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    基于模型依賴平均駐留時(shí)間的H∞輸出跟蹤控制

    2021-05-15 05:31:16超,聶宏,陳
    關(guān)鍵詞:信號(hào)模型系統(tǒng)

    劉 超,聶 宏,陳 麗

    (1.遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院,遼寧 撫順 113001;2.遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 撫順 113001)

    切換系統(tǒng)是由一組包含連續(xù)或離散時(shí)間動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)和一條決定各個(gè)子系統(tǒng)如何切換的切換信號(hào)所構(gòu)成的。它在工程實(shí)際中具有非常廣泛的應(yīng)用,如飛行器控制、交通控制、機(jī)器人行走控制、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)及多智能體的協(xié)作與控制等[1‐3]。切換系統(tǒng)理論在改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能和提高系統(tǒng)的控制精度方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢(shì)。近年來切換系統(tǒng)涌現(xiàn)出了大量的研究成果,涉及穩(wěn)定性分析、故障檢測(cè)、H∞控制以及其他控制綜合問題等[4‐6]。

    跟蹤控制是控制領(lǐng)域的重要問題之一,其目的是通過有效的控制使被控對(duì)象具有所期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。由于跟蹤控制擁有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景,如在化工過程中對(duì)溫度的實(shí)時(shí)跟蹤、加工制造業(yè)中對(duì)機(jī)器人路徑的跟蹤等,目前跟蹤控制問題已經(jīng)得到比較深入的研究[7‐9]。文獻(xiàn)[7]研究一類常時(shí)滯切換系統(tǒng)的模型跟蹤控制問題,設(shè)計(jì)基于狀態(tài)的切換信號(hào),保證了系統(tǒng)具有魯棒H∞跟蹤性能。文獻(xiàn)[8]針對(duì)具有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng),得到了跟蹤控制問題可解的充分條件。文獻(xiàn)[9]討論異步切換下時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題,利用平均駐留時(shí)間方法,給出了跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方案。這些研究成果均是使用平均駐留時(shí)間的方法。文獻(xiàn)[10]指出,使用模型依賴平均駐留時(shí)間法(Mode‐Dependent Average Dwell Time,MDADT)相較于平均駐留時(shí)間法可設(shè)計(jì)保守性較低,更具一般性的切換信號(hào)。通過使用MDADT 方法,文獻(xiàn)[11]研究一類具有時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)切換系統(tǒng)H∞鎮(zhèn)定問題,設(shè)計(jì)出一類切換信號(hào)和狀態(tài)反饋控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)具有全局指數(shù)穩(wěn)定性和L2性能。文獻(xiàn)[12]通過設(shè)計(jì)有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制器,得到了線性切換系統(tǒng)有限時(shí)間有界且具有H∞性能的充分條件。文獻(xiàn)[13]針對(duì)一類具有時(shí)變時(shí)滯的線性切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器,保證了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有加權(quán)H∞性能。到目前為止,利用模型依賴平均駐留時(shí)間方法對(duì)切換時(shí)滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制的研究還鮮有報(bào)道。

    受文獻(xiàn)[10-15]的啟發(fā),本文使用模型依賴平均駐留時(shí)間方法研究切換時(shí)滯系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題。利用多Lyapunov 函數(shù)理論,以線性矩陣不等式形式給出切換時(shí)滯系統(tǒng)H∞輸出跟蹤問題可解的充分條件,同時(shí)還給出狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分相結(jié)合的切換控制器的設(shè)計(jì)方案。最后,以仿真例子驗(yàn)證所獲得結(jié)論的正確性和有效性。

    1 問題描述

    考慮如下線性時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng):

    式中,x(t)t ∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài);u(t)t ∈Rm為控制輸入;ω(t) ∈Rp為屬于L2[0,∞)的擾動(dòng)輸入;y(t) ∈Rq為輸出;?(θ)為定義在[-h,0]上的連續(xù)可微的初值函數(shù);σ(t)t:[0,∞),∞→M ={1,2,…,m}為關(guān)于時(shí)間t 的分段連續(xù)的常值函數(shù),稱作切換信號(hào)。對(duì)任意的i ∈M,Ai、Bi、Ei、Fi和C 是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。d(t)為有界時(shí)變時(shí)滯,滿足如下條件:

