基于遠(yuǎn)場可變孔徑的貝塞爾函數(shù)擬合法求單模光纖模場直徑

胡 越，項(xiàng)華中，趙仁燕，涂建坤，鄭 剛*

1 上海理工大學(xué)上海市介入醫(yī)療器械工程研究中心，上海 200093；

2 上海電纜研究所，上海 200093

1 引言

光纖在通信、工業(yè)工程、生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)光纖的性能提出了更高的要求。降低光纖損耗是當(dāng)前各類光纖應(yīng)用中的研究重點(diǎn)[3]。模場直徑作為單模光纖的一個(gè)重要參數(shù)[4]，由它可以導(dǎo)出單模光纖的連接損耗、彎曲損耗、微彎損耗以及光纖的色散等參數(shù)[5-7]。因此準(zhǔn)確快速地測量模場直徑，有助于更深入了解光纖特性，提高并保證光纖在工業(yè)工程中的應(yīng)用質(zhì)量。我國國標(biāo)GB15972.45-2008 中對(duì)模場直徑的測量給出了四種方法[8]，分別是直接遠(yuǎn)場掃描法[9]、遠(yuǎn)場可變孔徑法[10]、近場掃描法[11]、光時(shí)域反射計(jì)法[12]。其中，直接遠(yuǎn)場掃描法是測量單模光纖模場直徑的基準(zhǔn)試驗(yàn)法。它直接按照柏特曼(PetermannⅡ)遠(yuǎn)場定義[4]，通過測量光纖遠(yuǎn)場輻射圖計(jì)算出模場直徑。但該方法測量動(dòng)態(tài)范圍大，對(duì)測量系統(tǒng)有較高要求，不易實(shí)現(xiàn)。作為第一替代方法，遠(yuǎn)場可變孔徑法憑借其操作簡單、測量精度高的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。近些年，熊婷婷[13]等人通過后向散射法對(duì)光纖模場直徑進(jìn)行測量，后向散射法主要利用常規(guī)光時(shí)域反射儀(OTDR)通過雙向測量法對(duì)光纖接頭損耗的精確測定以及在測試中對(duì)高階模影響的有效控制，使其模場直徑測量結(jié)果具有很好的準(zhǔn)確性。Nakamura[14]等人通過改進(jìn)的光時(shí)域計(jì)法對(duì)雙模光纖的LP01和LP11模模場直徑進(jìn)行了測量，并通過仿真驗(yàn)證了其方法的有效性。Matsui[15]等人通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出遠(yuǎn)場可變孔徑法和遠(yuǎn)場掃描法均可以得出準(zhǔn)確有效的模場直徑數(shù)值。徐圣杰[16]等人發(fā)現(xiàn)在模場直徑多次測量過程中后向散射法仍存在結(jié)果的不穩(wěn)定性，仍須以遠(yuǎn)場可變孔徑法測量結(jié)果為準(zhǔn)。通過遠(yuǎn)場可變孔徑法測量模場直徑，需要測量一組透過不同尺寸大小孔徑的光功率數(shù)據(jù)，然后由采集到的光功率數(shù)據(jù)經(jīng)處理并計(jì)算得出模場直徑。該方法在測量過程中，須對(duì)正光纖中心和各個(gè)透光孔中心。而在連續(xù)的電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)測量過程中，有可能產(chǎn)生對(duì)正偏差，從而引起模場直徑的測量誤差。

本文提出一種基于遠(yuǎn)場可變孔徑并通過貝塞爾函數(shù)擬合光功率分布的方法求出模場直徑。通過電磁矢量在圓形光纖介質(zhì)中傳輸?shù)木_解(由第一類和第二類變型貝塞爾函數(shù)描述)對(duì)由遠(yuǎn)場可變孔徑法采集測量出的二維遠(yuǎn)場光功率分布進(jìn)行擬合，得到光纖中遠(yuǎn)場的真實(shí)模場分布曲線。再由擬合出的由貝塞爾函數(shù)表征的模場分布曲線根據(jù)柏特曼(PetermannⅡ)遠(yuǎn)場定義求出模場直徑。本方法通過函數(shù)擬合的方式能有效消除遠(yuǎn)場可變孔徑法中可能出現(xiàn)的由于光纖中心與透光孔中心不對(duì)正產(chǎn)生的偶發(fā)誤差或其他誤差，并將遠(yuǎn)場可變孔徑法中計(jì)算過程的矩形近似積分替換為函數(shù)曲線積分，有效地提高了模場直徑測量結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

