上覆非飽和層地基-隧道動力響應(yīng)半解析算法

郭慧吉，狄宏規(guī)，周順華，王炳龍，何 超

（1. 同濟大學(xué)道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；2. 同濟大學(xué)上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海201804）

地鐵是緩解城市交通堵塞的重要手段之一。然而，隨著地鐵運營里程的快速增長和運營時間的增加，地鐵隧道的車致振動問題日益突出，其不僅影響鄰近建筑物內(nèi)居民的生活以及精密儀器等的正常工作，還會誘發(fā)結(jié)構(gòu)損傷和地基土的沉降。如何預(yù)測地鐵隧道的車致振動響應(yīng)和減小車致振動的影響，正受到越來越多的關(guān)注。

地鐵盾構(gòu)側(cè)穿高速鐵路橋梁樁基施工技術(shù)與應(yīng)用…………………………………………………… 常富貴（12-204）

相關(guān)學(xué)者對此展開了研究，Metrikine 等［1］采用解析的歐拉梁模型來研究地下鐵道的振動響應(yīng)問題，盡管其可進一步考慮地基飽和特性以及分層特性［2］，但該系列模型為二維模型，無法準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)三維動力響應(yīng)?；贔lügge 薄壁圓柱殼振動方程，F(xiàn)orrest 和Hunt［3］提出了全空間地基?隧道的管中管模型，即PiP 模型。隨后相關(guān)學(xué)者考慮地基土體的飽和特性［4］，進一步發(fā)展了PiP模型。盡管PiP模型計算效率高，但該系列模型忽略了地表邊界對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，適用于深埋隧道。Yuan 等［5］、He等［6-7］考慮地表邊界的影響，利用波函數(shù)轉(zhuǎn)化法，分別求解了單相彈性地基、飽和分層地基以及雙洞隧道等條件下地基?隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)閉合解。

然而，盡管上述模型可以較為精細(xì)考慮隧道結(jié)構(gòu)、車輛荷載等對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，但上述計算模型均采用單相彈性、飽和多孔介質(zhì)來模擬地基土體。事實上，對于飽和軟土地區(qū)，由于蒸騰作用、地下水資源開發(fā)等原因［8］，飽和地基上部往往存在非飽和層，因此有必要考慮飽和度對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響?；诜秋柡屯敛▌臃匠?，徐明江等［9-10］，郭鵬飛等［11］先后考慮了土體飽和度對路基及樁基等結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。隨后狄宏規(guī)等［12］、郭慧吉等［13］考慮土體的非飽和特性，分別建立了非飽和全空間與非飽和半空間地基-隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)半解析解。但尚未考慮地基土的層狀特性，也無法考慮上覆非飽和層對地鐵隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

為此，本文提出一種考慮上覆非飽和層的飽和地基?隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)半解析算法。將上覆非飽和土體視為由固、液、氣三相組成的介質(zhì)，下部飽和地基土體視為由固、液兩相組成的飽和多孔介質(zhì)，隧道仍視為Flügge 薄壁圓柱殼?；贖elmholtz 矢量分解定理求解上覆非飽和土的波動方程與下部飽和土的波動方程（通過前述非飽和土波動方程退化得到），并采用分離變量法求解殼的振動控制方程，基于平面波和柱面波的轉(zhuǎn)換性質(zhì)，利用土層分界面、地表和隧道?土體界面處的邊界假設(shè)，建立了上覆非飽和層的飽和地基?隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)半解析解，并探討了上覆非飽和層對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

1 模型的簡化與假設(shè)

1.1 模型的簡化

采用均質(zhì)、各向同性、線彈性材料的Flügge薄壁圓柱殼模擬隧道襯砌，采用半空間或基巖上覆蓋水平層狀的不同類型介質(zhì)（兩相飽和多孔介質(zhì)或三相非飽和介質(zhì)）模擬地基土體。各層土體具有獨自的坐標(biāo)系，如圖1所示，詳細(xì)坐標(biāo)系定義如下：

當(dāng)下部為基巖時，根據(jù)模型邊界及界面假設(shè)（3）可得

（2）隧道穿越土層中存在圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)兩種坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點設(shè)于隧道中心處。

圖1 中，x（1）、x（2）、x（3）分別代表隧道穿越土層上方、隧道穿越土層以及隧道穿越土層下方獨立坐標(biāo)系中x的量值；Ι、Ⅱ分別代表隧道穿越土層上方、下方的水平土層交界界面。

圖1 層狀地基?隧道系統(tǒng)簡化示意圖Fig.1 Simplified schematic diagram of layered foundation-tunnel system