    對(duì)應(yīng)于切換信號(hào)σ(t)的切換序列為:

    式中,x(t0)為初始狀態(tài);t0為初始時(shí)間;tk為切換時(shí)刻;N 為非負(fù)整數(shù)集。當(dāng)t ∈[tk,tk+1),第ik個(gè)子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)。

    假設(shè)參考信號(hào)為yr(t),則輸出跟蹤誤差為:選取含有狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息的控制器為:

    式中,Kσ(t)、Lσ(t)為待確定的控制器增益。

    結(jié)合式(1)、式(4)和式(5)可以得到如下增廣系統(tǒng):

    本文旨在設(shè)計(jì)一個(gè)切換信號(hào)和包含跟蹤誤差積分信息的控制器(5),使系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的且具有H∞輸出跟蹤性能,為此給出如下定義和引理。

    定出義跟1蹤[16性]能對(duì),于為切此換給信出號(hào)如下σ(定t)義和和任引意理時(shí)??蘐、t,T ≥t ≥0,令Nσi(T,t)表示在時(shí)間區(qū)間[t,T]上的第i 子系統(tǒng)被激活的次數(shù),i ∈M。Ti(T,t)表示第i 子系統(tǒng)在[t,T]上總的運(yùn)行時(shí)間。如果存在N0i>0,τai>0,使不等式對(duì)任意T ≥t ≥0 成立,那么稱切換信號(hào)σ(t)具有模型依賴的平均駐留時(shí)間τai,其中,N0i表示模型依賴的振動(dòng)界。

    2 主要結(jié)果

    3 控制器設(shè)計(jì)

    定理1 給出了輸出跟蹤控制問題可解的充分條件,但定理1 給出的結(jié)論不便于求解,下面將定理中的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。

    定理2 對(duì)任意給定的常數(shù)γ>0,λi>0,μi≥1,如果存在矩陣Pˉi>0、Qˉi>0、Zˉi>0、Yi,?i ∈M,使得如下不等式

    使用式(27),并在式(25)左右兩側(cè)同時(shí)乘以矩陣diag{Pi,Zi,I,I,I},有:

    由Schur 補(bǔ)引理,可以推出式(7)成立,證畢。

    4 仿真實(shí)例

    考慮具有兩個(gè)子系統(tǒng)的連續(xù)切換系統(tǒng),具有如下參數(shù):

    兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

    表1 兩種切換策略下的系統(tǒng)參數(shù)和計(jì)算結(jié)果

    從表1 可以看出,本文定理2 中求得的H∞性能γ 小于文獻(xiàn)[9]定理3 中求得的H∞性能γ。因此,相比于平均駐留時(shí)間策略,模型依賴的平均駐留時(shí)間有更好的H∞輸出跟蹤性能。選取初始狀態(tài)x(t0)=[-2 1]T,切換信號(hào)如圖1 所示。系統(tǒng)(6)的H∞輸出跟蹤性能如圖2 所示。當(dāng)?(t) =yr(t) =0 時(shí),開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖3 所示。

    圖1 切換信號(hào)

    圖2 系統(tǒng)(6)的H∞輸出跟蹤性能(γ=0.54)

    圖3 當(dāng)?(t) = yr(t) = 0 時(shí),開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

    從圖3 可以看出,u(t) =0 時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,但是通過使用本文定理2 所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋和積分誤差相結(jié)合的控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線如圖4 所示。

    圖4 系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線

    5 結(jié) 論

    研究了具有模型依賴平均駐留時(shí)間的切換時(shí)滯系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題。使用模型依賴平均駐留時(shí)間方法和多Lyapunov 函數(shù)理論,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋和跟蹤誤差積分信息相結(jié)合的控制器,得到了系統(tǒng)在模型依賴平均駐留時(shí)間切換信號(hào)下有效地跟蹤參考信號(hào)的充分條件。相比于平均駐留時(shí)間策略,模型依賴的平均駐留時(shí)間有更好的H∞輸出跟蹤性能。

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