2 測量原理分析

本文測量方法的基礎(chǔ)是遠(yuǎn)場可變孔徑法。將通過遠(yuǎn)場可變孔徑法采集得到的不同孔徑光功率數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，通過兩段貝塞爾函數(shù)進(jìn)行擬合并得到模場分布曲線，然后依據(jù)柏特曼(PetermannⅡ)遠(yuǎn)場定義式直接計(jì)算得出模場直徑。將本方法的測量結(jié)果與OFM光纖多參數(shù)測試儀[17]的測量結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證本方法測量的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。OFM 光纖多參數(shù)測試儀由原機(jī)械工業(yè)部上海電纜研究所(國家電纜檢測檢驗(yàn)中心)遵循我國國標(biāo)GB.15972 與國際通信標(biāo)準(zhǔn)IEC 60793 的測試方法開發(fā)研制。該測試儀可以測試光纖的衰減、模場直徑、截止波長等參數(shù)，是目前國內(nèi)外光纖光纜研究、生產(chǎn)及使用等單位的常用儀器。

2.1 光纖波導(dǎo)的電磁理論解

光纖是一種圓形介質(zhì)波導(dǎo)。光在光纖內(nèi)傳播的本質(zhì)是電磁波在介質(zhì)波導(dǎo)內(nèi)的傳輸。光波電磁矢量的精確解根據(jù)電磁場理論經(jīng)過嚴(yán)格的求解得到，它們滿足均勻圓形介質(zhì)波導(dǎo)邊界條件的麥克斯韋方程組[18-19]。由于光在光纖中的傳播方向角幾乎為零，所以只要先求出光波的軸向分量就可以根據(jù)麥克斯韋方程組得到其他的橫向分量。軸向場分量對(duì)應(yīng)的圓柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程為

式中：r為距光纖中心的距離，φ為光纖端面的方向角，z為距光纖端面的距離，n為光纖的折射率，k0=2π/λ是真空中的波數(shù)，λ為真空中的波長。

為簡便只分析光纖端面的分布模式。將上式變量分離，在端面上的分布規(guī)律如下式：

其中：E(r)為場分布，在纖芯與包層中n是不同的，n1、n2分別為纖芯和包層的折射率。對(duì)于階躍型光纖，纖芯和包層折射率均為常數(shù)。上式是典型的貝塞爾方程，方程中的參數(shù)m為φ方向上電場變化的周期數(shù)，稱為貝塞爾方程的階，β為光纖的縱向傳播常數(shù)。

圖1 為遠(yuǎn)場可變孔徑法測量的遠(yuǎn)場模場分布圖。在光纖纖芯區(qū)電場幅值必然是有界的，而且隨r做震蕩變化，因此模場的精確解在纖芯中用第一類貝塞爾函數(shù)描述。在包層區(qū)，當(dāng)r趨向無窮大時(shí)，場強(qiáng)應(yīng)趨近于零，所以在包層中用第二類變型貝塞爾函數(shù)來描述。在工程應(yīng)用中也常使用其近似解高斯函數(shù)來描述場分布[20-21]，由于高斯函數(shù)具有局限性，本文將使用精確解貝塞爾函數(shù)對(duì)場分布進(jìn)行描述。

通過如下兩段貝塞爾函數(shù)對(duì)單模光纖模場分布進(jìn)行精確描述，光強(qiáng)與相對(duì)半徑Ra的關(guān)系為[19]

式中：Ra=r/a為歸一化半徑，r為光纖半徑，a為纖芯半徑，U為歸一化橫向相位參數(shù)，W為歸一化橫向衰減參數(shù)。U、W值均與歸一化頻率V值相關(guān)。

