涉及導(dǎo)數(shù)分擔(dān)小函數(shù)的亞純函數(shù)的唯一性

胡 嵐,符方健,李 倩

(1.四川財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院 通識與人文教育學(xué)院,成都 610000;2.瓊臺師范學(xué)院 理學(xué)院,?？?571127)

0 引言

本研究使用值分布論的基礎(chǔ)知識及Nevanlinna常用理論的標(biāo)準(zhǔn)符號[1-2],其中:對于復(fù)平面上的亞純函數(shù)f(z),其涉及到的符號S(r,f)表示任意滿足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→∞)的量,可能除去r的一個(gè)線性測度有限集合,且它每次出現(xiàn)并不一定相同。如果亞純函數(shù)a(z)滿足等式T(r,a)=S(r,f),那么稱a(z)為f(z)的一個(gè)小函數(shù)。設(shè)f(z)與g(z)為復(fù)平面上的兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),小函數(shù)a(z)稱為亞純函數(shù)f(z)與g(z)的CM(或IM)公共小函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)在計(jì)重?cái)?shù)(或不計(jì)重?cái)?shù))的情況下,f(z)-a(z)與g(z)-a(z)具有公共的零點(diǎn)。

用Ek(a,f)表示f(z)-a(z)的k(∈+正整數(shù)集)重零點(diǎn)(重級零點(diǎn)按其重?cái)?shù)計(jì)算)的集合,Ek)(a,f)表示f(z)-a(z)的m(≤k)重零點(diǎn)的集合,即Ek)(a,f)=∪Em)(a,f)。E(k(a,f)表示f(z)-a(z)的n(≥k)重零點(diǎn)的集合。Ek(a,f)=Ek(a,g)表示f(z)-a(z)的k重零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)它是g(z)-a(z)的k重零點(diǎn)。用

分別表示相應(yīng)集合Ek(a,f),Ek)(a,f)與E(k(a,f)的密指量

其中:

f(z)與g(z)權(quán)分擔(dān)(a,k)表示f(z)-a(z)與g(z)-a(z)具有公共的零點(diǎn),當(dāng)m≤k時(shí),若z*是f(z)-a(z)的m重零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)z*是g(z)-a(z)的m重零點(diǎn);當(dāng)時(shí)m>k,若z*是f(z)-a(z)的m重零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)z*是g(z)-a(z)的n(n>k且n不一定等于m)重零點(diǎn)。因此,f(z)與g(z)的IM或CM的公共小函數(shù),可以表示為f(z)與g(z)的權(quán)分擔(dān)(a,0)或(a,∞)。

定理A[2]2(Nevanlinna第一基本定理) 設(shè)f(z)為區(qū)間|z|

定理B[2]18(對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理)設(shè)f(z)為復(fù)數(shù)域上的非常數(shù)亞純函數(shù),則

本研究主要利用值分布論的基礎(chǔ)知識,將隨機(jī)微分方程作為一種重要的數(shù)學(xué)工具(主要參考了文獻(xiàn)[3-5]),探討導(dǎo)函數(shù)的唯一性定理。

1964年,楊樂研究導(dǎo)函數(shù)的唯一性,得到了如下關(guān)于亞純函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的4CM值定理。

定理C[6]設(shè)f(z)與g(z)為復(fù)平面上兩個(gè)超越亞純函數(shù),k為正整數(shù),aj(j=1,2,3,4)為四個(gè)判別的有窮復(fù)數(shù),若aj(j=1,2,3,4)為f(k)(z)和g(k)(z)的CM公共值,則f(k)=g(k)。

2012年,韓俊峰等人改進(jìn)上面的結(jié)論,通過研究兩個(gè)亞純函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)在涉及截?cái)喾謸?dān)一個(gè)公共值的情況下得到了以下導(dǎo)函數(shù)的唯一性定理。

