基于Pareto多目標(biāo)優(yōu)化的高速鐵路列車節(jié)能駕駛曲線集生成

張惠茹，賈利民，王 莉

(1.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044； 2.北京交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院，北京 100044；3.北京市城市交通信息智能感知與服務(wù)工程技術(shù)研究中心，北京 100044; 4.城市軌道交通系統(tǒng)安全與運維保障國家工程實驗室，廣東 廣州 510330)

隨著鐵路運營里程的不斷增長和運行速度的不斷提升，鐵路領(lǐng)域的可持續(xù)發(fā)展受到越來越多的關(guān)注，而節(jié)能駕駛是目前最直接的有效舉措。實際的列車操縱是一個能耗與時間相博弈的過程，即多目標(biāo)優(yōu)化問題。目前國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在列車節(jié)能駕駛模式和多目標(biāo)優(yōu)化等方面做了積極的探索。

文獻[1]最早研究了列車節(jié)能駕駛策略，并利用Pontryagin最大原則求解限速條件下的最優(yōu)控制問題；文獻[2]進一步推導(dǎo)出地鐵系統(tǒng)的最優(yōu)控制序列，不含勻速階段；文獻[3]利用Hamiltonian函數(shù)推導(dǎo)出勻速運行以及惰行點是列車節(jié)能的關(guān)鍵。以上文獻所述為擁有嚴(yán)謹(jǐn)理論推導(dǎo)的第一類方法，但需對列車、線路等條件進行簡化，而如果考慮實際運行環(huán)境引入復(fù)雜的非線性方程或約束，則問題的簡化會很困難。文獻[4]將基本的列車模型改寫為以動能和時間為狀態(tài)量的連續(xù)空間模型，并運用分段仿射近似為混合整數(shù)規(guī)劃求解。這種方法為第二類算法，即將原始問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化問題然后直接求解，但是該類方法建立在大量的假設(shè)基礎(chǔ)上，且對模型精度要求高。文獻[5]提出一種通過仿真分配列車富余時間以達到節(jié)能控制的方法；文獻[6]設(shè)計了一種基于啟發(fā)式遺傳算法的列車牽引運行算法。這兩種方法為結(jié)合仿真或進化算法的第三類方法，得益于計算機技術(shù)的發(fā)展，列車、線路、牽引模式等復(fù)雜的現(xiàn)實條件可以很容易地加入到模型中，從而得到更加符合實際情況的有效的駕駛模式。

對于所得的駕駛策略，除了賦予目標(biāo)不同權(quán)重得到一個最優(yōu)解[5]，也可將列車節(jié)能駕駛抽象為多目標(biāo)優(yōu)化問題獲得一組解，而后者為鐵路管理者提供了可行的備選方案?；诘罔F列車自動駕駛系統(tǒng)提供的加速度、減速度、勻速度以及惰行速度的范圍，文獻[7]提出了一種多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，并基于仿真得到了Pareto前沿。文獻[8]設(shè)計一種多目標(biāo)混合整數(shù)精英遺傳算法，在離散化軌道線路的基礎(chǔ)上，獲得了地鐵系統(tǒng)能耗與時間的Pareto曲線。文獻[9]針對高速鐵路系統(tǒng)的節(jié)能駕駛問題，設(shè)計了一種結(jié)合仿真的多目標(biāo)求解算法，但利用平均等效坡度對線路條件進行了較大程度的簡化

綜上，既有研究多以地鐵為研究對象，操縱策略較為簡單，且很少考慮實際的復(fù)雜線路條件；部分涉及高速鐵路的研究中，也往往將復(fù)雜的模型參數(shù)進行簡化處理，以便快速求得單一的列車運行操縱策略。本文在考慮高速鐵路實際線路條件基礎(chǔ)上，重點面向列車運行環(huán)境復(fù)雜多樣、易受不同程度的擾動，從而偏離基本計劃的現(xiàn)實問題，建立以能耗、時間為目標(biāo)，以列車受力、區(qū)間限速等為約束的多目標(biāo)列車操縱優(yōu)化模型，同時設(shè)計復(fù)雜線路條件簡化方法以及改進NSGA-Ⅱ算法，并結(jié)合變步長仿真，實現(xiàn)多目標(biāo)節(jié)能駕駛曲線集的生成。該研究結(jié)果可針對不同運行條件提供豐富的列車節(jié)能操縱策略。

