基于隨機(jī)場(chǎng)理論的純黏土地基極限承載力分析

趙少飛，胡欣宇，邢明源, 鮑俊文

(華北科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

地基極限承載力確定，自1921年P(guān)randtl給出了純黏土地基的極限承載力以來(lái)，一直受到巖土學(xué)者們的關(guān)注。趙少飛等[1]利用顯式有限差分程序FLAC2D對(duì)非均質(zhì)地基承載力進(jìn)行了數(shù)值分析，表明Skempton與Peck等建議的近似計(jì)算公式對(duì)條形基礎(chǔ)下非均質(zhì)地基的承載力產(chǎn)生了過(guò)高的估計(jì)[2，3]。在土的特性隨機(jī)變化地基中，Li等[4]分析了不同埋深時(shí)地基承載力變化規(guī)律，表明土的參數(shù)空間變異性對(duì)地基承載力影響顯著。

由于土是自然界產(chǎn)物，具有空間變異性。在天然條件下，土的物理和力學(xué)特性往往隨空間位置而變化，相應(yīng)的地基極限承載力具有隨機(jī)性。為了更客觀地確定地基承載力隨土的參數(shù)隨機(jī)變化特性，需要根據(jù)隨機(jī)場(chǎng)理論，建立描述土參數(shù)空間變異性的地基隨機(jī)場(chǎng)模型，分析相應(yīng)的地基承載力特性。Vanmarcke[5]最先在巖土工程中引入隨機(jī)場(chǎng)理論，較準(zhǔn)確地反映土的實(shí)際特征。薛亞?wèn)|等[6]利用隨機(jī)場(chǎng)局部平均理論，采用強(qiáng)度折減法分析邊坡的可靠性，結(jié)果表明若忽略土的隨機(jī)特性，結(jié)果會(huì)有不同程度的偏差。Huang等[7]根據(jù)土的彈性模量空間變異性對(duì)隧道襯砌的變形進(jìn)行可靠度分析。劉伯成等[8]利用隨機(jī)場(chǎng)理論研究隧道開挖對(duì)建筑物的影響，為了保證建筑結(jié)構(gòu)的安全性需要考慮土的空間變異性。王占盛等[9]利用改進(jìn)的矩陣分解法對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行反演，其結(jié)果表明改進(jìn)的矩陣分解法對(duì)處理各向異性問(wèn)題更加適用。孟建宇等基于隨機(jī)場(chǎng)理論得出土體彈性模量空間變異性對(duì)沉降槽寬度、最大沉降值和最大沉降位置有重要影響。

自相關(guān)距離是反映土參數(shù)空間變異性的一個(gè)重要參數(shù)，其大小受土層的沉積年代、物質(zhì)組成、地質(zhì)環(huán)境等因素影響[11]。祁小輝等[12]分析了不排水抗剪強(qiáng)度的自相關(guān)距離對(duì)地基承載力的影響，計(jì)算結(jié)果表明承載力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨自相關(guān)距離增大而增大，隨后學(xué)者比較了豎直和水平自相關(guān)距離對(duì)邊坡工程的穩(wěn)定性[13]和樁基承載力可靠度[14]的影響，表明豎直自相關(guān)距離的影響更加顯著。劉雪瑩等[15]基于Karhunen-Loève (K-L)展開法對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行離散，得到隨機(jī)場(chǎng)的離散誤差隨離散區(qū)域增加或自相關(guān)距離減小而增加。Griffiths和Vessia等分別給出自相關(guān)距離在0.5×2B(B：基礎(chǔ)寬度)和0.3～0.5B范圍內(nèi)，存在最不利工況，但并沒(méi)有指明自相關(guān)距離的具體值[16，17]。Zhu等[18]采用隨機(jī)有限元法對(duì)不排水邊坡的可靠性進(jìn)行了研究。重點(diǎn)研究最壞情況下的空間相關(guān)長(zhǎng)度，即邊坡破壞概率達(dá)到最大的相關(guān)長(zhǎng)度。結(jié)果表明，當(dāng)平均安全系數(shù)較低或變異系數(shù)較高時(shí)，最不利情況現(xiàn)象最為明顯。

本文在FLAC2D程序中通過(guò)編程建立土的黏聚力的隨機(jī)場(chǎng)模型，分析黏聚力空間變異性對(duì)地基極限承載力影響，并與確定性數(shù)值解及解析解進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而探討自相關(guān)距離所對(duì)應(yīng)最不利工況。

1 黏聚力隨機(jī)場(chǎng)地基模型

利用有限差分軟件FLAC2D建立地基模型，取尺寸為20 m×10 m，條形基礎(chǔ)寬度B為6m的二維地基模型的右半部分，即建立10m×10m(長(zhǎng)×高)數(shù)值模型。在模型上方施加B為3 m的條形基礎(chǔ)以更精確模擬地基模型，模型材料基本參數(shù)選自文獻(xiàn)[15]，見表1。

表1 模型中材料參數(shù)

在隨機(jī)場(chǎng)地基模型中，隨機(jī)土的參數(shù)僅考慮黏聚力一個(gè)隨機(jī)變量，其他參數(shù)均為常量。將數(shù)值模型劃分成n個(gè)單元格，遵循上述四個(gè)步驟生成n個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)黏聚力值，并將生成的隨機(jī)黏聚力賦值到FLAC2D軟件所建立的地基模型中，邊界條件及模型如圖1所示。