定理D[7]設(shè)f(z)與g(z)為復(fù)平面上的兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),k∈+,aj(j=1,2,3,4)為四個(gè)判別的有窮復(fù)數(shù),f(k)與g(k)分擔(dān)a1,a2CM；f(k)與g(k)權(quán)分擔(dān)(a3,1),E1(a4,f(k))=E1(a4,g(k))。若是則有f(k)=g(k)。

本研究將定理D中關(guān)于兩個(gè)亞純函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分擔(dān)公共值問題改進(jìn)為分擔(dān)公共小函數(shù)的情況,得到了改進(jìn)的導(dǎo)函數(shù)的唯一性定理。

1 幾個(gè)引理

為了證明主要結(jié)果,需要引入以下引理。

引理1[8]設(shè)f(z)與g(z)為判別的非常數(shù)亞純函數(shù),aj(j=1,2,…，q)為f(z)與g(z)的q個(gè)互相判別的小函數(shù),則對于任意的ε>0,有

其中:r?E,E?R且?Edlog(logr)<∞。

引理2 設(shè)f(z)與g(z)為判別的非常數(shù)亞純函數(shù),aj(j=1,2,3)為f(z)與g(z)三個(gè)互相判別的小函數(shù),如果aj(j=1,2,3)為f(z)與g(z)的IM公共小函數(shù),那么有

S(r,f)=S(r,g)=S(r)。

證明由引理1可知

由此可得引理2。

引理3 設(shè)aj(j=1,2,3,4)為非常數(shù)亞純函數(shù)f(z)與g(z)的四個(gè)判別的IM分擔(dān)小函數(shù),如果f(z)?g(z),那么有

證明由引理1與引理2可知

即T(r,f)≤T(r,g)+S(r)。同理可得T(r,g)≤T(r,f)+S(r)。故有

T(r,f)=T(r,g)+S(r)。

由定理A與上式可知

引理4[9]f(z)為一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),若是aj(j=1,2)為f(z)與g(z)兩個(gè)互相判別的小函數(shù)且

則有

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)f(z)與g(z)為復(fù)平面上的兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),k∈+,aj(j=1,2,3,4),為f(k)與g(k)的四個(gè)判別的公共小函數(shù),f(k)與g(k)分擔(dān)a1,a2CM；f(k)與g(k)權(quán)分擔(dān)(a3,1),E1(a4,f(k))。若有則有f(k)=g(k)。

證明令

則由命題中條件可得:

由引理2可知

S(r,F)=S(r,G)=S(r)。

令

(1)

(2)

因此由式(1)可見,在F(F-1)的零點(diǎn)處,Δ1解析；F的極點(diǎn)處,Δ1解析。故有

N(r,Δ1)=S(r)

，

(3)

從而由定理B可知

m(r,Δ1)=S(r)

，

(4)

由定理A、式(3)和式(4)式可知

T(r,Δ1)=S(r)

。

(5)

類似地,由式(2)可知,Δ2在F(F-1)的零點(diǎn)處解析,在F與G的單重極點(diǎn)處也解析。故有

(6)

由定理B可知

m(r,Δ2)=S(r)

，

(7)

故由定理A、式(6)和式(7)可知

(8)

可以斷言Δ1≡0或Δ2≡0。事實(shí)上,如果假設(shè)有Δ1?0且Δ2?0成立。

注意到:如果z∞為F的p(≥2)重極點(diǎn),且為G的q(≥2)重極點(diǎn),則z∞為Δ1的零點(diǎn)。

當(dāng)Δ1?0時(shí),有

(9)

當(dāng)Δ2?0時(shí),有

(10)

由式(8)和式(10)可知

(11)

由式(9)和式(11)可知

當(dāng)Δ1≡0時(shí),也即

(12)

對式(12)積分可得

當(dāng)Δ2≡0時(shí),也即

(13)

由式(13)可知:∞為F與G的CM分擔(dān)值,a為F與G的IM分擔(dān)值。又因E1(a,F)=E1(a,G),故F與G的權(quán)分擔(dān)為(a,1)。令

(14)

即

(15)

則由引理4可知

m(r,Δ3)=S(r)。

(16)

