基于Lagrange數(shù)乘法的CFG樁復(fù)合地基優(yōu)化設(shè)計(jì)

宋寶宏

北京市市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司 100082

引言

對(duì)軟弱土層地基進(jìn)行處理是工程中常見(jiàn)的問(wèn)題，通?？刹捎脴痘A(chǔ)或者復(fù)合地基形式，以提高地基承載力。CFG樁是近年來(lái)興起的一種復(fù)合地基處理模式，對(duì)于軟弱土層的處理較為常見(jiàn)，因?yàn)橛兄?jīng)濟(jì)方便的特性，有著較為廣泛的應(yīng)用［1］。

復(fù)合地基的地基承載力由樁間土及樁本身共同作用，CFG樁布樁時(shí)采用樁徑、樁間距、樁長(zhǎng)及褥墊層厚度等不同參數(shù)組合［2］，會(huì)得到不同的設(shè)計(jì)承載力。在工程應(yīng)用中，通常選用常見(jiàn)的布樁參數(shù)，經(jīng)計(jì)算滿足設(shè)計(jì)承載力即可，這樣往往導(dǎo)致沒(méi)有選擇出最佳的設(shè)計(jì)方案，造成材料不必要的浪費(fèi)。在講究安全性的同時(shí)，應(yīng)采用合理的計(jì)算方法或模型，來(lái)得到最佳的設(shè)計(jì)方案，所產(chǎn)生的工程量最小，滿足經(jīng)濟(jì)的要求。

Lagrange數(shù)乘方程在求解復(fù)雜的多元函數(shù)極值時(shí)，有著極為廣泛的應(yīng)用。基于此，本文引入Lagrange數(shù)乘方程，應(yīng)用于CFG復(fù)合地基的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到最佳的布樁設(shè)計(jì)參數(shù)。

1 Lagrange數(shù)乘法

Lagrange數(shù)乘法基本原理是在求解N 個(gè)變量的多元函數(shù)極值時(shí)，通過(guò)引入k 個(gè)變量限定條件，建立N+k 個(gè)聯(lián)立方程組，從而求解方程組極值［3，4］。具體求解過(guò)程如下：

（1）建立需求解的極值目標(biāo)u 與N個(gè)自變量（X1，X2，X3，…，XN）之間的函數(shù)關(guān)系，得到u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）。

（2）確定k個(gè)自變量（X1，X2，X3，…，XN）集合的限定條件，并建立K 個(gè)方程gi（i ＝1，2，…k）（X1，X2，X3，…，XN）＝0。

（3）引入K個(gè)Lagrange系數(shù)λi（i ＝1，2，…，k），建立Lagrange數(shù)乘方程：

（4）再求Lagrange 數(shù)乘方程（1）各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，并建立聯(lián)立方程組：

求解方程組（2）得到的解（X1，X2，…XN）即為目標(biāo)函數(shù)的極值。通過(guò)代入便可得到目標(biāo)函數(shù)u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）的最優(yōu)解［5］。

2 CFG樁復(fù)合地基的Lagrange數(shù)乘法模型

2.1 CFG樁復(fù)合地基影響參數(shù)

CFG樁全稱為水泥粉煤灰碎石樁，樁頂和基礎(chǔ)之間設(shè)置有褥墊層，樁底端選擇壓縮模量和承載力較高的土層作為持力層，以提高復(fù)合地基的承載力，從而滿足設(shè)計(jì)要求。其常見(jiàn)成樁方式有干成孔、長(zhǎng)臂螺旋中心壓灌及振動(dòng)沉管、泥漿護(hù)臂鉆孔以及鋼筋混凝土預(yù)制樁等形式，不同的成樁形式有不同的樁徑適用范圍。在基礎(chǔ)范圍內(nèi)，CFG樁根據(jù)建筑物荷載分布、地基土力學(xué)性質(zhì)以及基礎(chǔ)形狀合理確定布樁參數(shù)。根據(jù)《建筑地基處理技術(shù)規(guī)范》（JGJ 79—2002）［6］及《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50007—2011）［7］可知：

CFG樁單樁豎向承載力標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算公式為：

式中：up為CFG 樁周長(zhǎng)（m）；qsi為CFG 樁長(zhǎng)范圍內(nèi)第i層土的側(cè)阻力特征值（kPa）；hpi為CFG樁長(zhǎng)范圍內(nèi)第i層土厚度（m），樁長(zhǎng)αp為樁端阻力發(fā)揮系數(shù)，按地區(qū)經(jīng)驗(yàn)確定；qp為樁端阻力特征值（kPa）；Ap為樁的截面積（m2）。

