分類討論　以圓定“形”

陳超

等腰三角形作為特殊的三角形，有其獨(dú)有的性質(zhì)，是三角形知識(shí)的重要組成部分。在探討形的存在性問題時(shí)，等腰三角形中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，即分類討論思想，這也是中考常考的知識(shí)。在具體考查時(shí)，選擇題、填空題、解答題都有可能涉及。解決這類問題是有通法可循的，特別是在選擇題和填空題中。下面就剖析兩道中考題，以幫助同學(xué)們體會(huì)通法的奧妙。

一、在坐標(biāo)系中的等腰三角形

例1 （2019·江蘇徐州）函數(shù)y=x+1的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上。若△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有個(gè)。

【解析】題目中雖然要求△ABC為等腰三角形，但是沒有說明哪條邊是腰或底，故AB可能是腰也可能是底，所以需要分類討論。因?yàn)橐粋€(gè)等腰三角形有兩腰一底，且底邊與頂角的頂點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以以頂角的頂點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)分類較好。而底角的頂點(diǎn)在以頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑的圓上，這樣的圓與特殊的線（題中要求的線）的交點(diǎn)即為底角的頂點(diǎn)，這樣等腰三角形位置即可確定。

根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像，如圖1。①當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，即AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫⊙A，⊙A與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，這時(shí)有2個(gè)（記為C1、C2）;②當(dāng)點(diǎn)B為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，即BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑畫⊙B，⊙B與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合的點(diǎn)），這時(shí)有1個(gè)（記為C3）;③當(dāng)點(diǎn)C為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，即CA=CB時(shí)，因?yàn)閳A心與半徑都不確定，此時(shí)就不能通過畫⊙C來確定點(diǎn)C了，但CA=CB，故點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，過⊙A與⊙B的兩個(gè)交點(diǎn)畫直線，即為線段AB的垂直平分線，它與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C（恰好與原點(diǎn)O重合），此時(shí)有1個(gè)（記為C4）。所以滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)。

【總結(jié)】確定點(diǎn)C的個(gè)數(shù)，就是確定等腰△ABC的個(gè)數(shù)。由于等腰△ABC的底或腰的不確定性，決定了必須分類討論。此時(shí)，分類的標(biāo)準(zhǔn)成為關(guān)鍵。分類必須做到標(biāo)準(zhǔn)唯一，不重不漏，易于理解與操作。分類標(biāo)準(zhǔn)由邊向點(diǎn)的思維的轉(zhuǎn)化（頂角頂點(diǎn)又可以以等邊形式呈現(xiàn)），易于理解，再用圓來確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定等腰三角形。這種方法我們可以稱為分類討論、以圓定“形”法。

二、在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中的等腰三角形

例2 （2016·江蘇宿遷）如圖2，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為。

【解析】我們可以采用分類討論、以圓定“形”法。①當(dāng)BP=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫⊙B，⊙B與直線AD的公共點(diǎn)即為點(diǎn)P。當(dāng)直線AD與⊙B相交時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)P;當(dāng)直線AD與⊙B相切時(shí)，有且只有1個(gè)點(diǎn)P;當(dāng)直線AD與⊙B相離時(shí)，不存在點(diǎn)P。②當(dāng)CP=CB時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫⊙C。直線AD與⊙B、⊙C同時(shí)具有相同的位置關(guān)系，故點(diǎn)P的存在性也相同。③當(dāng)PB=PC時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即在過⊙B與⊙C的兩交點(diǎn)的直線上，BC的垂直平分線與直線AD有且只有1個(gè)點(diǎn)P。所以當(dāng)兩圓與直線AD相交時(shí)，若交點(diǎn)不與線段AD中點(diǎn)重合，則有5個(gè)點(diǎn)P;若其中一個(gè)交點(diǎn)與線段AD中點(diǎn)重合，則有3個(gè)點(diǎn)P;當(dāng)兩圓與直線AD相切時(shí)，有且只有3個(gè)點(diǎn)P;當(dāng)兩圓與直線AD相離時(shí)，有且只有1個(gè)點(diǎn)P。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，AD=4，所以BC=AD=4，∠BAD=90°。所以當(dāng)AB=BC=4時(shí)，兩圓與直線相切，如圖3所示，此時(shí)滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè);當(dāng)AB=[23]時(shí)，滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)。當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，△PBC為等邊三角形，如圖4。所以AB的長(zhǎng)為4或[23]。

【總結(jié)】雖然本題告訴我們滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，但是等腰△PBC的腰或底依舊沒有確定，所以仍需先分類討論，再以圓定“形”。只不過這里的圓心到點(diǎn)P所在直線AD的距離是變化的，所以點(diǎn)P存在的情況是和直線與圓的位置關(guān)系相對(duì)應(yīng)的，要特別重視圓弧過線段AD中點(diǎn)時(shí)的情形。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)保安中心學(xué)校）