一種高精度的非線(xiàn)性相位誤差校正方法

賴(lài)姍姍，劉元坤，于 馨，袁卓凡

四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都 610065

1 引言

相移法是利用多幅光柵條紋圖像，逐像素點(diǎn)進(jìn)行相位值求解的方法，該方法具有測(cè)量精度高、成本低等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于基于相位的三維形貌測(cè)量中[1-2]。通?；谙嘁品ǖ南辔粶y(cè)量誤差包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，前者一般表現(xiàn)為隨機(jī)噪聲，后者通?？煞譃橄嘁普`差[3-4]和非線(xiàn)性誤差[5-8]。當(dāng)系統(tǒng)采用數(shù)字投影設(shè)備時(shí)，無(wú)需考慮相移誤差，此時(shí)投影儀或相機(jī)的非線(xiàn)性響應(yīng)為主要的相位誤差源。盡管通過(guò)增加相移步數(shù)可有效降低非線(xiàn)性相位誤差[9]，但增加相移步數(shù)往往需要增加測(cè)量時(shí)所需條紋圖，影響了系統(tǒng)的測(cè)量速度，而實(shí)際測(cè)量中需要兼顧速度和精度，因此，提出一種快速且高精度的非線(xiàn)性誤差補(bǔ)償方法十分重要。

現(xiàn)有的非線(xiàn)性相位誤差補(bǔ)償方法大致可分為兩類(lèi)：一類(lèi)以投影理想的正弦條紋為目標(biāo)[10-14]，比如預(yù)先計(jì)算系統(tǒng)伽馬值，通過(guò)對(duì)投影儀到攝像機(jī)的亮度傳遞函數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，然后在生成模式圖像時(shí)進(jìn)行伽馬逆變換，實(shí)現(xiàn)投影圖像輸入值的伽馬預(yù)矯正[10-11]。例如Liu[10]推導(dǎo)了伽馬值與基頻分量和二倍頻分量的關(guān)系，通過(guò)投影和記錄大相移步數(shù)的相移條紋，計(jì)算出系統(tǒng)伽馬值，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)伽馬校正；Guo[11]等基于統(tǒng)計(jì)分析，通過(guò)校正伽馬干擾來(lái)提高相位計(jì)算的精度，從而實(shí)現(xiàn)伽馬校正。但此類(lèi)方法對(duì)于系統(tǒng)環(huán)境和設(shè)備參數(shù)的穩(wěn)定有較高要求，若條件改變則需要重新標(biāo)定伽馬。另一種獲取理想條紋的方式是離焦[12-14]，Zhang[12]等使用投影儀對(duì)二值化條紋離焦抑制高頻成分，減小圖像高次諧波能量，從而降低相位誤差，但是需要平衡離焦度與測(cè)量范圍。第二類(lèi)方法是通過(guò)對(duì)變形條紋進(jìn)行后續(xù)處理[15-17]，從而實(shí)現(xiàn)相位誤差補(bǔ)償，Zhang[15]等直接分析投影光柵特征并建立了相位誤差查找表實(shí)現(xiàn)相位誤差補(bǔ)償；樊敏[16]等向參考面投影兩組初始差為π/N的相移條紋計(jì)算出非線(xiàn)性誤差，直接在誤差分布的空域內(nèi)計(jì)算出該測(cè)量系統(tǒng)的非線(xiàn)性諧波系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償；Pan[17]等根據(jù)相位誤差與精確相位值的相互關(guān)系，建立了相位誤差的簡(jiǎn)化模型，并由迭代完成相位誤差補(bǔ)償，但是，簡(jiǎn)化模型適用于相位誤差較小情況，且由于沒(méi)有考慮6 倍頻誤差分量，因此當(dāng)相位誤差較大時(shí)，補(bǔ)償效果有限。

本文以三步相移法為例(也可推廣到其它相移方法)，建立精確的相位誤差模型，根據(jù)預(yù)先標(biāo)定的各諧波分量幅值，進(jìn)行迭代補(bǔ)償，從而提高相位測(cè)量精度。在標(biāo)定環(huán)節(jié)先投影一套高相移步數(shù)的條紋圖，計(jì)算出各高次諧波分量與基波分量的比值，實(shí)際測(cè)量時(shí)，由三步相移法計(jì)算出截?cái)嘞辔?，即可根?jù)相位誤差模型和已知的各諧波幅值系數(shù)，通過(guò)迭代實(shí)現(xiàn)相位補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)表明，該算法在測(cè)量過(guò)程中僅需要三幅正弦條紋就可以實(shí)現(xiàn)高精度的相位誤差補(bǔ)償，具有精度高、速度快的優(yōu)點(diǎn)。

