一類分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程解的存在性與爆破性

鄧啟剛,石 鵬,曾福庚

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽 550025)

0 引言

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程相關(guān)問題的研究廣泛來源于物理、化學(xué)、生物、氣象、工程、地質(zhì)等實(shí)際問題，近年來引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-3]。本研究考慮如下分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程

(1)

其中：Bε(x)表示一個(gè)在N上以x為圓心、ε為半徑的球;[u]s,p是Gagliarodo半范數(shù),滿足

文獻(xiàn)[4]研究了一類基爾霍夫型非線性拋物方程解的存在性和爆破性,文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別研究了一個(gè)帶非局部積分-微分算子和帶基爾霍夫擴(kuò)散項(xiàng)的解的局部存在性、全局存在性和爆破性。文獻(xiàn)[7]研究了一類帶對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯基爾霍夫方程的解的全局存在性和有限時(shí)間爆破性。在此基礎(chǔ)上,本研究結(jié)合變分法理論討論了上述式(1)在低初始能量J(u0)

1預(yù)備知識(shí)

首先定義能量泛函J(u)和Nehari泛函I(u)如下

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可知

(4)

然后定義位勢井W和相應(yīng)的集合V[8]如下

下面給出以下引理。

(ⅲ)J(λu)在0≤λ≤λ*時(shí)單調(diào)遞增,在λ*≤λ≤∞時(shí)單調(diào)遞減,λ=λ*在處取到最大值；

(ⅳ)當(dāng)0≤λ≤λ*時(shí),I(λu)>0;當(dāng)λ*≤λ≤∞時(shí),I(λu)<0;在λ=λ*時(shí)，有I(λ*u)=0。

(ⅱ)由于

h′(λ)=-(q-θp)λq-θp-1?Ω|u|qln|u|dx-(q-θp)λq-θp-1lnλ?Ω|u|qdx-λq-θp-1?Ω|u|qdx=

λq-θp-1-((q-θp)?Ω|u|qln|u|dx-(q-θp)lnλ?Ω|u|qdx-?Ω|u|qdx)。

假設(shè)存在一個(gè)λ1使得h′(λ1)=0,則

(ⅳ)因?yàn)?/p>

(ⅰ)若0<[u]s,p0,J(u)>0;

(ⅱ)若I(u)≤0,則[u]s,p≥r(σ)。

證明由I(u)的定義有

證明對(duì)于u∈,有以及I(u)=0,由d的定義和引理4的結(jié)論(ⅱ),有[u]s,p≥r(σ),由于

下面給出弱解、最大存在時(shí)間、有限時(shí)間爆破的定義,并給出與之相關(guān)的一些引理。

(ⅲ)對(duì)于0≤t≤T,有

(5)

定義2 (最大存在時(shí)間) 設(shè)u(t)是式(1)中方程的解,定義u(t)的最大存在時(shí)間如下：

(ⅰ)如果u(t)存在時(shí)間為[0,∞),那么T=+∞；

(ⅱ)如果存在t0∈(0,∞),使得u在0

證明通過弱解的定義有

引理7 若um(t)在(0,∞)×Ω上幾乎處處收斂于u(t),則對(duì)于足夠大m,有

?Ω|um|qln|um|dx-?Ω|u|qln|u|dx≤0。

證明由引理2可得

?Ω|um|qln|um|dx-?Ω|u|qln|u|dx≤

|?Ω|um|qln|um|+uum|um|q-2ln|um|-uum|um|q-2ln|um|-|u|qln|u|dx|=

|?Ω(um-u)um|um|q-2ln|um|+u(um|um|q-2ln|um|-u|u|q-2ln|u|)dx|≤

因此結(jié)論成立。

引理8 若在(0,∞)×Ω中um(t)→u(t)幾乎處處成立,其中有um(t),u(t)∈W,則有

證明由于

因此結(jié)論成立。

2 主要結(jié)果和證明

本文主要討論低初始能量J(u0)

其中：gjm(t)∈1[0,T)(0≤t≤T,j=1,2,…，m),同時(shí)滿足故

?Ω|um|q-2umln|um|wjdx(0≤t≤T)。

對(duì)于j=1,2,…；djm=(um(0),wj)=gim(0)是一個(gè)常數(shù),使得式(1)中方程在L2(Ω)上有意義,且

(7)

則對(duì)于足夠大的m有

下證對(duì)于足夠大的m和t0∈[0,T],有um(x,t)∈W。

假設(shè)um(x,t)?W,則存在一個(gè)足夠大的m和t0∈[0,T],使得有um(x,t)∈?W,有I(um(t0))=0,J(um(t0))=d,因此有um(t0)∈。由于則有J(um(t0))≥d,與J(um(t0))=d矛盾。故當(dāng)m→∞時(shí),t∈[0,T]有um(x,t)∈W。

為了使m足夠大,t∈[0,T],需滿足：

(9)

(10)

(11)

若um(t)∈W,且

?Ω|um(t)|q-2um(t)ln|um(t)|dx≤-?Ω(|um(t)≤1|)|um(t)|q-1ln|um|(t)dx+

?Ω(|um(t)>1|)|um(t)|q-1ln|um|(t)dx≤

則在L∞(0,∞;L1(Ω))中|uv(t)|q-2vv(t)ln(vv(t))→|u|p-2uln|u|,在L2(0,∞;L1(Ω))中|uv(t)|q-2uv(t)ln(uv(t))→|u|p-2uln|u|。

M″(t)=2(u(t),u(t))=-2I(u),

(12)

(13)

(14)

由式(13)、式(14)和施瓦茲不等式,可得

現(xiàn)在討論兩種情形：

(ⅰ)若J(u0)≤0,那么有

(ii)若00,有

由施瓦茲不等式,有