復(fù)合地基的承載力標(biāo)準(zhǔn)值為CFG樁豎向承載力標(biāo)準(zhǔn)值及處理后樁間土承載力標(biāo)準(zhǔn)值之和，即：

式中：fspa為復(fù)合地基的承載力標(biāo)準(zhǔn)值；m為面積置換率，與布樁形式相關(guān)，等邊三角形布樁m ＝d2／（1.05s）2，正方形布樁m ＝d2／（1.13s）2，矩形布樁m ＝d2／（1.13s1s2）2，d 為樁直徑，s、s1、s2分別為樁間距、橫向樁間距、縱向樁間距；fsa為處理后樁間土的承載力標(biāo)準(zhǔn)值；α 為單樁承載力發(fā)揮系數(shù)；β為樁間土承載力發(fā)揮系數(shù)。

假設(shè)建筑物在標(biāo)準(zhǔn)組合作用下地基處平均壓力值為Pk，修整后的地基承載力特征值為fa，則當(dāng)pk≤fa時(shí)地基滿足設(shè)計(jì)要求。其中fa＝fspa+γm（H-0.5）。γm為基礎(chǔ)底面以上土的有效重度，H為基礎(chǔ)埋置深度。

根據(jù)以上公式可知，在處理后樁間土的承載力為固定值的情況下，由于面積置換率m與樁徑d及樁間距s相關(guān)，所以樁徑d、樁間距s及樁長(zhǎng)L為影響復(fù)合地基承載力的三個(gè)主要參數(shù)。

2.2 Lagrange數(shù)乘法模型建立

將式（3）及式（4）聯(lián)立，建立樁徑d、樁間距s及樁長(zhǎng)L與fa之間的方程式（5）：

在布樁形式一定的情況下，則面積置換率m確定，假定采用正方形布樁，m ＝d2／（1.13s）2，其中s為樁間距，則可得到式（6）：

CFG樁所需材料總量記為D，則：

n為所需CFG樁根數(shù)，與樁間距s成負(fù)相關(guān)。假設(shè)基礎(chǔ)形式為筏板，長(zhǎng)為A，寬度為B，則在等間距布樁且保證基礎(chǔ)布滿的情況下，樁根數(shù)與基礎(chǔ)的長(zhǎng)寬成負(fù)相關(guān)，即n ＝（A／s+1）（B／s+1）。

本文在此探討在滿足地基承載力且所需材料總量最小情況下的樁徑d、樁間距s及樁長(zhǎng)L。令樁徑d、樁間距s 及樁長(zhǎng)L 為三個(gè)自變量，則目標(biāo)函數(shù)材料總量D可表示為：

地基承載力滿足要求為限定條件函數(shù)，即：

再引入拉格朗日系數(shù)λ，則CFG樁復(fù)合地基的Lagrange數(shù)乘方程為：

通過(guò)對(duì)式（10）求解偏導(dǎo)數(shù)，可得方程組（11），即：

求解得到的（d，s，L）即為D 的極值點(diǎn)，再分別代入式（8）及式（9），根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行驗(yàn)證即可。

3 Lagrange數(shù)乘模型在實(shí)際工程中的應(yīng)用

3.1 工程概況

北京市某廠區(qū)一綜合管理用房，采用框架結(jié)構(gòu)，填充墻采用混凝土空心小砌塊。地上共四層，地下一層，首層層高4.0m，2 ～5 層層高均為3.3m，地下室層高3.0m，外墻厚250mm，內(nèi)墻厚200mm。地下室外墻為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，厚250mm，室內(nèi)地面高于室外地面300mm，各層樓板及屋面板均為120mm厚，屋頂為不上人樓面，平面布置如圖1 所示。

圖1 樓層平面布置Fig.1 Layout of floor plan

該樓采用筏板基礎(chǔ)，根據(jù)地勘報(bào)告，地基土層第一層土為平均厚度7m 的雜填土及人工堆積層，且土體含水量較高，土體性質(zhì)較差，故采用CFG復(fù)合地基進(jìn)行處理，布樁形式為正方形布樁，地基土體各層力學(xué)性質(zhì)如表1 所示。

