指數(shù)型阻尼模型復(fù)模態(tài)更新及阻尼矩陣識別

汪夢甫　肖詩穎

摘 ? 要：提出了在模態(tài)測試的基礎(chǔ)上識別得到指數(shù)型非粘滯阻尼系統(tǒng)中阻尼系數(shù)矩陣的方法. 通過求解一個(gè)帶約束最優(yōu)化問題，得到滿足系統(tǒng)特征方程的最優(yōu)修正阻尼系數(shù)矩陣. 考慮了實(shí)際模態(tài)測試中得到的模態(tài)參數(shù)的非完備性，可以利用有限的低階模態(tài)，較為準(zhǔn)確地識別出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣，但隨著系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目會逐漸增加. 同時(shí)，進(jìn)一步考慮到模態(tài)測試中復(fù)模態(tài)的虛部受噪聲影響較大，提出了阻尼矩陣識別過程中對復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新的方法，使之滿足指數(shù)型阻尼系統(tǒng)特征方程，且利用上述方法得到的復(fù)模態(tài)虛部，能較為精確地識別出阻尼系數(shù)矩陣. 由于目前對松弛因子識別的研究較少，在模態(tài)更新方法的基礎(chǔ)上提出了不依賴于復(fù)模態(tài)虛部的松弛因子識別公式，并通過數(shù)值算例，驗(yàn)證了指數(shù)型非粘滯阻尼模型的阻尼識別方法及復(fù)模態(tài)更新方法的適用性和有效性，及松弛因子識別的準(zhǔn)確性. 最后通過懸臂梁的振動(dòng)測試進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，并討論了指數(shù)阻尼模型的適用性和合理性.

關(guān)鍵詞：粘彈性;復(fù)模態(tài)分析;阻尼系數(shù);參數(shù)識別;拉普拉斯域

中圖分類號：TU311 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Complex Modal Updating and Damping Matrix Recognition

of Exponentially Damping Systems

WANG Mengfu?，XIAO Shiying

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：A method of identifying damping coefficient matrix in exponential non-viscous damping systems based on the modal test is proposed in this paper. By solving a constrained optimization problem，the optimal modified damping coefficient matrix satisfying the system characteristic equation is obtained;and considering the incompleteness of the modal parameters obtained in the actual mode test，the damping coefficient matrix of the system can be accurately identified by using the limited low-order modes. However，with the gradual enhancement of the non-viscous characteristics of the system，the number of modes needed to accurately identify the damping coefficient matrix gradually increases. Furthermore，a method of updating the imaginary part of the complex mode，which can be greatly affected by noise in the modal test，is proposed to satisfy the characteristic equation of the exponentially damping system in this paper;and as a result，the damping coefficient matrix can be accurately identified by using the updated complex-modal imaginary part. Due to the lack of research on the recognition of the relaxation parameter，an identification method of relaxation parameter which is independent of the imaginary part of complex mode is proposed based on the modal updating method. And then，through numerical studies，the applicability and effectiveness of the damping identification method and the complex modal correction method for the exponentially non-viscous damping model are verified，and the accuracy of relaxation factor recognition method is proved. Finally，the modal parameters of a cantilever beam are identified through the vibration test，and the applicability and rationality of the exponential damping model are discussed.

Key words：viscoelasticity;complex modal analysis;damping coefficients;parameter identification;Laplace domain

