五階IIR低通數(shù)字濾波器的性能*

周 旋，鄔云文

(1.吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.湖南省普通高校近地空間電磁環(huán)境監(jiān)測與建模重點實驗室，湖南 長沙 410114；3.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

數(shù)字濾波器因具有高精度、高可靠性、復(fù)用等優(yōu)勢，被應(yīng)用于手機(jī)通信、傳感器網(wǎng)絡(luò)通信、自動控制、醫(yī)療、軍事、發(fā)電供電等諸多領(lǐng)域[1-2].如適用于集群系統(tǒng)的以氧化鎂為襯底的集群超導(dǎo)濾波器和以鋁酸鑭為襯底的濾波器，它們都具插入損耗低、帶邊陡度高、帶外抑制好等優(yōu)勢，對所需信號有更高的選擇性，能減少來自相鄰信道信號的干擾，特別是高溫超導(dǎo)濾波器，還有降低系統(tǒng)噪聲系數(shù)及提高檢測微弱信號的能力[3].又如運用Verilog HDL語言、基于FPGA設(shè)計的3 級 CIC 濾波器，與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的 3 級 CIC濾波器相比，它的硬件資源節(jié)省可達(dá) 35.48%，且每個寄存器的位寬可變[4].再如具有寬阻帶特性的四陷波超寬帶濾波器[5-7]和應(yīng)用于電動滑臺位置實時補(bǔ)償?shù)目柭鼮V波器[8-9].這些濾波器在各行各業(yè)中均發(fā)揮了不可忽視的作用，其特性是值得研究的，但學(xué)者的研究多集中在濾波器的通帶特性，而對于過渡帶和阻帶特性的分析尚有欠缺.因此，筆者擬以五階IIR數(shù)字低通濾波器為例，結(jié)合時域特性、頻響特性和Z域特性等，重點分析該濾波器過渡帶和阻帶的特性，以期充實數(shù)字濾波器過渡帶和阻帶特性研究的相關(guān)理論.

1 理論分析

(1)

其中T為周期.由(1)式推導(dǎo)出s域與Z域的映射關(guān)系為s=σ+jΩ，z=rejω，這里Ω為s域角頻率，于是

對于s平面虛軸，有σ=0，s=jΩ，r=1，于是

(2)

其中ω為z平面角頻率，Ω為s平面角頻率.在求解模擬濾波器的指標(biāo)時，利用(2)式進(jìn)行預(yù)畸變處理.根椐巴特沃斯經(jīng)典濾波器轉(zhuǎn)換設(shè)計數(shù)字濾波器的方法，幅頻特性定義為

(3)

阻帶最小衰減As和通帶最大衰減Rp分別為

(4)

(5)

由(3)～(5)式及巴特沃斯濾波器特性經(jīng)典理論，可得

(6)

(7)

由(6)，(7)式，可得濾波器階數(shù)N與通帶最大衰減Rp、阻帶最小衰減As、通帶邊界角頻率Ωp和阻帶邊界角頻率Ωs的關(guān)系式：

(8)

雙線性變換法要求將s域Ωs，Ωp值從0到±SymboleB@的分布壓縮至0到±π之間，s和z的對應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

(9)

2 實驗設(shè)計

本研究所討論的五階IIR數(shù)字低通濾波器，其通帶邊界頻率ωp=0.25π rad/s，通帶最大衰減Rp=1 dB，阻帶最小衰減As=15 dB，阻帶邊界頻率ωs=0.4π rad/s，濾波器采樣頻率fs=100 Hz.

因為數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)只與頻域的相對值有關(guān)，所以先利用(2)式對濾波器設(shè)計指標(biāo)進(jìn)行預(yù)畸變處理，將數(shù)字指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器指標(biāo).為了方便分析，先求解五階低通巴特沃斯濾波器的歸一化頻率，求解公式為

(10)

圖1 五階IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計流程Fig. 1 Design Process of Fifth Order IIR Digital Low-Pass Filter

根據(jù)(8)～(10)式求出階數(shù)N，同時得到模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

運用雙線性變換法將五階模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即將五階低通巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(z)，得到

五階IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計流程如圖1所示.