2 原 理

2.1 PMP 系統(tǒng)的非線(xiàn)性誤差

采用數(shù)字條紋投影的相位測(cè)量輪廓儀(phase measuring profilometry，PMP)測(cè)量過(guò)程為：首先將計(jì)算機(jī)生成的理想正弦條紋圖像，經(jīng)DLP 投影儀投射至物體表面，再由CCD 拍攝并記錄被物體高度調(diào)制過(guò)后的變形條紋圖像，然后再通過(guò)相位提取和截?cái)嘞辔徽归_(kāi)，得到含有物體高度信息的相位值，最后經(jīng)系統(tǒng)標(biāo)定、坐標(biāo)變換恢復(fù)物體表面的三維形貌。圖1 為PMP測(cè)量系統(tǒng)裝置圖。

圖1 PMP 系統(tǒng)示意圖Fig.1 Optical diagram of PMP

計(jì)算機(jī)所產(chǎn)生的正弦條紋圖的強(qiáng)度分布可表示為

其中：i=0,1,...,N? 1，Ib(x,y)表示條紋的背景光強(qiáng)，Im(x,y)表示條紋的調(diào)制度，φ=2πfx，其中f是頻率，x，y是投影圖像像素坐標(biāo)，δi是第i幅圖片的相移量，且δi=2iπ/N，其中N是相移步數(shù)。

理想情況下的截?cái)嘞辔豢梢员硎緸?/p>

由于受到測(cè)量系統(tǒng)的整體非線(xiàn)性調(diào)制，例如DLP投影儀和CCD 相機(jī)存在的非線(xiàn)性響應(yīng)，實(shí)際獲取的條紋如圖2(a)中所示。這是由于系統(tǒng)非線(xiàn)性響應(yīng)引入了高次諧波，各諧波強(qiáng)度如圖2(b)所示。

圖2 高次諧波對(duì)條紋正弦性的影響。(a) 條紋強(qiáng)度；(b) 條紋的傅里葉頻譜Fig.2 The influence of higher harmonics on the sinusoidality of fringes.(a) The intensity of the fringe;(b) Fourier spectrum of the fringe

引入高次諧波后的條紋強(qiáng)度為

由圖2(b)可以看出，前五階諧波的幅值較大，而六階及以上諧波幅值較小，因此通常僅考慮前五階諧波[17]，式(3)可重新表示為

則實(shí)際的相位計(jì)算式為

由系統(tǒng)非線(xiàn)性引入的相位誤差Δφ可以表示為φ′與φ之差：

由于N步相移可消去N倍高次諧波，若使用三步相移法，再將式(5)和式(2)代入式(6)，可得：

由上式可知，相位誤差Δφ可以看成是理想相位φ的周期函數(shù)，如圖3 所示。

2.2 相位誤差校正方法

如前所述，在三步相移法的相位誤差公式中包含了基波系數(shù)a1以及三項(xiàng)高次諧波系數(shù)a2、a4、a5。若能計(jì)算出上述系數(shù)，根據(jù)式(7)即可計(jì)算出更準(zhǔn)確的相位誤差。

系數(shù)ak可由高相移步數(shù)[10]的相移技術(shù)準(zhǔn)確計(jì)算得到，即：

在整個(gè)視場(chǎng)中，由于待測(cè)物體表面反射率的不均勻性等因素，會(huì)使得每個(gè)像素獲取的系數(shù)ak各不相同，但可以用a1對(duì)ak進(jìn)行歸一化消除這類(lèi)參數(shù)的不均勻性，再取均值消除設(shè)備的電子噪聲影響，即：