以下對Δ3分兩種情況進(jìn)行討論。

(I)若Δ3≡0,則

情況1 當(dāng)F≡G時(shí)就有f(k)=g(k)。

情況2 當(dāng)有

(17)

成立時(shí)，由式(13)可知

(18)

由式(17)和式(18)可得

(19)

對式(19)進(jìn)行積分可得

F=AG(其中A為非零常數(shù))。

(II)若Δ3?0，結(jié)合式(18)可知

由0,1,∞為F與G的CM分擔(dān)值,可知0,1,∞為Δ3的解析點(diǎn)。

假設(shè)za為F-a的p重零點(diǎn),且為G-a的q重零點(diǎn),但不是a和a-1的零點(diǎn)和極點(diǎn)。不失一般性,不妨設(shè)p≤q,由式(14)可知:za為Δ3的右端第一個(gè)分式中分子的至少p+q-1重零點(diǎn),為Δ3的右端第一個(gè)分式中分母的q重零點(diǎn),為Δ3的右端第二個(gè)分式中分子的至少2p-1重零點(diǎn),為Δ3的右端第二個(gè)分式中分母的p重零點(diǎn)。從而可知za為Δ3的至少p-1(≥0)重零點(diǎn),故za不是Δ3的極點(diǎn)。

綜合以上分析可得

N(r,Δ3)=S(r)。

(20)

由定理A、式(16)和式(20)可知

T(r,Δ3)=S(r)。

(21)

由F與G權(quán)分擔(dān)(a,1)及式(15)可知:F-a的p(≥2)重零點(diǎn),G-a的q(≥2)重零點(diǎn)均是Δ3的零點(diǎn)。由式(21)可知

(22)

(23)

即可得到a為F與G的CM公共小函數(shù)。

設(shè)Z0為F的m(≥2)重極點(diǎn)或F(F-1)的n(≥2)重零點(diǎn),則z0為Δ3的零點(diǎn)。由式(21)可知

(24)

(25)

(26)

由引理3可知

(27)

由N1(r,F)=S(r)及式(22)—式(27)可知

(28)

(29)

(30)

令

因1與∞為F與G的CM公共值,故在F-1的零點(diǎn)處,α解析；在F的極點(diǎn)處,α解析。故有

(31)

由引理1可知

(32)

(33)

由式(32)和式(33)可知

由上式可知

(34)

再由式(30)、式(31)和式(34)可知

N(r,a)=S(r)，

(35)

由此及定理B可知

m(r,α)=S(r)，

(36)

因此,由定理A、式(35)和式(36)可知

T(r,α)=S(r)。

(37)

若α?0,設(shè)z1為F-1的1重零點(diǎn),且為G-1的1重零點(diǎn)。則z1為α的零點(diǎn)。故由式(37)可知

(38)

若α≡0,則

對上式進(jìn)行兩次積分可得

(39)

又因0,a為F與G的CM分擔(dān),故A=1且B=1。由式(39)可知F=G,即f(k)=g(k)。

(40)

(41)

因0,1,∞,a均為F與G的CM分擔(dān),故

N(r,H1)=S(r),N(r,H2)=S(r),

(42)

由定理B可知

m(r,H1)=S(r),m(r,H2)=S(r)。

(43)

由定理A、式(42)和式(43)可知

T(r,H1)=S(r),T(r,H2)=S(r)。

(44)

若H1?0,令z1為F-1的1重零點(diǎn),且為G-1的1重零點(diǎn),則H1(z1)=0。故z1為H1的零點(diǎn)。因此有

若H2?0,令z0為F的1重零點(diǎn),且為G的1重零點(diǎn),則H2(z0)=0。故z0為H2的零點(diǎn)。這時(shí)也有

若H1≡0且H2≡0,由式(40)和式(41)可知

(45)

由式(13)和式(45)可得

a(1-a)(F-G)≡0。

(46)

又由于a≠0,1,故由式(46)可知F=G,即f(k)=g(k)。