實(shí)際工程中振動(dòng)的發(fā)生通常不可避免，因此研究者們廣泛關(guān)注于如何通過結(jié)構(gòu)耗能（即阻尼）來進(jìn)行結(jié)構(gòu)減振. 但阻尼不能直接測量得到，而是根據(jù)假設(shè)的阻尼模型在宏觀上近似地表達(dá)，因此對阻尼模型的假設(shè)很大程度上影響著結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的準(zhǔn)確性和可靠性[1]. ?由于經(jīng)典粘滯阻尼模型自身存在不足，為了滿足工程界日益復(fù)雜的工程材料和結(jié)構(gòu)的需要，研究者們近年來提出了一些新的阻尼模型，最早由Biot[2]提出的卷積型非粘滯阻尼模型就是其中的一種. 該模型假設(shè)阻尼力不僅依賴于瞬時(shí)速度，而且與速度的時(shí)間歷程相關(guān)，數(shù)學(xué)表述為質(zhì)點(diǎn)速度與核函數(shù)的卷積[3]. 在Woodhouse、Adhikari等人[4-5]的進(jìn)一步發(fā)展下，卷積型非粘滯阻尼模型多年來得到了不同領(lǐng)域動(dòng)力分析的研究和應(yīng)用. 其中，作為卷積型阻尼模型的一個(gè)特例，指數(shù)阻尼模型在數(shù)學(xué)計(jì)算上較為簡單，且能夠更加合理地表述阻尼的物理本質(zhì)，因此本文選擇對指數(shù)阻尼模型進(jìn)行研究.

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識別作為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的反問題之一，可以根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)并結(jié)合理論分析來處理實(shí)際工程中的振動(dòng)問題[6-8]. 然而此過程中，對阻尼矩陣的預(yù)估是難點(diǎn)，并且通常結(jié)構(gòu)阻尼值由經(jīng)驗(yàn)確定，并假定結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比相同，這與實(shí)際情況不符[8]，因此有必要對結(jié)構(gòu)阻尼的識別進(jìn)行研究. 但目前的阻尼識別方法一般針對粘滯阻尼模型，對非粘滯阻尼模型阻尼識別的研究較少，國內(nèi)外主要有如下研究：Adhikari等[9]根據(jù)一階攝動(dòng)法，率先將復(fù)模態(tài)分析法擴(kuò)展到了指數(shù)型非粘滯阻尼模型的識別中去，然而該方法對模態(tài)參數(shù)識別的精度要求較高，且識別阻尼矩陣需要用到全模態(tài);潘玉華[10]在

Rayleigh阻尼模型的基礎(chǔ)上，提出了指數(shù)型比例阻尼模型，假設(shè)指數(shù)阻尼核函數(shù)的阻尼系數(shù)矩陣具有和Rayleigh阻尼相對應(yīng)的形式，并給出了相應(yīng)松弛因子的迭代計(jì)算方法;王禹[11]將阻尼矩陣分解法拓展到指數(shù)型非粘滯阻尼模型中，識別該模型的阻尼系數(shù)矩陣，該方法能夠在只獲得低階模態(tài)信息的情況下較為準(zhǔn)確地識別出阻尼系數(shù)矩陣.

在結(jié)構(gòu)參數(shù)識別過程中，通常需要依據(jù)一部分有限元模型分析值來識別所需要的真實(shí)值，但往往有限元理論分析結(jié)果與試驗(yàn)測量結(jié)果存在差異，因此可以依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對分析模型進(jìn)行更新，使得更新后的模型能更加精確地反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[12]，從而提高結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的準(zhǔn)確性.

基于以上研究背景，本文研究了在模態(tài)測試的基礎(chǔ)上對指數(shù)型阻尼模型中進(jìn)行阻尼系數(shù)矩陣識別及復(fù)模態(tài)更新的方法，并在此基礎(chǔ)上提出了新的松弛因子識別公式.

4 ? 數(shù)值算例分析

4.1 ? 案例1：模態(tài)參數(shù)精確時(shí)識別阻尼系數(shù)矩陣

為了驗(yàn)證本文提出的阻尼識別方法的適用性和有效性，利用文獻(xiàn)[11]中的7自由度系統(tǒng)進(jìn)行模擬計(jì)算. 該系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼系數(shù)矩陣真實(shí)值分別為：

其中，μ為松弛因子. 假定分析阻尼系數(shù)矩陣CA = 0，權(quán)矩陣取為WC = diag（1 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1），運(yùn)用式（28）識別指數(shù)型阻尼系數(shù)矩陣C. 松弛因子μ可被表示為[16]：

μ = ? ? ? ? ? ? ? （67）

式中：Tmin表示最高階無阻尼固有頻率所對應(yīng)的周期，這樣結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)制可以由γ的取值來控制，γ越小，阻尼機(jī)制就越接近于粘滯阻尼[16]. 下面分別取γ=0.002、0.2、2三種情況識別阻尼系數(shù)矩陣，具體阻尼系數(shù)識別值見表 1，表1中僅給出了阻尼系數(shù)矩陣對角線上的值的大小.