這樣可利用迭代實(shí)現(xiàn)相位誤差校正：

圖3 φ 與Δφ 的關(guān)系Fig.3 The relationship between the φ and Δφ

迭代時(shí)，令φ0=φ'，迭代終止條件為max|φm+1(x,y)?φm(x,y)|<0.001 rad，相位誤差補(bǔ)償過(guò)程如圖4 所示。

3 計(jì)算機(jī)模擬

為了驗(yàn)證本文的方法及其抗噪性，生成一個(gè)peak函數(shù)(大小為512 pixels×512 pixels，每個(gè)周期20 個(gè)pixels)模擬三維物體，并預(yù)設(shè)相位誤差(預(yù)設(shè)參數(shù)a0=0.5，a1=0.4075，a2=0.0986，a3=0.0039，a4=-0.0033，a5=0.0029)及高斯噪聲(方差=0.0082)。仿真得到被物體調(diào)制后的變形條紋如圖5(a)所示。取圖中A 區(qū)域，相位恢復(fù)結(jié)果如圖5(b)所示，可以看見(jiàn)，未補(bǔ)償時(shí)物體表面有非常明顯的非線(xiàn)性相位誤差。分別使用Pan 的迭代法(c1=0.11)和Zhang[15]的相位誤差查找法(LUT)進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償后的結(jié)果如圖5(c)和5(d)所示。圖5(e)為用本文提出的補(bǔ)償算法處理后的結(jié)果，歸一化參數(shù)為n1=1，n2=0.2420，n3=0.0095，n4=-0.0080，n5=0.0071。通過(guò)圖5(c)，5(d)和圖5(e)的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)本文所提方法重建相位更光滑，誤差補(bǔ)償效果更好，同時(shí)也具有較強(qiáng)的抗噪能力。

圖4 相位誤差補(bǔ)償流程圖Fig.4 Flow chart of phase error compensation

圖5 剩余相位誤差展開(kāi)圖。(a) 變形條紋；(b) 未補(bǔ)償相位誤差；(c) Pan 的方法；(d) LUT 法；(e) 本文方法Fig.5 Residual phase error.(a) Deformation fringe;(b) Phase without compensation;(c) Phase compensated by Pan's method;(d) Phase compensated by LUT;(e) Phase compensated by our method

分析兩種方法補(bǔ)償之后剩余的相位誤差與預(yù)設(shè)的原始相位誤差之間的關(guān)系，并取第300 行407 至451列(即圖5(a)B 區(qū)域)剩余的相位誤差對(duì)比如圖6。物體未補(bǔ)償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)為0.1773 rad，使用Pan 的方法補(bǔ)償后降至0.0298 rad，使用LUT 法補(bǔ)償后降至0.0686 rad，使用本文提出的新方法補(bǔ)償后降至0.0055 rad。分析第520 行，原始相位誤差幅值為0.2575 rad，使用Pan 的方法迭代后剩余相位誤差幅值降為0.0578 rad，使用LUT 法降為0.0986 rad，本文方法則降至0.0195 rad。殘余誤差為模擬噪聲引入的隨機(jī)誤差。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

測(cè)量系統(tǒng)包括一個(gè)攝像機(jī)(Ueye IDS2250，分辨率為1600 pixels×1200 pixels，焦距16 mm)，一臺(tái)投影機(jī)(分辨率為1200 pixels×800 pixels)。為驗(yàn)證該方法的有效性，首先對(duì)一白色參考面進(jìn)行測(cè)量。采用18 步相移方法，得到理想的截?cái)嘞辔沪?。由?9)、式(10)求得n1=1，n2=0.2419，n3=0.0095，n4=0.00823，n5=0.0073。取18 幅條紋圖中第1、7、13 幅作三步相移，由三步相移法計(jì)算截?cái)嘞辔沪铡洌⒌?20 行440 至499 列作相位誤差分布曲線(xiàn)圖如圖7“without compensation”所示，截?cái)嘞辔徽`差波動(dòng)幅度c1約為0.2676 rad，分別使用Pan 的方法和LUT 法對(duì)相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償之后的剩余相位誤差分布如圖7“Pan's method”和“LUT method”所示。新方法補(bǔ)償后的相位誤差分布如圖7“our method”所示，可見(jiàn)由投影儀-攝像機(jī)的非線(xiàn)性引起的周期性相位誤差得到了更有效的消除。

