灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)的改進(jìn)及應(yīng)用

楊存典 ，張雁，王怡

(1.商洛學(xué)院城鄉(xiāng)規(guī)劃與建筑工程學(xué)院，陜西商洛 726000；2.商洛學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，陜西商洛 726000)

灰色系統(tǒng)理論[1]是鄧聚龍教授1982年提出的研究數(shù)據(jù)量小、信息貧瘠的不確定性問(wèn)題的理論方法。灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容，通過(guò)已知的部分?jǐn)?shù)據(jù)，將系統(tǒng)信息抽象量化，然后尋找最優(yōu)化模型，并對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)[2]。該理論提出后一直受到人們的關(guān)注，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，在灰色模型GM(1,1)預(yù)測(cè)過(guò)程中，出現(xiàn)了模型預(yù)測(cè)精度較低的情況。對(duì)此，楊華龍等[3]運(yùn)用自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)和最小二乘法給出了改進(jìn)預(yù)測(cè)模型，解決了原有模型中對(duì)背景值和初始值規(guī)定的不合理問(wèn)題。何昕等[4]運(yùn)用馬爾可夫鏈理論對(duì)灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)法進(jìn)行了改進(jìn)，解決了依靠灰色序列構(gòu)造回歸模型帶來(lái)的誤差，預(yù)測(cè)精度得到了改善。馬維軍[5]采用補(bǔ)充殘差與加權(quán)平均的方法對(duì)灰色模型進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的灰色預(yù)測(cè)模型精度較原始模型有所提高。任工昌等[6]通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行平滑處理，建立了新的灰色預(yù)測(cè)模型，并用此方法對(duì)電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，提高了預(yù)測(cè)精度。程毛林[7]對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型采用疊加三角函數(shù)多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，降低了誤差，提高了精度。譚冠軍[8]通過(guò)構(gòu)造背景值表達(dá)式，使模型GM(1,1)適用于等間距和非等間距序列，擴(kuò)大了GM(1,1)的適用范圍。樊新海等[9]通過(guò)自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)的方法，改進(jìn)了GM(1,1)模型背景值的選取。徐華鋒等[10]、王健[11]、黃克[12]、郭金海等[13]、徐寧等[14]分別用不同方法對(duì)灰色模型進(jìn)行優(yōu)化，并提高了預(yù)測(cè)的精確度。綜上所述，灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)從提出到應(yīng)用，很多學(xué)者在方法的改進(jìn)和精度的提高方面做了大量的工作，但仍然存在初始值選取和背景值構(gòu)造方面存在運(yùn)算量過(guò)大，尋優(yōu)參數(shù)等距增加而帶來(lái)的局限性。本文運(yùn)用最小二乘法，解決了上面所提到的問(wèn)題，增加了灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)應(yīng)用的普遍性。

1 灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)存在的問(wèn)題

灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)的建模過(guò)程是將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行1-AGO，減少數(shù)據(jù)的波動(dòng),得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后進(jìn)行建模，運(yùn)用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后遞減還原成原始序列。

若原始序列X(0)和一階累加生成序列X(1)滿足準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)：

則X(1)具有指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，灰色微分方程為：

其中，a稱為發(fā)展灰數(shù)，b稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，Z(1)(k)是緊鄰均值，既

X(1)的白化微分方程為：

用最小二乘法擬合得到：

微分方程(2)所對(duì)應(yīng)的事件響應(yīng)函數(shù)為：

對(duì)(5)式遞減還原，可以得到原始序列的灰色預(yù)測(cè)模型：

以上的建模過(guò)程存在的問(wèn)題有三個(gè)：第一，必須進(jìn)行準(zhǔn)光滑性和指數(shù)規(guī)律的檢驗(yàn)；第二，解微分方程的初始條件假設(shè)X(1)(1)=X(0)(1)，認(rèn)為擬合曲線一定經(jīng)過(guò)初始點(diǎn)(1,X(1)(1))，實(shí)際上作為誤差平方和最小的擬合曲線，并不一定通過(guò)初始點(diǎn)；第三，背景值用梯形的面積近似代替，即

必然出現(xiàn)預(yù)測(cè)誤差。

2 灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)的改進(jìn)

為了解決以上問(wèn)題，按照1-AGO序列X(1)滿足指數(shù)規(guī)律的要求，通過(guò)最小二乘法原理，找到指數(shù)方程中的參數(shù)估計(jì)，有效回避了初值的假設(shè)和背景值的近似計(jì)算。

有了參數(shù)p,q的估計(jì)值，就可以用X^(1)(t)=pe-at+q進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例分析

根據(jù)商洛統(tǒng)計(jì)年鑒[14]，商洛市2002—2011年房地產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 2002-2011年商洛房地產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格及城鎮(zhèn)人均收入

將平均銷售價(jià)格進(jìn)行處理，并作為原始數(shù)據(jù)序列：

X(0)={750,800,1200,1450,1500,1680,1820,3450,3600,3750}。

1-AGO序列是：

X(1)={750,1500,2750,4200,5700,7380,9200,12650,16250,20000}。

用MATLAB軟件計(jì)算，由(3)式得：

根據(jù)改進(jìn)后的預(yù)測(cè)模型計(jì)算得：

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2及2002—2011年商洛市房地產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格趨勢(shì)圖（見(jiàn)圖1）①。

表2 2002-2011年商洛房地產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格的預(yù)測(cè)值及絕對(duì)誤差比較

圖1 2002—2011年商洛市房地產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格趨勢(shì)

計(jì)算原始數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)差：

計(jì)算相對(duì)序列的標(biāo)準(zhǔn)差：

檢驗(yàn)通過(guò)，預(yù)測(cè)精度達(dá)到精度要求。

4 結(jié)論

改進(jìn)后的灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型首先回避了初始條件X(1)(1)=X(0)(1)的假設(shè)，因?yàn)閿M合曲線不一定經(jīng)過(guò)X(0)(1)點(diǎn)；其次，把背景值由緊鄰均值的近似計(jì)算進(jìn)行了推廣。通過(guò)實(shí)例分析，預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差由0.074 6提高到0.034 0，比原來(lái)的灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型結(jié)果精度有所提高。

注釋：

①表2及圖1的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自作者承擔(dān)的陜西省社科基金項(xiàng)目研究報(bào)告。