3 仿真結(jié)果與討論

為了研究五階IIR數(shù)字低通濾波器的性能，采用Matlab軟件對其在理想環(huán)境下的特性進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 五階IIR數(shù)字低通濾波器特性Fig. 2 Characteristics of Fifth Order IIR Digital Low-Pass Filter

由設(shè)計方案可知，通帶邊界頻率ωp為0.25π rad/s，阻帶邊界頻率ωs為0.4π rad/s，通帶為0～0.25π rad/s，阻帶為0.4π～π rad/s，過渡帶為0.25π～0.4π rad/s.由圖2(a)可見，最大通帶幅度偏離即通帶幅度的最小值為0.891 3，最大阻帶幅度為0.177 8.

令該濾波器通帶最大衰減

(11)

其中ε為波紋參數(shù)，δp為通帶誤差容限(通帶波紋峰值).由(11)式可得

(12)

(13)

由圖2(b)可見：當(dāng)頻率為0～<0.25π rad/s時，歸一化相位值為負(fù)數(shù)，而該濾波器的通帶為0～<0.25π rad/s，說明濾波器在通帶范圍內(nèi)出現(xiàn)相位延遲，且隨著頻率的增加延遲越來越大；當(dāng)頻率為0.25π rad/s時，相位翻轉(zhuǎn)180°，由延遲最大值變?yōu)槌白畲笾?；之后頻率再增加，濾波器將通過過渡帶進(jìn)入阻帶區(qū)間，相位超前量逐漸減??；當(dāng)頻率在0.5π rad/s附近時，傳輸信號相位差回到0，此時所有信號同步但不在濾波器傳輸范圍.綜合圖2(b)和(c)可見：當(dāng)進(jìn)入阻帶即該數(shù)字濾波器的幅度衰減至15 dB時再次變?yōu)橄辔粶?，且滯后量逐漸增加.

由圖2(c)可見：當(dāng)頻率為0～<0.25π rad/s時，幅度無衰減；當(dāng)頻率為0.25π～<0.4π rad/s時，幅度響應(yīng)呈非線性衰減，該區(qū)域為過渡帶；當(dāng)頻率為0.4π～π rad/s時，幅度響應(yīng)呈線性衰減，該區(qū)域為截止帶.

由圖2(d)可見：零點處于單位圓上但與極點距離較遠(yuǎn)，故該濾波器通帶較窄；頻率響應(yīng)峰值為0；極點關(guān)于坐標(biāo)軸的橫軸呈對稱分布.

綜上分析，由圖2可知：

(1)在通帶和阻帶截止頻率處的參數(shù)為Rp≤1 dB，As≥15 dB，系統(tǒng)的極點都在單位圓內(nèi)，是一個穩(wěn)定的系統(tǒng).

(2)當(dāng)頻率為0.25π rad/s時出現(xiàn)相位反轉(zhuǎn)，進(jìn)入過渡區(qū)，信號幅度陡降，相位由滯后突變?yōu)槌?，傳輸?shù)男盘柊j(luò)坍塌崩潰，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)頻率不小于0.4π rad/s時進(jìn)入截止區(qū)，相位由超前逐漸變?yōu)檠舆t，且當(dāng)頻率在0.5π rad/s附近時，傳輸信號相位差回到0，此時所有信號同步但不在濾波器傳輸范圍.

(3)當(dāng)幅度響應(yīng)衰減為0后，系統(tǒng)信號傳輸仍存在相位變化，即中高頻段仍有微量信號通過，此現(xiàn)象屬于數(shù)字濾波器的正常誤差，不影響該數(shù)字濾波器的正常濾波功能.

4 結(jié)論

在現(xiàn)有濾波器經(jīng)典理論基礎(chǔ)上，以五階IIR數(shù)字濾波器為例，重點分析了其過渡帶和阻帶特性.分析結(jié)果如下：

(1)利用信號與系統(tǒng)經(jīng)典理論，推導(dǎo)出濾波器階數(shù)N與通帶最大衰減Rp、阻帶最小衰減As、通帶邊界角頻率Ωp、阻帶邊界角頻率Ωs的關(guān)系式.

(2)該濾波器的相位特性為在通帶內(nèi)延遲隨著頻率的增加而增加.當(dāng)頻率為0.25π rad/s時出現(xiàn)相位反轉(zhuǎn)突變，傳輸?shù)男盘柊j(luò)坍塌崩潰，當(dāng)頻率在0.5π rad/s附近時，傳輸信號相位差回到0，此時所有信號同步但不再傳輸.幅度響應(yīng)衰減為0時，系統(tǒng)中仍有微量的中高頻信號通過，這屬于正常誤差范圍.