表1 地基土力學(xué)參數(shù)Tab.1 Physical and mechanical indexes of subsoils

3.2 最優(yōu)工程量計(jì)算

本節(jié)引入Lagrange數(shù)乘模型，對(duì)上述建筑物的復(fù)合地基進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，具體過(guò)程如下：

根據(jù)《建筑地基處理技術(shù)規(guī)范》（JGJ 79—2002）及《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50007—2011），以及表1 地基土巖土力學(xué)參數(shù)，對(duì)式（6）各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行取值并進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化。取參數(shù)α ＝1，β ＝0.9，fsa＝50kPa，αp＝1?？紤]實(shí)際情況，本工程CFG樁樁底應(yīng)位于粉土層②上，即樁長(zhǎng)L≥9m，兩層粉土層極限側(cè)阻力標(biāo)準(zhǔn)值45（L -9）+35，綜上可得式（12）：

根據(jù)PKPM計(jì)算結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)工況下，有地震作用情況下最大基底反力為190kPa，為保證安全，地基承載力留1.2 倍富裕量，使fa≥228kPa，即：

代入筏板基礎(chǔ)的長(zhǎng)A ＝33m，寬B ＝11m，則式（7）可簡(jiǎn)化為：

式（14）即為目標(biāo)函數(shù)，式（13）為限制條件。

引入拉格朗日系數(shù)，式（15）即為本研究目標(biāo)的Lagrange數(shù)乘方程，即：

再根據(jù)式（11）分別求四個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，聯(lián)立方程組，并求解極值點(diǎn)，一一代入，即可得到最優(yōu)的復(fù)合地基參數(shù)。

根據(jù)在實(shí)際工程的應(yīng)用，CFG樁采用不同的成樁形式，有不同的適宜樁徑。如長(zhǎng)臂螺旋中心壓灌樁樁徑適用范圍為400mm ～600mm，泥漿護(hù)臂樁樁徑適用范圍為600mm ～800mm，鋼筋混凝土預(yù)制樁樁徑適用范圍為300mm ～600mm。同時(shí)受限于樁本身的強(qiáng)度，樁長(zhǎng)不宜過(guò)長(zhǎng)。基于此，在式（15）的基礎(chǔ)上，得到不同樁徑下的最優(yōu)布樁參數(shù)，如表2 所示。

通過(guò)上述分析可得到樁徑d ＝0.4，樁間距s ＝1.8，樁長(zhǎng)L ＝15.9m 時(shí)，工程量最小。樁徑的增加，雖然會(huì)減少CFG 樁的根數(shù)，但同時(shí)會(huì)增加樁長(zhǎng)及工程量。

表2 不同樁徑下的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Optimal parameters under different pile diameters

3.3 布樁參數(shù)對(duì)工程量影響的函數(shù)分析

為更加直觀理解樁徑d、樁間距s 和樁長(zhǎng)L對(duì)工程量D的影響，并判斷三者哪個(gè)因素影響程度更大，借用3.2 節(jié)的數(shù)據(jù)，通過(guò)控制變量的方法，對(duì)各個(gè)因素對(duì)工程量的影響做出函數(shù)分析。

先在保證復(fù)合地基承載力滿足要求且不變的情況下，即fa＝228kPa，并根據(jù)本地實(shí)際應(yīng)用情況，樁長(zhǎng)限制在不超過(guò)16m，對(duì)表2 的數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充，得到表3。

表3 不同參數(shù)下的工程量Tab.3 Displacement load applied

1.樁間距s對(duì)工程量D的影響

根據(jù)表3 的數(shù)據(jù)，對(duì)在同一樁徑下、不同樁間距與工程量之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，為更加直觀觀察二者之間的相關(guān)關(guān)系，采用線性擬合，如圖2 所示。從圖中可知，在保證復(fù)合地基承載力滿足要求且不變情況下，在樁徑d ＝0.4m、0.5m及0.6m時(shí)，其工程量D 與樁距s 所擬合的線性函數(shù)斜率依次為-229.6、-209.4 及-196.3?？梢?jiàn)，樁徑相同的情況下，隨著樁間距增加，工程量減小，但隨著樁徑的增加，擬合的線性函數(shù)斜率絕對(duì)值減小，即這種工程量減少的趨勢(shì)在減小。

