間接論證：神奇的反證法

鐘鳴

同學(xué)們，這里有一個有趣的問題：請證明“神不是萬能的”。

直接證明很困難，間接證明試一試。反證法是間接論證的方法之一，是拉丁語中的“轉(zhuǎn)化為不可能”（Reductio ad absurdum），阿基米德經(jīng)常使用它，亦稱“逆證”。

對于反證法，我們應(yīng)該不陌生。在七年級數(shù)學(xué)教材下冊第16頁讀一讀“怎樣證實(shí)‘兩直線平行，同位角相等”部分，就是用反證法進(jìn)行的論證，同學(xué)們不妨先回到課本去讀一讀。這里，我們模仿著試一試。

假設(shè)“神是萬能的”，那么“神就一定能夠造出一塊連自己都搬不動的石頭”。而這與假設(shè)“神是萬能的”相矛盾。所以，“神不是萬能的”。

可見，反證法的一般步驟是：①假設(shè)要證明的結(jié)論的反面是成立的;②依據(jù)推理規(guī)則進(jìn)行推演，得出與已有假設(shè)或事實(shí)矛盾的結(jié)論;③否定假設(shè)的成立，肯定要證明的結(jié)論。特別是在進(jìn)行正面的直接證明或反駁比較困難時(shí)，用反證法往往會收到神奇的效果。

在我們學(xué)習(xí)過的幾何內(nèi)容中，并不缺乏這樣的例子：

例1 如圖1，直線a∥b，直線b與直線c相交于點(diǎn)A，直線c與直線a平行嗎？為什么？

【解析】正面直接論證怎么進(jìn)行呢？延長直線c，直觀上會和直線a相交，難道依靠直觀就解釋了直線c與直線a不平行嗎？有沒有更有力的論證呢？假設(shè)“直線c與直線a平行”，又因?yàn)椤癮∥b”，那么過直線a外一點(diǎn)A有兩條直線c和b都與直線a平行。這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾。所以假設(shè)不成立，則直線c與直線a不平行。

類似地，同學(xué)們不妨試試下題。

【練習(xí)】如圖2，直線a、b、c，a⊥b，直線c與直線b相交于點(diǎn)A，直線c與直線a垂直嗎？為什么？

例2 一個四邊形最多只有3個鈍角，為什么？

【解析】畫圖可以幫我們確認(rèn)這個事實(shí)，但是無法給出有力的解釋。正難則反，我們用反證法試一試。假設(shè)“一個四邊形有4個鈍角”，那么這4個鈍角的和大于360°，這與“四邊形內(nèi)角和是360°”相矛盾，所以“一個四邊形最多只有3個鈍角”。論證清晰、簡潔、有力。

牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦??！币话銇碇v，反證法常用來證明正面直接證明有困難、情況多或復(fù)雜，而命題的否定比較簡單的題目。對于反證法，同學(xué)們可以通過網(wǎng)絡(luò)多些了解，也可以提前閱讀數(shù)學(xué)教材八年級下冊第71頁《趣談“反證法”》。這樣，我們的論證思路就會更加廣闊。在后繼的學(xué)習(xí)中，我們還會接觸到另外一種間接論證的方法——肯定存在、構(gòu)造目標(biāo)的同一法。同學(xué)們，期待嗎？

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）