基于模型依賴平均駐留時間的H∞輸出跟蹤控制

劉 超，聶 宏，陳 麗

（1.遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

切換系統(tǒng)是由一組包含連續(xù)或離散時間動態(tài)子系統(tǒng)和一條決定各個子系統(tǒng)如何切換的切換信號所構(gòu)成的。它在工程實際中具有非常廣泛的應(yīng)用，如飛行器控制、交通控制、機器人行走控制、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)及多智能體的協(xié)作與控制等[1‐3]。切換系統(tǒng)理論在改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能和提高系統(tǒng)的控制精度方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。近年來切換系統(tǒng)涌現(xiàn)出了大量的研究成果，涉及穩(wěn)定性分析、故障檢測、H∞控制以及其他控制綜合問題等[4‐6]。

跟蹤控制是控制領(lǐng)域的重要問題之一，其目的是通過有效的控制使被控對象具有所期望的運動軌跡。由于跟蹤控制擁有較強的實際應(yīng)用背景，如在化工過程中對溫度的實時跟蹤、加工制造業(yè)中對機器人路徑的跟蹤等，目前跟蹤控制問題已經(jīng)得到比較深入的研究[7‐9]。文獻[7]研究一類常時滯切換系統(tǒng)的模型跟蹤控制問題，設(shè)計基于狀態(tài)的切換信號，保證了系統(tǒng)具有魯棒H∞跟蹤性能。文獻[8]針對具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的時變時滯切換系統(tǒng)，得到了跟蹤控制問題可解的充分條件。文獻[9]討論異步切換下時變時滯切換系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題，利用平均駐留時間方法，給出了跟蹤控制器的設(shè)計方案。這些研究成果均是使用平均駐留時間的方法。文獻[10]指出，使用模型依賴平均駐留時間法（Mode‐Dependent Average Dwell Time，MDADT）相較于平均駐留時間法可設(shè)計保守性較低，更具一般性的切換信號。通過使用MDADT 方法，文獻[11]研究一類具有時變時滯的連續(xù)切換系統(tǒng)H∞鎮(zhèn)定問題，設(shè)計出一類切換信號和狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)具有全局指數(shù)穩(wěn)定性和L2性能。文獻[12]通過設(shè)計有限時間狀態(tài)反饋控制器，得到了線性切換系統(tǒng)有限時間有界且具有H∞性能的充分條件。文獻[13]針對一類具有時變時滯的線性切換系統(tǒng)，設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器，保證了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有加權(quán)H∞性能。到目前為止，利用模型依賴平均駐留時間方法對切換時滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制的研究還鮮有報道。

受文獻[10-15]的啟發(fā)，本文使用模型依賴平均駐留時間方法研究切換時滯系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題。利用多Lyapunov 函數(shù)理論，以線性矩陣不等式形式給出切換時滯系統(tǒng)H∞輸出跟蹤問題可解的充分條件，同時還給出狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分相結(jié)合的切換控制器的設(shè)計方案。最后，以仿真例子驗證所獲得結(jié)論的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮如下線性時變時滯切換系統(tǒng)：

式中，x(t)t ∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)；u(t)t ∈Rm為控制輸入；ω(t) ∈Rp為屬于L2[0,∞)的擾動輸入；y(t) ∈Rq為輸出；?(θ)為定義在[-h,0]上的連續(xù)可微的初值函數(shù)；σ(t)t:[0,∞),∞→M ={1,2,…,m}為關(guān)于時間t 的分段連續(xù)的常值函數(shù)，稱作切換信號。對任意的i ∈M,Ai、Bi、Ei、Fi和C 是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。d(t)為有界時變時滯，滿足如下條件:

對應(yīng)于切換信號σ(t)的切換序列為：

式中，x(t0)為初始狀態(tài)；t0為初始時間；tk為切換時刻；N 為非負整數(shù)集。當(dāng)t ∈[tk,tk+1)，第ik個子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)。

假設(shè)參考信號為yr(t)，則輸出跟蹤誤差為：選取含有狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息的控制器為：

式中，Kσ(t)、Lσ(t)為待確定的控制器增益。

結(jié)合式（1）、式（4）和式（5）可以得到如下增廣系統(tǒng)：

本文旨在設(shè)計一個切換信號和包含跟蹤誤差積分信息的控制器（5），使系統(tǒng)（6）是指數(shù)穩(wěn)定的且具有H∞輸出跟蹤性能，為此給出如下定義和引理。

定出義跟1蹤[16性]能對，于為切此換給信出號如下σ(定t)義和和任引意理時?？蘐、t,T ≥t ≥0,令Nσi(T,t)表示在時間區(qū)間[t,T]上的第i 子系統(tǒng)被激活的次數(shù),i ∈M。Ti(T,t)表示第i 子系統(tǒng)在[t,T]上總的運行時間。如果存在N0i>0,τai>0，使不等式對任意T ≥t ≥0 成立，那么稱切換信號σ(t)具有模型依賴的平均駐留時間τai，其中，N0i表示模型依賴的振動界。

2 主要結(jié)果

3 控制器設(shè)計

定理1 給出了輸出跟蹤控制問題可解的充分條件，但定理1 給出的結(jié)論不便于求解，下面將定理中的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。

定理2 對任意給定的常數(shù)γ>0，λi>0，μi≥1，如果存在矩陣Pˉi>0、Qˉi>0、Zˉi>0、Yi，?i ∈M，使得如下不等式

使用式(27)，并在式(25)左右兩側(cè)同時乘以矩陣diag{Pi,Zi,I,I,I}，有：

由Schur 補引理，可以推出式（7）成立，證畢。

4 仿真實例

考慮具有兩個子系統(tǒng)的連續(xù)切換系統(tǒng)，具有如下參數(shù)：

兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計算結(jié)果如表1 所示。

表1 兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計算結(jié)果

從表1 可以看出，本文定理2 中求得的H∞性能γ 小于文獻[9]定理3 中求得的H∞性能γ。因此，相比于平均駐留時間策略，模型依賴的平均駐留時間有更好的H∞輸出跟蹤性能。選取初始狀態(tài)x(t0)=[-2 1]T，切換信號如圖1 所示。系統(tǒng)（6）的H∞輸出跟蹤性能如圖2 所示。當(dāng)?(t) =yr(t) =0 時，開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖3 所示。

圖1 切換信號

圖2 系統(tǒng)（6）的H∞輸出跟蹤性能（γ=0.54）

圖3 當(dāng)?(t) = yr(t) = 0 時，開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

從圖3 可以看出，u(t) =0 時的開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但是通過使用本文定理2 所設(shè)計的狀態(tài)反饋和積分誤差相結(jié)合的控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定。系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線如圖4 所示。

圖4 系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線

5 結(jié) 論

研究了具有模型依賴平均駐留時間的切換時滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題。使用模型依賴平均駐留時間方法和多Lyapunov 函數(shù)理論，設(shè)計狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息相結(jié)合的控制器，得到了系統(tǒng)在模型依賴平均駐留時間切換信號下有效地跟蹤參考信號的充分條件。相比于平均駐留時間策略，模型依賴的平均駐留時間有更好的H∞輸出跟蹤性能。