2.樁長(zhǎng)L對(duì)工程量D的影響

同理，如圖3 所示，在保證復(fù)合地基承載力滿足要求且不變的情況下，在樁徑d ＝0.4m、0.5m及0.6m時(shí)，其工程量D與樁長(zhǎng)L所擬合的線性函數(shù)斜率依次為-30.155、-29.034 及-36.621?？梢?jiàn)，隨著樁長(zhǎng)增加，工程量減小。

3.樁徑d對(duì)工程量D的影響

如圖4 所示，保證復(fù)合地基承載力滿足要求且不變的情況下，在樁間距s ＝1.6m、1.7m 及1.8m時(shí)，其工程量D 與樁徑d 所擬合的線性函數(shù)斜率依次為1321、1215 及1133。可見(jiàn)，樁間距不變的情況下，隨著樁徑的增加，工程量增加，但隨著樁間距的增加，擬合的線性函數(shù)斜率絕對(duì)值減小，即這種工程量增加的趨勢(shì)在減小。

圖2 s 與D 的函數(shù)關(guān)系Fig.2 The functional relationship between S and D

圖3 L 與D 的函數(shù)關(guān)系Fig.3 The functional relationship between L and D

圖4 d 與D 的函數(shù)關(guān)系Fig.4 The functional relationship between d and D

從以上的分析可知，樁徑d、樁間距s 和樁長(zhǎng)L共同作用影響工程量的大小，且影響的程度也不一致。在承載力滿足要求且不變情況下，結(jié)合表3 中的數(shù)據(jù)可得知以下幾點(diǎn)：

（1）不同樁間距采用同一樁徑時(shí)，隨著樁間距的增加，總工程量會(huì)減小，但減小的趨勢(shì)也在減小。

（2）不同樁長(zhǎng)采用同一樁徑時(shí)，隨著樁長(zhǎng)的增加，總工程量會(huì)減小，減小的趨勢(shì)與樁徑變化無(wú)明顯關(guān)系。

（3）不同樁徑采用同一樁間距時(shí)，隨著樁徑的增加，總工程量會(huì)增加，但增加的趨勢(shì)在減小。

由于在實(shí)際工程應(yīng)用中，受限于樁本身強(qiáng)度，樁長(zhǎng)會(huì)有限定值，如常用的CFG 樁樁長(zhǎng)在20m范圍內(nèi)，所以也應(yīng)考慮樁長(zhǎng)的限制。

4 結(jié)論

本文根據(jù)《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》及《建筑地基處理設(shè)計(jì)規(guī)范》中的計(jì)算方法及限定條件，首先建立了CFG 樁復(fù)合地基的Lagrange 數(shù)乘方程，對(duì)其樁長(zhǎng)、樁徑、樁間距等布樁參數(shù)進(jìn)行極限求值，從而得到在滿足地基承載力情況下的最優(yōu)布樁設(shè)計(jì)，以減小工程材料浪費(fèi)。并在基底承載力保持不變的情況下，建立各變量與工程量的擬合函數(shù)關(guān)系，分析布樁參數(shù)對(duì)工程量的影響，本文的研究?jī)?nèi)容可為類似項(xiàng)目的樁優(yōu)化設(shè)計(jì)提供思路。具體得到以下結(jié)論：

1.CFG 樁復(fù)合地基主要影響參數(shù)為樁長(zhǎng)、樁徑和樁間距，根據(jù)Lagrange數(shù)乘方程，可在限定地基承載力情況下，得到最佳布樁參數(shù)的設(shè)計(jì)值。根據(jù)本文實(shí)際工程應(yīng)用，得到最優(yōu)布樁參數(shù)為樁徑d ＝0.4，樁間距s ＝1.8，樁長(zhǎng)L ＝15.9m。此方法可推廣至其他類型復(fù)合地基或樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)，方法同理。

2.不同的布樁參數(shù)對(duì)工程量的影響大小不一致，在滿足地基設(shè)計(jì)承載力且不變的情況下，樁長(zhǎng)L與工程量D、樁徑d 與工程量D、樁間距s與工程量D之間擬合的線性函數(shù)斜率絕對(duì)值依次增大一個(gè)數(shù)量級(jí)，可見(jiàn)相比于樁長(zhǎng)，樁徑及樁間距對(duì)工程量的影響更大。

此外，本文尚存在不足之處，僅是將CFG樁的材料量等同于工程量的大小，這與實(shí)際工程量的計(jì)算有一定差異，需進(jìn)一步分析實(shí)際造價(jià)問(wèn)題。