圖1 計(jì)算模型

在巖土隨機(jī)場(chǎng)離散中，協(xié)方差矩陣分解法[19]容易實(shí)現(xiàn)，而且精度可以保證。這一方法被應(yīng)用于隧道工程中[20-21]，本文應(yīng)用于地基黏聚力隨機(jī)場(chǎng)離散。并且選擇比較簡(jiǎn)單的Markov相關(guān)函數(shù)[22]，生成n個(gè)黏聚力的隨機(jī)參數(shù)。具體步驟如下：

(1) 地基模型單元剖分后，計(jì)算任意兩個(gè)單元中心點(diǎn)距離τ，利用Markov自相關(guān)函數(shù)計(jì)算所有單元中心點(diǎn)之間的自相關(guān)函數(shù)ρ(τ)：

(1)

式中，τ為隨機(jī)場(chǎng)中任意兩單元中心點(diǎn)的距離；θ為自相關(guān)距離。

(2) 根據(jù)上一步計(jì)算的單元間自相關(guān)函數(shù)值，構(gòu)成協(xié)方差矩陣C，其維數(shù)為單元數(shù)量n的對(duì)稱方陣。隨后對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解，得到一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣：

C=LU=LLT

(2)

式中，U和L分別為上三角矩陣和下三角矩陣；LT矩陣L的轉(zhuǎn)置。

(3) 產(chǎn)生n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)向量Y。進(jìn)而生成一個(gè)n維的隨機(jī)向量Z：

Z=LY

(3)

(4) 由隨機(jī)向量Z和黏聚力的均值和方差，得到各單元的黏聚力為：

(4)

式中，σ和μ分別為服從正態(tài)分布的黏聚力的均方差和均值。

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

2.1 自相關(guān)距離對(duì)地基承載力的影響

對(duì)于純黏土地基上無(wú)埋深的條形基礎(chǔ)，經(jīng)典地基極限承載力解析解為cNc，其中承載力系數(shù)Nc為(2+π)。統(tǒng)計(jì)資料表明，土的黏聚力等參數(shù)自相關(guān)距離在0.1～3.0 m變化[23-24]。本文自相關(guān)距離θ取1.00 m、1.25 m、1.50 m、2.00 m和2.50 m共五種情況，對(duì)每一種自相關(guān)距離，分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算確定地基極限承載力系數(shù)，分析自相關(guān)距離對(duì)地基極限承載力的影響。

隨著自相關(guān)距離的變化，承載力系數(shù)見表2。在相同自相關(guān)距離條件下，承載力系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化。承載力系數(shù)并不都隨著自相關(guān)距離的增大而增大，當(dāng)自相關(guān)距離θ取2.00 m時(shí)，反而更接近解析解，如圖2所示。

表2 自相關(guān)距離對(duì)地基承載力系數(shù)Nc影響

2.2 黏聚力隨機(jī)場(chǎng)對(duì)地基承載力的影響

根據(jù)表1分別建立隨機(jī)場(chǎng)地基模型和均質(zhì)土地基模型并且施加同等寬度的條形基礎(chǔ)并進(jìn)行數(shù)值模擬，地基承載力系數(shù)隨沉降量的增大而增大，最后達(dá)到極限狀態(tài)，如圖2所示。隨機(jī)場(chǎng)地基模型的地基承載力系數(shù)分布在確定性數(shù)值解附近和解析解附近，這一結(jié)論與Griffiths等[25]的結(jié)論一致。

圖2 不同土質(zhì)條件下的地基承載力系數(shù)

由于每次模擬抽取的c值不同，即在同一自相關(guān)距離下，建立不同的隨機(jī)場(chǎng)，得到地基承載力系數(shù)與自相關(guān)距離的關(guān)系，如圖3。地基承載力系數(shù)隨自相關(guān)距離的增大成非線性波動(dòng)，且在同一自相關(guān)距離的條件下產(chǎn)生一定的波動(dòng)范圍。

從圖3中看出，當(dāng)自相關(guān)距離θ=2.00 m時(shí)，即自相關(guān)距離與基礎(chǔ)寬度之比為0.33時(shí)，承載力系數(shù)均值低于其它自相關(guān)距離條件下的承載力系數(shù)均值，而且更加分散，同時(shí)在Vessia所提出的最不利工況范圍內(nèi)[26]，因此可看作最不利工況所對(duì)應(yīng)的自相關(guān)距離。

圖3 不同自相關(guān)距離下的承載力系數(shù)

3 結(jié)論

(1) 將隨機(jī)場(chǎng)地基與均質(zhì)土地基和解析解進(jìn)行比較，得出隨機(jī)場(chǎng)條件下的地基承載力系數(shù)在確定性數(shù)值解和解析解附近波動(dòng)。

(2) 在自相關(guān)距離取值范圍內(nèi)，地基承載力系數(shù)會(huì)隨自相關(guān)距離的增大成非線性波動(dòng)，且承載力系數(shù)有一定的分散范圍。當(dāng)自相關(guān)距離與基礎(chǔ)寬度比為0.33時(shí)，純黏土地基上條形基礎(chǔ)作用下極限承載力存在最不利工況，但一般黏性土(c≠0,φ≠0)的最不利工況還需深入研究。

(3) 通過(guò)計(jì)算分析得知，在做相關(guān)承載力研究時(shí)需要引入隨機(jī)場(chǎng)，使模擬條件更接近土的實(shí)際分布條件，以提高結(jié)果的準(zhǔn)確性。