B-矩陣線性互補問題的誤差界估計*

董瑛雪，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南吉首 416000)

線性互補問題LCP(M，q)在數(shù)學(xué)規(guī)劃、市場均衡、雙矩陣對策等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用[1-3].其數(shù)學(xué)模型為：求一向量x∈Rn，滿足

x≥0，Mx+q≥0，(Mx+q)Tx=0,

其中M=(mij)∈Rn×n為給定的實矩陣(Rn×n表示所有n階實矩陣構(gòu)成的集合)，q∈Rn為給定的實向量.2006年，陳小君等[4]將P-矩陣線性互補問題的誤差界計算問題轉(zhuǎn)換成P-矩陣線性區(qū)間系統(tǒng)問題，并給出了當(dāng)矩陣M是P-矩陣時線性互補問題的誤差界估計式：

其中：x*是LCP(M，q)的解；r(x)=min{x,Mx+q}；D=diag(d1,…,dn)(0≤di≤1).近年來，有學(xué)者得到矩陣M為某些特殊矩陣類時的誤差界估計式[5-7].筆者擬給出P-矩陣的子類B-矩陣線性互補問題的新的誤差界估計式.

1 預(yù)備知識

為了敘述方便，引入如下符號：

fj=max{uj,1+uj(s(j)-lj)} .

定義2[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若對于?i,j∈N+，且j≠i，有

則稱A為B-矩陣.

引理1[8]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣，則A是P-矩陣.

引理2[9]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣，則A是弱鏈對角占優(yōu)B-矩陣.

引理3[9]若A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)B-矩陣，則A是P-矩陣.

2009年，García-Esnaola等[10]首次得到B-矩陣線性互補問題的誤差界估計式：設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，其中

(1)

(2)

2016年，李朝遷等[11]對(2)式進(jìn)行改進(jìn)，得到B-矩陣線性互補問題的一個新的誤差界估計式：設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，其中B+=(bij)形如(1)式，則

(3)

其中：

(4)

2016年，李朝遷等[9]證明了B-矩陣是弱鏈對角占優(yōu)B-矩陣，并首次給出了弱鏈對角占優(yōu)B-矩陣線性互補問題的誤差界估計式：設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，則

(5)

其中：

(6)

引理5[10]若H∶=(h1,h2,…,hn)Te,e=(1,1,…,1),h1,h2,…,hn≥0,‖(I-H)-1‖∞≤n-1.

引理6[11]設(shè)γ>0和μ≥0，則對于?x∈[0,1]，有

引理7[12]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則有

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，則有

(7)

證明令MD=I-D+DM，則

(8)

由引理7可得

(9)

由引理6可得

利用引理4和引理6對(9)式進(jìn)行不等式的放縮，可得

從而，

(10)

由(8)，(10)式可知(7)式成立.證畢.

定理2設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，則有

(11)

證明由于B+是具有正對角元素的嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，因此

0≤uj(B+)<1,0≤lj(B+)<1,0≤fj(B+)≤1,

(12)

(13)

(14)

由(12)～(14)式可知(11)式成立.證畢.

對P-矩陣M，有如下結(jié)果[1]：

其中：D=diag(di)，0≤di≤1(?i∈N+)；‖·‖p(p≥1)是向量誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).類似于文獻(xiàn)[10]中的定理2.4，運用定理1可得如下結(jié)論：

推論1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，則有

3 數(shù)值算例

例1考慮B-矩陣

令M=B++C，其中

由(3)式可得

由(5)式可得

由(7)式可得

由此可知， (7)式優(yōu)于(3)，(5)式.

例2考慮B-矩陣

由(2)式可得

當(dāng)t→+∞時，30(t+1)→+∞，因此該數(shù)值結(jié)果會趨于正無窮.

由(3)式可得

當(dāng)t=1時，

當(dāng)t=2時，

當(dāng)t=10 000時，

當(dāng)t=1 070時，

由(5)式可得，對于?t∈N+，有

由(7)式可得

當(dāng)t=1時，

當(dāng)t=2時，

當(dāng)t=10 000時，

當(dāng)t=1 070時，

由此可知，(7)式優(yōu)于(2)，(3)，(5)式.

由數(shù)值算例的結(jié)果可知，定理1中的誤差界估計式改進(jìn)了文獻(xiàn)[9-11]中的結(jié)果.