1.2 模型邊界及界面假定

經(jīng)上述簡化后，對模型的邊界（地表與模型下邊界）與界面（隧?土交界面及Ι、Ⅱ土層交界面）做出進一步假設(shè)，即

（1）地表邊界應(yīng)力為0，同時地表邊界為透水、透氣邊界；

（2）當(dāng)模型下部為半無限空間，則無限遠(yuǎn)處位移、應(yīng)力、孔壓等消散為0；當(dāng)下部為基巖時，模型下邊界基巖內(nèi)位移為0，且不透水不透氣。

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（3）土層交界面Ι、Ⅱ處，土體位移、應(yīng)力、孔壓以及滲流連續(xù)。

（4）隧?土交界面位移應(yīng)力連續(xù)，且隧道襯砌不透水、不透氣。

2 土體總場表達(dá)式的求解

將式（2）代入式（1），可在頻域?波數(shù)域中解得直角坐標(biāo)系以及圓柱坐標(biāo)系下位移?、孔壓?、應(yīng)力勢函數(shù)分別為，具體求解過程參考文獻［13］。

式中：下標(biāo)“s”、“b”、“l(fā)”、“g”分別表示土顆粒、土骨架、孔隙水以及氣體的分量；上標(biāo)“'”、“''”分別表示對時間t求一階、二階導(dǎo)；ub、v、w分別為土骨架位移、孔隙水與土體骨架的相對位移、氣體與土體骨架間的相對位移；λ、μ為土骨架Lame 常數(shù)；其余變量表達(dá)式及物理意義參考文獻［13］。

如何更高效地傳遞建設(shè)經(jīng)驗，在大量建設(shè)的過程中實現(xiàn)全面而有效的管控？在全球經(jīng)濟一體化建設(shè)進程不斷加劇與城市化建設(shè)規(guī)模持續(xù)擴大的推動作用下，制造行業(yè)在整個國民經(jīng)濟建設(shè)發(fā)展中所占據(jù)的地位日益關(guān)鍵。信息化、產(chǎn)業(yè)化以及科技化已成為整個現(xiàn)代制造行業(yè)建設(shè)發(fā)展的必然方向與趨勢，數(shù)字化設(shè)計系統(tǒng)在這一過程當(dāng)中所起到的重要作用不可忽視。數(shù)字化、信息化與建筑業(yè)的融合發(fā)展也已成為工程設(shè)計行業(yè)發(fā)展的方向。目前，在工程建設(shè)行業(yè)領(lǐng)域，不少行業(yè)已經(jīng)探索或嘗試了很多年，包括石化、電力、冶金行業(yè)的一些單位，取得了不少成績。

首先引入三相非飽和多孔介質(zhì)的實用波動方程［13］，即

根據(jù)Helmholtz矢量分解定理，式（1）中位移ub、v、w，可表示為

經(jīng)過非飽和介質(zhì)參數(shù)退化，即當(dāng)Sr、Se趨近于1，As趨近于0時，式（5）、式（6）也可以表示兩相飽和多孔介質(zhì)總場。

1、幼蟲鉆蛀稻桿，因為害部位和生育時期的不同表現(xiàn)而不同。初孵幼蟲危害集葉鞘內(nèi)取食內(nèi)壁組織，造成枯鞘。2齡后開始蛀入稻莖為害，分蘗期造成枯心，孕穗期造成枯孕穗，抽穗期造成白穗，灌漿成熟期造成蟲傷株。幼蟲常群集為害，鉆蛀孔圓形，孔外常有少量蟲糞，一根稻桿中常有多頭幼蟲，多者可達(dá)數(shù)十頭甚至過百頭，桿內(nèi)蟲糞較多。一般一頭幼可危害3—5株水稻。

由模型簡化可知，地基上部為三相非飽和介質(zhì)，下部為兩相的飽和多孔介質(zhì)，因此地基土體總場表達(dá)式的求解思路為：首先通過非飽和土波動方程求解獲得三相非飽和介質(zhì)的總場表達(dá)式；再通過三相介質(zhì)參數(shù)退化，獲得兩相飽和介質(zhì)的總場表達(dá)形式，具體求解如下：

式中：上標(biāo)“^”、“—”、“～”分別代表z方向?qū)?yīng)的波數(shù)域、y方向?qū)?yīng)的波數(shù)域以及時間t對應(yīng)的時域；上標(biāo)d，u分別代表下行波與上行波分量，o，r分別代表外行波與內(nèi)行波分量，下標(biāo)中1、2、3、4、5 分別代表SH、SV、P1、P2、P3 波分量，m表示模態(tài)分量，式中變量具體表達(dá)式參考文獻［13］。