1 問題描述

高速鐵路相鄰站間線路距離長，且線型條件復(fù)雜，包括頻繁變化的坡度、曲線、線路限速等。在進行牽引計算時，可以根據(jù)線路條件劃分計算區(qū)段，即一個計算區(qū)段內(nèi)線路條件相同。本文采用最大加速度加速、無制動調(diào)速，以及停車前最大減速度制動三種節(jié)能策略[10]。其中，在加速階段使用最大加速度、制動階段使用最大減速度已經(jīng)被證明是有效的節(jié)能策略[1]?？紤]到制動過程將造成能耗浪費，節(jié)能駕駛策略應(yīng)盡量避免非必要的制動，因此采用無制動調(diào)速，即在非停車計算區(qū)段，列車采用牽引或惰行工況調(diào)節(jié)速度的策略。

如圖1所示，根據(jù)坡度、曲線和限速條件，線路分為4個計算區(qū)段(Seg1—Seg4)，由相鄰計算區(qū)段的速度連續(xù)關(guān)系，即可得到整個區(qū)間的速度-距離曲線，而列車節(jié)能的關(guān)鍵在于不同計算區(qū)段內(nèi)駕駛策略的選擇。

圖1 一種節(jié)能駕駛的速度-距離曲線示意

2 模型建立

基于列車運行特性及本文所采用的節(jié)能策略，在滿足受力、速度、距離等約束條件下，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。

2.1 假設(shè)與變量

為方便描述問題，作以下假設(shè)：

(1)列車為有質(zhì)量的質(zhì)點，非勻速運動時需考慮牽引回轉(zhuǎn)系數(shù)。

(2)車站抽象為節(jié)點，區(qū)間線路抽象為弧。

(3)列車可以輸出當(dāng)前速度下不大于最大牽引力的任意大小的牽引力。

文中主要參數(shù)定義及變量說明見表1。

表1 主要參數(shù)定義及變量說明

2.2 模型及約束條件

目標(biāo)函數(shù)為能耗和時間總體最優(yōu)，即

minf(X)=(fe(X),ft(X))

(1)

式中：f(X)為總的優(yōu)化目標(biāo)；fe(X)為列車消耗的能量；ft(X)為運行所需的時間(X的求解方法將在下一節(jié)展開)。這里以s為自變量建立模型。其中，

(2)

受到以下條件約束：

(3)

Fr=μ+κ·v+γ·v2

(4)

Fg≈M·g·θ

(5)

(6)

式中：μ,κ和γ為戴維斯公式中的相關(guān)參數(shù)；g為重力加速度；θ為線路坡度；A為一個經(jīng)驗常數(shù)；R為線路的半徑；Ltrain和Lline分別為列車和曲線的長度。

約束式(3)～式(6)為列車運行過程中的受力約束。

(7)

(8)

3 模型求解

考慮到實際線路距離長且線型條件變化頻繁，直接劃分的計算區(qū)段數(shù)目太多將消耗較大的計算資源，因此提出一種計算區(qū)段簡化方法。同時針對基本NSGA-Ⅱ算法收斂速度慢、解分布不夠均勻的問題，設(shè)計一種以計算區(qū)段目標(biāo)速度為自變量的改進NSGA-Ⅱ算法，并基于變步長仿真獲得解所對應(yīng)的能耗與時間值。

3.1 計算區(qū)段簡化

由式(4)～式(6)可知，隨著列車速度的增加，F(xiàn)r成為影響運行的主要阻力，因此本文僅對列車速度較大的計算區(qū)段進行簡化。

(3)加算坡度。針對{p,…,k,…,q}，根據(jù)TB/T 1407—1998《列車牽引計算規(guī)程》[11]，將曲線附加阻力換算為折算坡度ic，合并相近坡度得化簡坡度ig，則加算坡度iall=ic+ig。

(4)根據(jù)iall重新劃分計算區(qū)段。從計算區(qū)段p開始，把相同iall的線路劃分為一個計算區(qū)段，iall值發(fā)生改變，則進入下一個計算區(qū)段，依此類推，直到計算區(qū)段q停止。

3.2 操縱策略與仿真

(3)如果與制動曲線相交，則根據(jù)制動曲線操縱。

為了加快仿真速度，采用100、10、1 m變步長仿真。計算距離數(shù)組tag，如果區(qū)間距離為12 345 m，則tag=[123,4,5]。

Step1初始化：令步長ds=100，累計距離l=0，索引i=0，(s,t,E)=(0, 0, 0)；輸入速度v，距離數(shù)組tag。

Step2Do:

Fori=0 to 2

Do Whiles

s=s+ds

v1=(v2+ 2 ·a·ds)0.5

t=t+ (v1-v) /a

v=v1

E=E+Ff·ds

EndIf

tag[i+1]=10

s=s-ds

break

EndIf

break

EndIf

EndWhile

ds=ds/10

l=s

EndFor

Step3Ifl

Step4以速度v運行剩下的距離，轉(zhuǎn)Step 5。

Step5輸出(v,s,t,E)

其中，F(xiàn)all為附加阻力。

對于惰行過程

a=-(Fr+Fall)/(1+ρ)·M

(9)

制動過程

a=-(Fb+Fr+Fall)/(1+ρ)·M

(10)

由此即可獲得X操縱策略下列車消耗的能量與時間值。

3.3 改進NSGA-Ⅱ算法

將差分進化算法作為交叉算子，同時設(shè)計一種三點擁擠距離算子，通過改進NSGA-Ⅱ算法迭代獲得能耗-時間Pareto最優(yōu)的X集合。

(11)

式中：β是控制參數(shù)。

判斷解的優(yōu)劣包括兩步：①通過非支配排序計算支配等級，等級越低越優(yōu)；②同等級，則計算擁擠距離為D。

(12)

4 算例研究

以京滬線北京南—廊坊、廊坊—天津南2個區(qū)間進行算例研究。線路、車輛等相關(guān)數(shù)據(jù)由項目調(diào)研得到。同時，根據(jù)現(xiàn)場經(jīng)驗，在計算牽引力時，乘一個牽引力使用系數(shù)，見表2。使用Python工具，在64位Windows操作系統(tǒng)上實現(xiàn)高速鐵路列車節(jié)能駕駛曲線集的生成。

表2 相關(guān)參數(shù)與值

4.1 線路簡化有效性證明

通過化簡，北京南—廊坊段計算區(qū)段從88個(見圖2(a))減少為33個(見圖2(b))，僅占原區(qū)段數(shù)目的37.5%。其中簡化后最長計算區(qū)段5.10 km，最短0.85 km，平均1.79 km。需要說明的是，因為部分曲線值遠大于限速與坡度值，圖2(a)中曲線值除以200以便顯示。

圖2 簡化前后線路條件對比

最短時間條件下簡化前后的駕駛曲線對比見圖3。簡化前采用1 m的步長精確仿真，可以看出，2條曲線基本重合。在20 km附近，簡化后藍色實線略滯后于紅色實線，是因為相近的線路被合并，而限速取其中較小的值，所以藍色線保持270 km/h限速運行一段距離，才被允許加速。簡化前能耗9.29×109J，簡化后為9.28×109J，誤差僅占簡化前的0.07%。簡化前計算時間為23.32 s，簡化后時間為1.52 s，計算速度約為原計算方式的15倍。

圖3 簡化前后最短時間條件下速度-距離曲線

在最短時間條件下運行時，列車能耗最高，但是可以最快地彌補延誤。下面選擇一種時間較為充足，列車可以采用惰行操縱的情況，進一步對比簡化前后仿真的結(jié)果。

簡化前后T=1 220 S條件下速度-距離曲線見圖4。由圖4可見，2條曲線整體趨勢基本相同，在10～20 km范圍偏差較明顯，這是因為簡化前后的線型條件對應(yīng)了不同的最優(yōu)操縱策略。簡化前后能耗分別為4.17×109、4.18×109J，相對誤差為0.09%；計算時間分別為15.06、1.36 s，計算速度是原計算方式的11倍。

圖4 簡化前后T=1 220 s條件下速度-距離曲線

通過兩種時間條件下仿真結(jié)果的對比可知，簡化后能耗誤差較小，而計算效率大大提升，說明了簡化方法的有效性。下面的計算都將在簡化線路的基礎(chǔ)上進行。

4.2 單區(qū)間Pareto曲線

分別用基本NSGA-Ⅱ算法和改進NSGA-Ⅱ算法，計算北京南-廊坊段的Pareto曲線，見圖5。圖5(a)為基本NSGA-Ⅱ算法所得的不同迭代次數(shù)條件下的能耗-時間Pareto曲線，其中第30代到50代產(chǎn)生了較多重復(fù)的解，第50代仍未完全收斂且解的分布非常不均勻。圖5(b)為改進NSGA-Ⅱ算法的Pareto曲線，從第30代開始，基本趨勢已經(jīng)比較明顯，至第50代新生成的解仍在趨勢內(nèi)，因此，我們認為此時已完全收斂。相比傳統(tǒng)算法，改進NSGA-Ⅱ的收斂速度更快、解的分布更均勻。