從表1中可看出，本文提出的方法能較好地識別出阻尼系數(shù)矩陣，但隨著γ的增大，系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目逐漸增加;當(dāng)γ增加到2時(shí)，需要取得全模態(tài)才能精確識別出阻尼系數(shù)矩陣.

當(dāng)γ取值較大時(shí)，對阻尼系數(shù)矩陣識別誤差較大且所需模態(tài)數(shù)較多的原因，認(rèn)為和文中識別公式（28）中的廣義逆矩陣（W 1/2

C ? ψ）+有關(guān). 通過MATLAB多次計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)γ值增大，矩陣ψ的條件數(shù)也逐漸增大，求廣義逆矩陣時(shí)精度難以提高，從而誤差變大. γ值一定時(shí)，隨著選取的模態(tài)階數(shù)增加，矩陣ψ的條件數(shù)減小，從而精度越高.

按文獻(xiàn)[11]的識別方法對阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行識別的結(jié)果見表2. 表2中給出的是能較為精確地得到阻尼系數(shù)矩陣所需的最小模態(tài)階數(shù)，以及在該模態(tài)階數(shù)下的阻尼矩陣識別情況. 將表1與表2的結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出，在不同的取值以及不同的模態(tài)階數(shù)下，文獻(xiàn)[11]方法的識別精度均要高于本文的識別方法.

取文獻(xiàn)[17]中含指數(shù)阻尼的軸向振動(dòng)懸臂桿模型作為算例，分析兩種方法在對不同自由度下阻尼矩陣進(jìn)行識別的耗時(shí)情況. 該懸臂桿模型如圖1所示.

該懸臂桿單元質(zhì)量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃嚪謩e為：

本文中該懸臂桿參數(shù)取為：ρ = 7.8 × 103 kg/m3為桿件密度;A = 6.25 × 10-4 m2為桿件截面面積;E = 2.1 × 1011 N/m3為彈性模量;L = 4 m為桿長;Le = L/n為每個(gè)桿單元的長度;n為懸臂桿劃分的單元數(shù)目. 系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣設(shè)為C = α0 M + α1 K，其中系數(shù) α0 和α1取為：

α0 ?= 2ξ，α1 ?= 2ξ

式中：阻尼比ξ取0.05，第j階無阻尼固有頻率為ωj = π. 松弛因子μ按式（67）計(jì)算，其中γ取為1.

分別取n=10、20、40和80四種情況，按本文提出的方法和文獻(xiàn)[11]的識別方法取全模態(tài)識別阻尼系數(shù)矩陣C所需要的時(shí)間見表3. 從表3中可以看出，由于文獻(xiàn)[11]的識別過程涉及了大量的循環(huán)運(yùn)算，若結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)較多，在利用MATLAB進(jìn)行求解時(shí)會耗時(shí)較長;在本文的方法中，結(jié)構(gòu)的自由度取值對運(yùn)算時(shí)間影響相對而言不大. 因此，在自由度較少的情況下，利用文獻(xiàn)[11]提出的阻尼系數(shù)矩陣識別方法可以得到更好的結(jié)果;在結(jié)構(gòu)自由度數(shù)較多時(shí)，如果有運(yùn)算時(shí)間上的需求，采用本文提出的方法則更有效率.

4.2 ? 案例2：復(fù)模態(tài)虛部更新后識別阻尼系數(shù)矩陣

取案例1中的7自由度系統(tǒng)作為算例進(jìn)行分析，取γ=0.02. 現(xiàn)給復(fù)模態(tài)虛部添加均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.1%的噪聲，復(fù)模態(tài)實(shí)部取為精確值，更新前阻尼矩陣的識別情況見表4.從表4中可以發(fā)現(xiàn)，只有取全模態(tài)進(jìn)行識別時(shí)，才能得到較為準(zhǔn)確的阻尼系數(shù)矩陣，但仍不是精確值;若取的模態(tài)值不全，即使是前六階，在該噪聲下的結(jié)果仍完全失真，數(shù)據(jù)失效顯著. 可以看出復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對識別結(jié)果能造成影響.