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由于模型中存在不同形狀的散射面（土層水平界面、隧?土交界的圓形界面），導(dǎo)致地基土體中同時存在平面波與柱面波。故根據(jù)式（3）、式（4）可得不同位置處的位移?、應(yīng)力?、孔壓?總場表達(dá)式如下：

式中：下標(biāo)“SH”、“SV”、“P”分別表示SH、SV、P 波的分量；φ、?、χ表示土骨架、孔隙水以及氣體的勢函數(shù)；ez為z方向上的單位向量。

3 模型耦合求解

在平面波、柱面波轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，進一步代入邊界、界面條件進行模型的耦合求解。

為了滿足不同類型波函數(shù)在邊界或界面處的耦合求解，通過波函數(shù)轉(zhuǎn)化公式，推導(dǎo)可得上行波、下行波與柱面外行波之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系（7）以及內(nèi)行波與上行波、下行波之間轉(zhuǎn)化關(guān)系（8）：

3.1 地表邊界

根據(jù)模型邊界及界面假定條件（1），可得

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3.2 模型下邊界

根據(jù)模型邊界及界面假定條件（2），將模型下邊界分為以下兩種情況進行討論，即

（1） 半無限空間

由于樁后土拱與樁側(cè)土拱均為合理拱軸線，上述的力學(xué)模型對兩者均可適用，下文在使用式(3)、式(4)時，僅需調(diào)整相對應(yīng)的符號，公式形式并無改變。

若模型下部為半無限空間，則無限遠(yuǎn)處位移、應(yīng)力、孔壓等消散為0，故

（2） 底部為基巖

若模型下部為基巖，則基巖與土體交界面位移為0，且不透水、不透氣，可得

3.3 土層界面Ⅰ

由圖1可得，土層界面Ⅰ為水平界面，為實現(xiàn)總場勢函數(shù)在土層界面Ⅰ處的耦合求解，需將總場表達(dá)式統(tǒng)一為直角坐標(biāo)系的表達(dá)形式，故將式（7）代入式（6）?？傻卯?dāng)x(2)＞0 時，直角坐標(biāo)系下總場勢函數(shù)的表達(dá)式為

根據(jù)模型邊界及界面假定條件（3），結(jié)合式（13）可得

3.4 土層界面Ⅱ

同理為滿足土層界面Ⅱ處的耦合求解，可得當(dāng)x(2)＜0時，總場勢函數(shù)直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

參考模型下邊界求解，土層界面Ⅱ處的求解同樣可以分為以下兩種情況進行討論。

（1） 半無限空間

當(dāng)下部為半無限空間時，根據(jù)模型邊界及界面假設(shè)（3）可得

超導(dǎo)磁場儲能技術(shù)內(nèi)環(huán)控制的終極目標(biāo)是完成實時化有功與無功確定值,從而將功率調(diào)控后的給定值轉(zhuǎn)化能得到超導(dǎo)磁場儲能技術(shù)下的預(yù)測參數(shù)t和s值,可互相轉(zhuǎn)換。

（2） 底部為基巖

（1）隧道穿越土層上方（下方）土層采用直角坐標(biāo)系，且坐標(biāo)原點位于土層底部（頂部）；

3.5 隧-土交界面

由圖1 可得，隧?土交界面為圓柱面，為實現(xiàn)總場勢函數(shù)于隧?土交界面處的耦合求解，需將總場表達(dá)式轉(zhuǎn)換為圓柱坐標(biāo)系的表達(dá)形式。

試驗地位于廣西南寧市廣西大學(xué)林學(xué)院苗圃實驗基地的溫室大棚內(nèi)，選用廣西國有七坡林場1年生優(yōu)質(zhì)美麗兜蘭進行光照試驗，用蕨根、樹皮作為基土進行育苗，底部放入少許沙石，利于排水和透氣，每月定期施肥培育，待培育90 d后，選取生長一致的美麗兜蘭進行試驗。

首先聯(lián)立式（15）、式（18）、式（20），可得直角坐標(biāo)未知系數(shù)與圓柱坐標(biāo)未知系數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即

4 模型驗證及算例分析

4.1 模型驗證

為驗證模型正確性，將上述模型退化為非飽和均質(zhì)地基以及單相彈性分層地基模型分別與既有的半解析法模型［13］以及2.5D 有限元邊界元模型［14］的計算結(jié)果進行對比分析，算例驗證簡化示意圖如圖2所示。