圖5 兩種方法不同迭代次數(shù)的Pareto曲線

為了進一步分析能耗-時間的數(shù)值關(guān)系，利用matlab中的fit函數(shù)擬合所獲得的Pareto曲線。Pareto曲線擬合見圖6。

圖6 Pareto曲線擬合

綜合比較，六階擬合效果最佳，曲線擬合方程為

f1=p1·x6+p2·x5+p3·x4+p4·x3+

p5·x2+p6·x+p7

(13)

式中：p1、p2、p3、p4、p5、p6、p7為系數(shù)。

曲線擬合方程系數(shù)見表3。

表3 北京南—廊坊段曲線擬合方程系數(shù)

同理，獲得廊坊—天津南段的Pareto曲線，五階擬合效果最佳，曲線擬合方程為

f2=p1·x5+p2·x4+p3·x3+

p4·x2+p5·x+p6

(14)

曲線擬合方程系數(shù)見表4。

表4 廊坊—天津南段曲線擬合方程系數(shù)

4.3 多區(qū)間擾動情況下節(jié)能駕駛

假設(shè)列車從北京南站始發(fā)，經(jīng)停廊坊站，終到天津南站。北京南—廊坊段最小運行時間、計劃運行時間、最大運行時間分別為16、21、24 min；廊坊—天津南段分別為15、18、24 min。假設(shè)列車因擾動始發(fā)晚點5 min。現(xiàn)采用兩種策略：①在北京南—廊坊段以最高速度彌補晚點；②保證終到時間不變，利用Pareto曲線尋找可替代節(jié)能策略。兩種策略條件下的速度-距離曲線見圖7。

圖7 兩種策略條件下的速度-距離曲線

策略1：該策略條件下總能耗為1.78×1010J，總運行時間為34 min。因未獲得列車在實際運行條件下的速度-距離曲線，故廊坊—天津南段采用本文提出的對應(yīng)時間條件下的最優(yōu)駕駛曲線。

策略2：根據(jù)獲得的能耗-時間擬合方程，建立數(shù)學(xué)模型為

minz=f1(x1)+f2(x2)

s.t.x1+x2=34 16≤x1≤24 15≤x2≤24

(15)

通過求解獲得，當(dāng)x1=1 013 s，x2=1 027 s時，線路總能耗為1.66×1010J。

對比兩種策略可得：①策略2比策略1節(jié)能7.1%；②策略2中列車在2個區(qū)間速度分布更加均衡；③兩種策略總的運行時間相同，且到達終到站時間均無延誤。

5 結(jié)論

針對高速鐵路線路距離長、線型條件變化頻繁，以及列車運行易受擾動偏離基本計劃的特點，本文提出了一種高速鐵路列車節(jié)能駕駛曲線集生成方法，通過簡化復(fù)雜線路條件，在保證結(jié)果準(zhǔn)確性的同時提高了計算速度；設(shè)計了一種多目標(biāo)求解算法，基于變步長仿真獲得解所對應(yīng)的目標(biāo)值；生成一組能耗-時間平衡的Pareto解集，既可以面向常規(guī)條件下的列車節(jié)能操縱的優(yōu)化，也可以處理特殊條件下的列車節(jié)能調(diào)度。通過以上工作得出以下結(jié)論：

(1)本文采用的簡化頻繁變化線路條件的方法，計算區(qū)段縮減為原來的37.5%。

(2)以各計算區(qū)段目標(biāo)速度為決策變量，運用變步長仿真法，實例顯示，誤差僅占簡化前逐步精確仿真的0.07%～0.09%，而計算速度是原計算方式的11～15倍。

(3)本文提出的結(jié)合差分進化算法和新?lián)頂D距離算子的改進NSGA-Ⅱ算法，收斂速度更快，且解的分布性更好，實例中在第30代收斂趨勢明顯，第50代已完全收斂。

(4)通過fit函數(shù)獲得不同區(qū)間Pareto前沿的擬合曲線，在擾動發(fā)生條件下，較最高速度彌補晚點節(jié)能7.1%，為鐵路管理者提供了不同運行條件下的節(jié)能備選方案，也為節(jié)能時刻表的優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。