三角形中線再認(rèn)識(shí)

余芳

一、三角形中線再認(rèn)識(shí)

例1 三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（）。

A.中線 B.角平分線

C.高D.中位線

【解析】如圖1，AD是△ABC的中線，根據(jù)三角形中線的定義我們可以得到BD=CD，進(jìn)而得到S△ABD=S△ADC=[12]S△ABC（等底同高）。故選A。

二、三角形中線性質(zhì)的應(yīng)用

例2 如圖2，在△ABC中，將△ABC沿射線BC方向平移，使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△DCF，連接AF，若△ABC的面積為4，則△ACF的面積為。

【解析】通過(guò)平移，我們可以得到BC=CF，從而發(fā)現(xiàn)AC是△ABF的中線，考查的還是三角形中線的性質(zhì)，S△ACF=S△ABC=4。故填4。

例3 如圖3，D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，E、F分別是線段AD、CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為20cm2，則△BEF的面積是cm2。

【解析】審題找到解題突破信息：E、F分別是線段AD、CE的中點(diǎn)，遵循點(diǎn)—線—圖形的發(fā)現(xiàn)軌跡，從而發(fā)現(xiàn)BE是△ABD的中線，CE是△ADC的中線，BF是△BCE的中線，題目所求又與三角形面積有關(guān)，所以我們自然想到三角形中線平分面積的性質(zhì)。

解：∵E是AD的中點(diǎn)，

∴S△BDE=[12]S△ABD，S△CDE=[12]S△ACD，

∴S△BCE=[12]S△ABD[+12]S△ACD=[12]S△ABC=10。

∵F是CE的中點(diǎn)，

∴S△BEF=[12]S△BEC=5（cm2）。

三、三角形中線性質(zhì)的拓展

例4 如圖4，在△ABC中E是BC上一點(diǎn)，EC=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BD與AE交點(diǎn)于F，設(shè)△ABC、△ADF、△BEF的面積分別為S△ABC、S△ADF、S△BEF，且S△ABC=12，則S△ADF-S△BEF=（）。

A.1B.2C.3D.4

【解析】我們知道三角形中線平分面積是因?yàn)楸恢芯€分得的兩個(gè)三角形是等底同高，由此拓展就可以得到：同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于其底之比。審題后，我們第一直覺(jué)是想把S△ADF和S△BEF的面積求出來(lái)，但發(fā)現(xiàn)能利用點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)求得S△ABD=S△BCD=6，再利用EC=2BE可得S△ABE=[13]S△ABC=4，S△ACE=[23]S△ABC=8。

距題目所求還有距離。此時(shí)我們需要做的是再次審題，把已經(jīng)求得的和圖形特點(diǎn)相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)S△ADF和S△BEF的面積同時(shí)加上四邊形CEFD的面積就成了△ACE和△BCD的面積，即S△ADF-S△BEF=S△ACE-S△BCD=8-6=2。故選B。

同學(xué)們，三角形的中線平分三角形面積是一個(gè)重要的性質(zhì)，其拓展后的一般結(jié)論是“同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于其底邊之比”，這往往也是中考命題的原型，值得深入理解和掌握。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市西漳中學(xué)）