白色參考面未補(bǔ)償時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為0.1672 rad，使用Pan 的方法補(bǔ)償后降至0.0560 rad，使用LUT 法補(bǔ)償后降至0.0610 rad，使用本文提出的新方法補(bǔ)償后降至0.0159 rad。原始相位誤差幅值為0.2676 rad，使用Pan的方法迭代后剩余相位誤差幅值降為0.1363 rad，使用LUT 法迭代后剩余相位誤差幅值降為0.1264 rad，本文方法則降至0.0522 rad?？梢钥闯觯路椒梢杂行岣呦辔徽`差補(bǔ)償?shù)木取?/p>

圖6 三種方法模擬補(bǔ)償后的剩余相位誤差Fig.6 The residual phase difference of simulation experiment by three methods

圖7 三種方法對(duì)平面補(bǔ)償后的剩余相位誤差Fig.7 The residual phase difference of plane by three methods

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提相位補(bǔ)償法在實(shí)際測(cè)量中的作用，在以上相位測(cè)量系統(tǒng)上，采用三步相移算法測(cè)量了一個(gè)葫蘆的三維面型如圖8(a)所示。對(duì)圖8(a)中A 區(qū)域未進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償時(shí)的相位恢復(fù)結(jié)果如圖8(b)所示，葫蘆表面有明顯的周期性誤差起伏。使用Pan 的方法及LUT 法補(bǔ)償后的相位恢復(fù)結(jié)果分別如圖8(c)和8(d)所示，顯然，相位誤差并未消除完全，重建相位表面仍受殘余誤差擾動(dòng)。圖8(e)為用本文提出的誤差補(bǔ)償算法補(bǔ)償后的相位恢復(fù)結(jié)果，可以看出，本文方法補(bǔ)償后誤差殘留更少，效果更好，重建相位光滑。

測(cè)量得到物體的原始相位誤差分布以及分別采用兩種方法進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償后，取第620 行440 至520列剩余的相位誤差對(duì)比如圖9 所示。葫蘆表面未補(bǔ)償時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為0.1662 rad，使用Pan 的方法補(bǔ)償后降至0.0581 rad，使用LUT 方法補(bǔ)償后降至0.0610 rad，使用本文提出的新方法補(bǔ)償后降至0.0190 rad。原始相位誤差幅值為0.2676 rad，使用Pan 的方法迭代后剩余相位誤差幅值降為0.1614 rad，使用LUT 法迭代后降為0.1493 rad，本文方法則降至0.0796 rad。從圖9 可以看出，未補(bǔ)償時(shí)，原相位誤差主要呈現(xiàn)3 倍頻特性；經(jīng)Pan 的方法補(bǔ)償后，剩余相位誤差主要呈現(xiàn)6 倍頻特性；經(jīng)本文方法補(bǔ)償后，剩余誤差則不再有明顯的周期性分布。

圖8 葫蘆的補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。(a) 變形條紋；(b) 未補(bǔ)償相位誤差；(c) Pan 的方法；(d) LUT 法；(e) 本文方法Fig.8 Object compensation experiment.(a) Deformation fringe;(b) Phase without compensation;(c) Phase compensated by Pan's method;(d) Phase compensated by LUT;(e) Phase compensated by our method

圖9 三種方法對(duì)葫蘆補(bǔ)償后的剩余相位誤差Fig.9 The residual phase difference of object by three methods

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)并分析了數(shù)字條紋投影測(cè)量系統(tǒng)中存在的非線(xiàn)性誤差，提出了一種通過(guò)標(biāo)定各頻譜分量的比例關(guān)系優(yōu)化非線(xiàn)性誤差分布的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用迭代法來(lái)計(jì)算待測(cè)理想相位，實(shí)現(xiàn)相位誤差精確補(bǔ)償?shù)姆椒?。相較于簡(jiǎn)化的近似相位誤差模型，該方法通過(guò)建立精確的相位誤差模型，能獲得更好的補(bǔ)償效果。并且由于高步數(shù)相移僅用于標(biāo)定過(guò)程，實(shí)際測(cè)量過(guò)程中只需要三步相移就可以完成相位誤差補(bǔ)償，大大減少了測(cè)量時(shí)間，兼顧了快速與高精度的測(cè)量要求。此外，本文方法只考慮了系統(tǒng)存在2～5 次諧波的情況，但可以根據(jù)實(shí)際需要，考慮更高次諧波成分，進(jìn)一步提高相位誤差補(bǔ)償精度。