圖1 實(shí)測數(shù)據(jù)模場分布圖Fig.1 Mode field distribution of the measured data

式中b為歸一化相位常數(shù)。

用式(3)對(duì)遠(yuǎn)場可變孔徑法測量的模場分布數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可以得到光纖內(nèi)模場分布函數(shù)，由該函數(shù)代入柏特曼遠(yuǎn)場定義式即可求得模場直徑。由貝塞爾函數(shù)表示的光纖模場分布三維效果圖如圖2 所示。

2.2 分段擬合與模場直徑的計(jì)算

根據(jù)上節(jié)，光波導(dǎo)在纖芯區(qū)傳輸用第一類貝塞爾函數(shù)J0描述，在包層中傳輸用第二類變型貝塞爾函數(shù)k0描述。在對(duì)遠(yuǎn)場可變孔徑法采集測量的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，應(yīng)該選取合適的分段點(diǎn)以避免對(duì)擬合結(jié)果產(chǎn)生影響。由式(3)可知，在纖芯半徑位置處為兩段函數(shù)的分界點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的光功率為

在確定了被測光纖特定工作波長下的歸一化頻率V值后，歸一化橫向相位參數(shù)U和歸一化橫向衰減參數(shù)W均為定值。對(duì)常用的型號(hào)為G.652 的單模光纖，在工作波長為1310 nm 時(shí)，其歸一化頻率V值為2.4，可得其模場分布曲線如圖3 所示。

aR=1 為第一類貝塞爾J0函數(shù)曲線與第二類變型貝塞爾k0函數(shù)曲線的分段點(diǎn)。Ra=1 即r=a為光纖纖芯半徑位置，此處對(duì)應(yīng)的歸一化光場強(qiáng)度為定值，可根據(jù)被測光纖歸一化頻率V值求出。對(duì)由遠(yuǎn)場可變孔徑法采集的遠(yuǎn)場光功率數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，得到其歸一化場強(qiáng)值，對(duì)大于分界點(diǎn)的數(shù)據(jù)采取第一類貝塞爾J0函數(shù)擬合，對(duì)小于分界點(diǎn)的數(shù)據(jù)采取第二類貝塞爾k0函數(shù)擬合。得到兩段貝塞爾函數(shù)描述的模場分布后通過柏特曼(PetermannⅡ)遠(yuǎn)場定義式由遠(yuǎn)場光功率分布確定模場直徑2w0[22]。

圖2 貝塞爾函數(shù)模型模場分布圖Fig.2 Mode field distribution of Bessel function model

圖3 G.652 光纖在1310 nm 工作波長下模場分布函數(shù)Fig.3 The mode field distribution function of G.652 fiber at 1310 nm working wavelength

式中：PF[θ]為模場分布曲線，即式(3)，θ為可變孔徑半寬角。

3 測量結(jié)果與討論

為檢驗(yàn)本文貝塞爾函數(shù)擬合方法的測量效果，實(shí)驗(yàn)采用OFM 光纖多參數(shù)測試儀，對(duì)光纖型號(hào)為G.652、G.655 的常用通信光纖進(jìn)行模場直徑測量。OFM 測試儀對(duì)模場直徑的測試性能指標(biāo)如下：可測試波長1310 nm、1550 nm，重復(fù)性≤0.1 μm，最大數(shù)值孔徑0.30，測試速度 2 min，所有性能指標(biāo)均符合國標(biāo) GB 15972.45-2008 中的要求。該測試儀采用標(biāo)準(zhǔn)的國標(biāo)中推薦的遠(yuǎn)場可變孔徑法，原理圖如圖4 所示。光源經(jīng)單色儀由注入系統(tǒng)進(jìn)入待測光纖，旋轉(zhuǎn)圓盤使光纖出射光透過圓盤上不同大小的孔徑光闌，并測量通過不同孔徑光闌的功率傳輸函數(shù)α(θ)，它是透光孔半寬角θ的函數(shù)。模場直徑(MFD)為[17]