圖2 驗證算例示意圖Fig.2 Verification Cases

驗證算例①：將本文模型退化為非飽和均勻地質(zhì)，如圖2a所示。采用文獻［13］中計算參數(shù)，計算飽和度為0.9，隧道埋深為10m的情況下，固定單位簡諧荷載作用于隧道仰拱處時系統(tǒng)的動力響應(yīng)。取隧道底部（?3m，0m，0m）以及正上方地表位置處（10m，0m，0m）的計算結(jié)果與既有的半解析法模型進行對比分析，結(jié)果如圖3所示。對比結(jié)果表明兩者吻合較好，驗證了本文方法的正確性。

驗證算例②：計算隧道埋置于分層半空間地基土體內(nèi)的情況，如圖2b所示。隧道埋深為20m，上覆土體厚度為5m或10m。通過參數(shù)退化，獲得驗證模型的計算參數(shù)。計算固定單位簡諧荷載作用于隧道仰拱處的動力響應(yīng)，取隧道正上方地表位置處（20m，20m，0m）的計算結(jié)果進行對比分析，如圖4所示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)本文計算結(jié)果與既有2.5維有限元邊界元模型［14］計算結(jié)果吻合較好，進一步驗證了本文方法的正確性。

圖3 驗證算例①計算結(jié)果Fig.3 Comparison of calculation results of verification Case ①

圖4 驗證算例②計算結(jié)果Fig.4 Comparison of calculation results of verification Case ②

4.2 算例分析

通過算例分析，研究固定簡諧荷載作用下上覆土體飽和度對地基土?隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。隧道襯砌采用上海地鐵盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)形式［4］，地基土體上覆土層厚度為5m，地基土體分析類型為砂土，具體參數(shù)如表1 所示。不同算例土層飽和度取值如表2所示。

表1 算例分析計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters of calculation cases

表2 不同算例土層飽和度Tab.2 Soil saturation of different calculation cases

圖5 給出了隧道仰拱處作用固定簡諧荷載時，不同算例土體豎向動位移幅值隨荷載激振頻率的變化曲線。由圖5可以發(fā)現(xiàn)不同算例的響應(yīng)曲線存在差異。其中由圖5 a 可以發(fā)現(xiàn)，案例1、2、3的響應(yīng)曲線基本相似，由此可得隧道底部響應(yīng)受上覆土體飽和度影響較少，其主要受隧道穿越土層土體性質(zhì)的影響。圖5b、5c中案例2、3與單一土層的案例1、4、5存在差異，由此可見上覆土體飽和度性質(zhì)的變化會對地基土體內(nèi)動力響應(yīng)產(chǎn)生影響。

圖5 不同位置處位移頻響曲線Fig.5 Frequency response curves of soil displace?ment of differnt positions

為進一步研究上覆土層性質(zhì)對地表振動位移臨界速度的影響，圖6 給出了移動恒定荷載作用于隧道仰拱處時，地表位置處（10m，0m，0m）以及（10m，20m，0m）不同算例下土體動位移幅值隨荷載移動速度的變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，土體動位移幅值隨荷載移動速度增大，出現(xiàn)峰值現(xiàn)象，即存在土體臨界速度。通過對比不同算例臨界速度大小發(fā)現(xiàn)，上覆土體飽和度的變化對土體臨界速度的影響較小。而隧道穿越土層飽和度的變化會引起臨界速度的改變，且隧道穿越土層飽和度越小，臨界速度越大。

圖6 不同算例臨界速度對比分析Fig.6 Comparative analysis of critical velocity of different calculation cases

5 結(jié)論

（1）提出了上覆非飽和層的飽和層狀地基隧道系統(tǒng)動力響應(yīng)的半解析算法。該方法的計算結(jié)果與既有的2.5 維有限元?邊界元法的計算結(jié)果吻合較好，驗證了本文方法的正確性。

（2）上覆土體性質(zhì)的變化對隧道底部動力響應(yīng)影響較小，但對地表響應(yīng)影響較大。在進行地鐵車致振動響應(yīng)計算時，有必要考慮上覆非飽和層對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

將理論模型中參數(shù)賦值后即可模擬目標(biāo)價格變動對市場均衡及社會福利的影響。上述理論模型涉及9個參數(shù)，其中3個參數(shù)需要使用計量經(jīng)濟學(xué)方法估計獲得，分別是試點區(qū)和非試點區(qū)供給彈性以及替代彈性，本文將借鑒前人的研究結(jié)果，其他6個參數(shù)可以根據(jù)變量的初始值計算獲得(見表2)。

（3）系統(tǒng)臨界速度受上覆土層飽和度的變化影響較小，其主要受隧道穿越土層飽和度的影響，且隧道穿越土層飽和度越小，臨界速度越大。