠提高零件的力學性能，且零件的載荷工況越復雜，提升效果越明顯。

圖10 不同填充路徑的彎曲試樣結果對比Fig.10 Comparative results of bending specimen with different infill toolpaths

4 結論

針對FDM層內的各向異性問題，提出了在主應力軌跡線導引下通過設計與控制各向異性從而改善零件機械性能的方法?；诹慵邢拊治鼋Y果生成了主應力軌跡線，根據(jù)主應力軌跡線種子線生成了區(qū)域填充路徑，依據(jù)優(yōu)化設計的填充路徑使材料方向布置與主應力方向相協(xié)調，強化了各向異性的正面作用。最后進行了拉伸和三點彎曲試驗，結果表明：相比0°方向和90°方向的填充路徑，基于主應力軌跡線填充路徑的拉伸試樣的拉伸強度分別提升了8.33%和19.74%，基于主應力軌跡線填充路徑的彎曲試樣的彎曲強度分別提升了11.46%和20.47%。

傳統(tǒng)增材制造所謂的個性化定制主要指零件的幾何形狀，而本文提出的方法可拓展的設計思想不僅能夠實現(xiàn)幾何定制，更重要的是可以實現(xiàn)基于零件應用工況的性能定制（即使幾何形狀完全相同的零件因受力工況不同則其填充路徑也不同，進而形成內部材料結構也不盡相同），因此能同時實現(xiàn)“幾何”與“性能”的可控與定制，從而提高零件的綜合性能。此外，推而廣之，可以面向溫度場、磁場、電場或多場耦合進行增材制造零件設計以改善和定制零件的機械和物理性能。