式中：

其中：P(θ) 為采集到的通過透光孔的光功率，Pmax為光纖出射總功率，x為透光孔徑的半徑，L為光闌孔平面與光纖端面之間的距離。

本文提出的貝塞爾函數(shù)擬合法求模場直徑的計(jì)算式同式(7)，即先對(duì)同一光纖采集到的光功率離散數(shù)據(jù)通過兩段貝塞爾函數(shù)進(jìn)行擬合，從而得到由貝塞爾函數(shù)表征的光纖內(nèi)模場分布函數(shù)PF[θ]，最后由式(7)計(jì)算出模場直徑。式(7)與式(8)在模場直徑的測量上具有一致性，并可以通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換[20]。

圖4 遠(yuǎn)場可變孔徑法測量原理圖Fig.4 Principle diagram of remote field variable aperture measurement

3.1 正常情況下光纖模場直徑測量

使用G.652 單模光纖，測試波長為1310 nm，將光纖涂覆層剝離且用酒精棉擦洗干凈后，安置在OFM光纖多參數(shù)測試儀的注入光纖夾上，完成校準(zhǔn)后儀器自動(dòng)有序地采集該被測光纖透過不同尺寸孔徑的光功率。得到的一組實(shí)測數(shù)據(jù)如圖5(a)所示，由圖5(a)可見，收集到的光功率值隨著孔徑的增大逐漸增大，直到光功率不再隨著孔徑增大而繼續(xù)增大(即出射光功率被完全收集)。

OFM 光纖參數(shù)測試儀將采集得到的數(shù)據(jù)通過處理后由式(8)計(jì)算得出模場直徑，其中積分過程采用了GB.15972.45-2008 中建議的矩形近似積分方法，其積分函數(shù)a(θ)sin2θ～sinθ關(guān)系圖如圖5(b)所示。最后得到的模場直徑計(jì)算結(jié)果為9.210 μm。

貝塞爾函數(shù)擬合法則將不同孔徑的光功率數(shù)據(jù)處理后得到23 個(gè)模場分布離散點(diǎn)，使用兩段貝塞爾函數(shù)對(duì)其進(jìn)行擬合，其結(jié)果如圖5(c)所示。實(shí)測的模場分布離散點(diǎn)幾乎都落在擬合得到的貝塞爾函數(shù)曲線上。擬合曲線的相關(guān)系數(shù)R2接近于1 為0.9956，表示擬合優(yōu)度極佳。將通過擬合得到的模場分布即兩段貝塞爾函數(shù)代入式(7)，計(jì)算得到模場直徑為9.208 μm，與OFM 測量儀的相對(duì)誤差為0.02%。

在1310 nm 波長下，對(duì)G.652 和G.655 光纖進(jìn)行了重復(fù)測量，并將兩種方法的測量結(jié)果進(jìn)行比較，其結(jié)果見表1。由表中數(shù)據(jù)可知，在測量條件正常情況下，貝塞爾函數(shù)擬合法與OFM 測量儀標(biāo)準(zhǔn)方法所測結(jié)果幾乎相同，表明本方法具有良好的準(zhǔn)確性。在多次測量過程中，由最大偏差數(shù)據(jù)可以看出，本方法在測量結(jié)果的穩(wěn)定性(重復(fù)性)方面甚至更優(yōu)于OFM 標(biāo)準(zhǔn)儀器。

3.2 異常情況下光纖模場直徑測量

圖5 正常情況下模場直徑測量結(jié)果圖。(a) OFM 測試儀光強(qiáng)分布圖；(b) 積分函數(shù)a(θ)sin2θ～sinθ 關(guān)系圖；(c) 貝塞爾函數(shù)模場分布擬合結(jié)果圖Fig.5 Measurement results of modulus field diameter under normal conditions.(a) Light intensity distribution of OFM tester;(b) Graph of the integral function a(θ)sin2θ～sinθ;(c) Fitting results of Bessel function modulus field distribution

表1 在1310 nm 波長下不同型號(hào)單模光纖兩種測量方法的測量結(jié)果比較Table 1 Comparison of measurement results in two measurement methods at 1310 nm wavelength

遠(yuǎn)場可變孔徑法在測量過程中可能由于光纖端面切割不均勻或孔徑光闌在對(duì)正過程中電機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)角抖動(dòng)等原因?qū)е鹿夤β什杉煌耆珡亩鼓鲋睆綔y量結(jié)果產(chǎn)生波動(dòng)或偏離真值。