按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法，對復(fù)模態(tài)虛部值進(jìn)行更新后，識別得到的阻尼系數(shù)矩陣對角線上數(shù)值見表5. 從表5中可看出，在對復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新后，精確識別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目增加了，取得全模態(tài)便能精確識別出指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣;對復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后可以排除噪聲對復(fù)模態(tài)虛部的干擾，反映出本文提出的復(fù)模態(tài)虛部計(jì)算公式（52）能滿足阻尼矩陣識別的需要.

4.3 ? 案例3：對松弛因子的識別

取案例1中的7自由度系統(tǒng)研究松弛因子識別式（64）～（66）的準(zhǔn)確性. 當(dāng)γ值較小時(shí)，如γ=0.002，該系統(tǒng)更接近于粘滯阻尼系統(tǒng)，按不同方式識別得到的γ值見圖2. 從圖2中可以看出，這3種識別公式均能較好地識別出松弛因子，按式（65）（66）獲得的松弛因子更接近原始值.

當(dāng)γ值較大時(shí)，如γ=2，此時(shí)該體系的阻尼機(jī)制表現(xiàn)為明顯的非粘滯阻尼特性，按不同方式識別得到的γ值見圖3.從圖3中可以看出，這3種識別公式也均能較好地識別出松弛因子，按式（65）獲得的松弛因子更接近原始值.

5 ? 試驗(yàn)分析

本小節(jié)將對一根混凝土懸臂梁構(gòu)件進(jìn)行錘擊振動(dòng)測試試驗(yàn)，對本文提出的阻尼系數(shù)矩陣方法進(jìn)行研究，并討論指數(shù)阻尼模型的適用性.

5.1 ? 試驗(yàn)概況

該懸臂梁試件配筋和尺寸信息如圖4所示. 試件采用C35普通混凝土，水泥采用42.5級普通硅酸鹽水泥. 縱筋采用HRB400級鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為360 MPa，彈性模量為200 GPa;箍筋采用HPB300級光圓鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為270 MPa.

該試件的參數(shù)為：密度ρ=2.41×103 kg/m3，截面積A=0.04 m2，彈性模量E=3.06×1010 N/m2，梁長L=0.2 m.

振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集設(shè)備采用比利時(shí)公司的LMS錘擊測振系統(tǒng). 振動(dòng)測試前，將懸臂梁沿梁身均勻取10個(gè)錘擊作用點(diǎn)，并在頂部粘貼加速度傳感器. 錘擊法振動(dòng)測試試驗(yàn)示意圖見圖5. 測試時(shí)，用力錘依次對所標(biāo)記的10個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行錘擊，利用數(shù)據(jù)采集儀記錄下每次錘擊時(shí)的力傳感器信號及加速度響應(yīng)信號，并計(jì)算得到每個(gè)錘擊點(diǎn)的頻響函數(shù)平均值. 本章的試驗(yàn)完成于湖南大學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室.

利用試件實(shí)測頻響函數(shù)曲線，在LMS.Test.Lab軟件上進(jìn)行分析，使用最小二乘復(fù)指數(shù)法 （LSCE） 可以估計(jì)出試件的頻率、阻尼比，并可以計(jì)算出相應(yīng)模態(tài)振型.

5.2 ? 結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)識別

首先將該試件質(zhì)量矩陣與剛度矩陣按有限元法進(jìn)行建模，只研究試件振動(dòng)方向上的平動(dòng)自由度，可以得到所需的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分析值，均為10×10方陣. 按照文獻(xiàn)[18]提出的迭代算法，對分析質(zhì)量矩陣與分析剛度矩陣進(jìn)行修正，可得該試件修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K. 利用識別得到的前五階模態(tài)參數(shù)及修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K識別松弛因子μ. 按公式（65）計(jì)算得到的μ=145.868 s-1.