取G.652 光纖在1310 nm 波長下所測的異常數(shù)據(jù)對(duì)兩種方法進(jìn)行比較，該組數(shù)據(jù)中第19 個(gè)孔對(duì)應(yīng)的光功率數(shù)據(jù)采集異常。

由OFM 光纖多參數(shù)測試儀得到的測量結(jié)果如圖6(a)所示，由于第19 孔的光功率數(shù)據(jù)明顯異常，其積分函數(shù)如圖6(b)所示，由此所得模場直徑的測量值為9.765 μm，相對(duì)誤差6.02%，嚴(yán)重偏離正常值，為不可用數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行重新測量。

對(duì)同一組采集數(shù)據(jù)，通過貝塞爾函數(shù)的擬合結(jié)果如圖6(c)所示，光功率分布離散點(diǎn)連線出現(xiàn)明顯折線，但擬合曲線受誤差數(shù)據(jù)的影響較小，由擬合曲線方程通過式(7)計(jì)算得到的模場直徑為9.199 μm。相對(duì)誤差0.09%，幾乎不受誤差點(diǎn)干擾，完全符合我國國標(biāo)GB.15972 中規(guī)定的重復(fù)測量相對(duì)誤差小于1%的精度要求。

模擬在測量過程中出現(xiàn)多個(gè)(孔徑)誤差數(shù)據(jù)的情況，并用兩種方法進(jìn)行測量，比較結(jié)果見表2。其中相對(duì)偏差為存在誤差數(shù)據(jù)時(shí)的測量結(jié)果與正常情況的測量結(jié)果間偏差。

根據(jù)表2 中數(shù)據(jù)，OFM 參數(shù)測試儀傳統(tǒng)方法在測量數(shù)據(jù)存在誤差時(shí)，無論是對(duì)G.652 光纖還是G.655光纖，其模場直徑測量結(jié)果均較大程度偏離真值；本文貝塞爾函數(shù)擬合方法則可以基本排除誤差數(shù)據(jù)干擾，在兩孔存在誤差情況下仍然可以符合我國國標(biāo)GB.15972 中規(guī)定的誤差小于1%的精度要求，使模場直徑測量結(jié)果的準(zhǔn)確性得到了有效保證。

4 結(jié)論

針對(duì)單模光纖的模場直徑測量，本文提出一種基于遠(yuǎn)場可變孔徑法測量原理，結(jié)合光纖波導(dǎo)理論建立的光纖模場分布的貝塞爾函數(shù)模型，并通過此模型擬合采集到的光功率數(shù)據(jù)，得到實(shí)際的模場分布函數(shù)，最后通過模場直徑定義式求出模場直徑。實(shí)驗(yàn)表明,本方法在正常測量情況下表現(xiàn)出與標(biāo)準(zhǔn)儀器相當(dāng)?shù)臏y量準(zhǔn)確性與一致性，而且，當(dāng)測量條件變差時(shí)，本文測量方法仍可以達(dá)到國標(biāo)要求的測量精度，是對(duì)國標(biāo)GB.15972 中建議的遠(yuǎn)場可變孔徑法測量模場直徑的一種有意義的補(bǔ)充。同時(shí)本方法通過單個(gè)光電探測器結(jié)合可變孔徑代替了價(jià)格昂貴的近紅外相機(jī)，實(shí)現(xiàn)了近紅外相機(jī)的模場獲取功能，很大程度上提高了儀器的性價(jià)比。

圖6 異常情況下模場直徑測量結(jié)果圖。(a) OFM 測試儀光強(qiáng)分布圖；(b) 積分函數(shù)a(θ)sin2θ～sinθ 關(guān)系圖；(c) 貝塞爾函數(shù)模場分布擬合結(jié)果圖Fig.6 Measurement results of modulus field diameter under abnormal conditions.(a) Light intensity distribution of OFM tester;(b) Graph of the integral function a(θ)sin2θ～sinθ;(c) Fitting results of Bessel function modulus field distribution

表2 在1310 nm 波長下存在誤差情況兩種測量方法的測量結(jié)果比較Table 2 Comparison of measurement results of the two methods in case of error at 1310 nm wavelength