接下來按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法對該試驗(yàn)梁進(jìn)行復(fù)模態(tài)虛部的更新，并進(jìn)行指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣識別，識別得到的阻尼系數(shù)矩陣如圖6所示. 由圖6可以看出，該識別出的阻尼矩陣的阻尼系數(shù)分布不是很明顯，可能與試驗(yàn)?zāi)B(tài)測量誤差有關(guān).

懸臂梁試件的前三階固有頻率及阻尼比分別按指數(shù)型非粘滯阻尼模型和Rayleigh阻尼模型的識別結(jié)果見表6.

從表6中可以看出，通過文中提出的方法按這兩種阻尼模型識別的固有頻率均接近試驗(yàn)實(shí)測值，但識別得到的阻尼比與實(shí)測值有差別. 試驗(yàn)測量得到的阻尼比為按單模態(tài)識別得到的各測點(diǎn)的每階模態(tài)平均值，而按這兩種阻尼模型識別得到的阻尼比為按整體模態(tài)計(jì)算分析的結(jié)果，從而帶來識別誤差. 與按指數(shù)阻尼模型計(jì)算得到的阻尼比相比，該試驗(yàn)梁采用Rayleigh阻尼模型計(jì)算出的第三階阻尼比與試驗(yàn)實(shí)測值相差較大，遠(yuǎn)大于實(shí)測值，這種誤差能顯著影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性. 指數(shù)阻尼模型由于參數(shù)松弛因子的存在，可以更為合理地?cái)M合結(jié)構(gòu)的阻尼特性.

6 ? 結(jié) ? 論

1）本文提出了指數(shù)阻尼系統(tǒng)中對阻尼系數(shù)矩陣識別的方法，通過求解一個(gè)帶約束的優(yōu)化問題，利用權(quán)函數(shù)矩陣及初始分析阻尼矩陣，獲得滿足系統(tǒng)特征方程的阻尼系數(shù)矩陣;該方法不需要測得全模態(tài)，可以獲得比較高的識別精度，但隨著系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目會逐漸增加;當(dāng)非粘滯阻尼特性足夠大時(shí)，最后可能需要取得全模態(tài)才能精確識別出阻尼系數(shù)矩陣.

2）針對試驗(yàn)噪聲對測量得到的復(fù)模態(tài)虛部精度的影響，本文提出了對復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新的方法，使之滿足指數(shù)型阻尼系統(tǒng)特征方程;通過算例分析，將更新前后識別得到的阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行對比，可以看出，提出的阻尼系數(shù)矩陣識別公式對噪聲較為敏感，且復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對阻尼矩陣識別結(jié)果影響較大;采用更新后的復(fù)模態(tài)虛部表達(dá)式可以排除阻尼矩陣識別過程中噪聲對復(fù)模態(tài)虛部的影響，且能有效地識別出阻尼系數(shù)矩陣;但在對復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后，在相同模態(tài)階數(shù)下對阻尼系數(shù)矩陣的識別精度降低了，并且精確識別所需的模態(tài)階數(shù)較多，不使用全模態(tài)時(shí)識別精度較差，目前的更新方法可以進(jìn)一步改進(jìn).

3）由于目前對松弛因子識別方法的研究較少，且有一定使用限制，本文提出了不依賴于復(fù)模態(tài)虛部的3種松弛因子識別公式，通過算例分析表明這3種公式均能較高精度地識別出松弛因子，能夠滿足結(jié)構(gòu)分析的需要.

4）通過對普通C35混凝土懸臂梁進(jìn)行錘擊振動(dòng)測試，并按本文提出的方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，將采用Rayleigh阻尼模型和本文采用的指數(shù)型非粘滯阻尼模型識別得到的阻尼比和基本頻率進(jìn)行對比，可發(fā)現(xiàn)識別得到的固有頻率接近試驗(yàn)實(shí)測值，但阻尼比與實(shí)測值有差別，采用Rayleigh阻尼模型時(shí)第三階阻尼比出現(xiàn)了很大的誤差. 指數(shù)阻尼模型更能準(zhǔn)確合理地描述兩根混凝土懸臂梁的阻尼性能.

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